2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)

A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】Cf/(x)=exf/(x)=exg(x)唯一确定的有()A.B.C.D.0,asinA00【答案】AD.A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到y=x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD.4．过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有()3-A．以线段AB为直径的圆与直线2一定相离B．|AB|的最小值为4C．|AB|的最小值为2D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB3-21化为AB-2中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然BD中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.5．已知x2y2是椭圆a2x2y2PP是椭圆上一点．下列说法中正确的有()A.0PP有两个B.0PP有四个D.ΔF2的面积小于等于2【答案】ABCD.-26．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是()【答案】BD），与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有()C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】ACA．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】Bπ-不充分性：当24时，不等式成立，但ΔABC不是锐角三角形.--9．已知x,y,z为正整数，且x<y<z，那么方程xA．8B．10C．11D．12【答案】B--ijeA,aj+akeA,ak+aieA这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为()【答案】B0，则下列各式中成立的有()【答案】BD【解析】令,则y-xz-yx-z________________==_______________,所以一类似地，有xy乘积属于区间()【答案】B2f/(x)=──ff/(x)=──-3处的切线733,以及函数f(x)14和32471773-侧等号当当1-1-224__【答案】CD【答案】ABD231_n(neN*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有()n【答案】ACDa2)2n)2，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误.an为定值.115．若复数z满足可以取到的值有(15．若复数z满足可以取到的值有()ab（2）两条相交直线上各取一点ab（2）两条相交直线上各取一点【解析】因为【解析】因为2时取得．答案CD.,故216．从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个x2y217．已知椭圆a2x2y2l与直线1ll22212,过椭圆上一点P作al2的平行线，分别交l1,l2于M,N两点．若|MN|为定值，则b()【答案】C-20x20为定值，所以20x20为定值，所以意1-M,N，使得|MN|为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆.18．关于x,y的不定方程x2+165=2y的【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有In种，则()【答案】B1n1关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是.【答案】0.165AB,33332.一11【答案】02y222x2=y2=12时取得，因此所求最大值为1.与最小值分别为.【答案】【解析】2由柯西不等式可知，当且仅当123x2x222据题意，有,于是4,于是2解得2的最小值当2时取得，为2.【答案】【解析】23根据奔驰定理，有---27．已知复数-i3,则z2z22【答案】【答案】———对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为.【解析】设,由于=,于是22,于是x2+y212.于是所示求面积为3