2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-4.5函数的应用(二)

2023人教版新教材高中数学必修第一册

4.5函数的应用(二)

4.5.1函数的零点与方程的解

基础过关练

题组一求函数的零点

1.已知函数f(x)=［打:;广+、1则函数f(x)的零点为()

(1+log2x,X>1,

1

OCO

-D.

2J

2.(多选)下列函数中不存在零点的是()

2

A.y=x--XB.y=V2x-x+1

「[X+1,X<0(X+l,x>0

C-ynx-l,x>0nD-y=L-l,x<0

3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx"axT的零点

是•

题组二判断函数的零点所在的区间

4.(2022河北唐山期末)函数f(x)=e'+2x-3的零点所在的区间为()

5.(2022湖南长沙期末)设函数f(x)qx-Inx(x>0),则f(x)()

A.在区间(e;l),(l,e)内均有零点

B.在区间(e，l),(l,e)内均无零点

C.在区间(e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点

D.在区间(e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点

6.(2022天津耀华中学期末)函数f(x)=lnx-3的零点所在的区间是()

|x-lI

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

题组三判断函数的零点个数

7.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则()

A.方程f(x)=0一定有实数解

B.方程f(x)=0一定无实数解

C.方程f(x)=0一定有两个实数解

D.方程f(x)=0可能无实数解

8.函数f(幻=/-(3”的零点个数为.

4

9.已知函数f(x)42:。和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)

的零点个数是.

题组四根据零点情况求参数范围

10.(2022河南南阳一中月考)已知方程x2+ax-l=0在区间［0,1］上有解,则实数a

的取值范围是.

11.已知函数f(x)=lnx-m的零点位于区间(1,e)内，则实数m的取值范围

是.

_x>2

12.已知函数f(x)=x''若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根，则

.(x-1)2,X<2,

实数k的取值范围是.

logi(x+1),x£(-1,3),

13.若f(x)=2f(x)-m=0有两个不同的零点，则m的取值范

、%-5,%£［3,+8),

围为•

能力提升练

题组一函数的零点与方程的解

1.(2020山东泰安期末)函数f(x)=(x+l)x+x(xT)+(x+l)(x-1)的两个零点分别位

于区间()

A.(―1,0)和(0,1)内

B.(-°°,-1)和(-1,0)内

C.(0,1)和(1,+8)内

D.(-8,-1)和(1,+OO)内

2.(多选)设实数a,b,c满足ea=lnb=l-c,则下列不等式可能成立的有()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

3.(2020湖北宜昌一中期中)已知奇函数f(x)=Ur+a(aW0),则方程f(x)[的解

3-16

为X=.

4.(2022北京清华大学附属中学期中)方程x+2=2的根为a,方程x+log2x=2的根

为b,则a+b=.

题组二判断函数的零点个数

Ilog2(x+1)|,xG(-1,3),

5.若f(x)=4二「Q、

t，x£[3,+8),

则函数g(x)=f[f(x)]T的零点个数为()

A.1B.3C.4D.6

6.已知函数f(x)+1j”<卜则函数g(x)=(x-2)f(x)-2x+l的零点个数

为.

题组三根据零点情况求参数范围

—%2—2xxv0

7.(2022广东惠州惠阳中山中学期末)已知函数f(x)=]0g]x',xMo：若函数

g(x)=f(x)+l-m有4个零点，则m的取值范围为()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,2)D.(2,3)

8.(2022河北邯郸期末)设函数f(x)=["°g26<-1)L1<X<3,若关于乂的方程

1(%-4)',x>3,

[f(x)]2=(a+l)f(x)-a有7个不同的实数根,则实数a的取值范围是()

A.[0,1)B.[l,+oo)

C.[0,+oo)D.(0,1)

|log2x|,0<x<2,

9.(2022山西太原五中月考)已知函数f(x)=i28r若函数

-Xz--x+5,x>2,

g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点Xi,x2,x3,x4,则X1+X2+X3+X4的取值范围

是•

10.(2022山东滕州一中月考)已知f(x)是定义在(-8,o)U(0,+8)上的奇函数,

且当x>0时,f(x)=R°jg(x)=f(x)-a.

kx-5\-l,x>2,

(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点,求实数a的值；

⑵记h(a)为函数g(x)的所有零点之和.当时,求h(a)的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

x

1.D当xWl时，令2-l=0,得x=0;当x>l时，令l+log2x=0,得x=2(舍去).综上所

述，函数f(x)的零点为0.故选D.

2.BDA选项中，令y=0,解得x=±1,故T和1是函数y=x△的零点；

X

B选项中，令y=0,得2x-x+l=0,因为A=(-l)-4X2Xl=-7<0,所以函数

y=，2%2-x+1无零点;

C选项中，令y=0,解得x=±l,故T和1是函数"的零点；

D选项中，令y=0,无解,故函数y=[%[1'°,无零点.故选BD.

3.答案

解析函数£&)=乂2_*4)的零点是2和3,由函数的零点与方程的根的关系，知方

程x'-ax-b=0的两根为2和3,则由根与系数的关系得a=2+3=5,-b=2X3=6,即b=-6.

所以g(x)=-6x2-5x-l,

令g(x)=0,解得x=q或x=q,

故g(x)的零点为弓q.

4.C易知函数f(x)=ex+2x-3在R上单调递增，因为f(x)的图象是一条连续不断

的曲线，且f(3=£-2<0,fQ)=e^-|>0,

所以函数f(X)的零点在区间G，m内，故选C.

5.C令f(x)=0,得[x=lnx,在同一直角坐标系中作出函数y[x和y=lnx的图象,

如图所示,

根据图象可知，f(x)在区间(e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,故选C.

6.Bf(x)的定义域为{x|x>0且xWl},

当x£(0,1)时，f(x)=lnX--<0恒成立,不存在零点,排除D;

\x-lI

当x£(l,+8)时，f(x)=lnx-三，易知f(x)在该区间上单调递增，

X-1

又f⑵=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(x)在(1,+8)上的图象连续不断，

...f(x)的零点所在的区间是⑵3).故选B.

解题模板判断函数零点所在区间，要根据函数解析式,综合运用f(x)的值域、单

调性,结合函数零点存在定理进行判断.

7.D,函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续，由f(T)f(3)<0不一定能得出

函数f(x)在(-1,3)上有零点，即方程f(x)=0可能无实数解.

8.答案1

解析令f(x)=%5-0=0,贝!.在同一平面直角坐标系中画出函数y=%5和

y=(£f的图象，如图所示，

由图可知,两函数图象的交点只有一个,所以f(x)的零点个数为1.

9.答案3

解析在同一平面直角坐标系中作出y=g(x)与y=f(x)的图象如图,

由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，故h(x)有3个零点.

10.答案［0,+8)

解析令f(x)=x2+ax-l,由A=a+4>0及f(0)=-1<0知f(x)=0在［0,1］上有解时,

f⑴20,即a》0.

一题多解解决含参函数存在零点的问题,一般可先采用变量分离,再将问题转

化为函数的值域问题加以解决.

当x=0时，T=0,不成立,故x#0,所以0<xWl,则有a=^-=--x,令

XX

g(x),-x(O〈xWl),易得g(x)为减函数,所以g(x)⑴=0,所以a20.

X

11.答案(0,1)

解析解法一：因为函数f(x)=lnx-m在(1,e)上单调递增,且图象连续不断,所以

f(1),f(e)<0,所以m(m-l)<0,故mG(0,1).

解法二：令f(x)=lnx-m=O,得m=lnx,

因为xe(l,e),所以InxG(0,1),故(0,1).

12.答案(0,1)

解析作出函数f(x)的图象和直线y=k，如图所示.

当kG(0,1)时，函数f(x)的图象和直线y=k有三个交点,所以k£(0,1).

13.答案(-2,+8)

解析作出函数f(x)的图象如图.

若f(x)-m=o有两个不同的零点，则函数y=f(x)和y=m的图象有两个交点,结合f(x)

的图象可知，当m>-2时一,两函数图象有两个交点.故m的取值范围为(-2,+-).

能力提升练

1.Af(x)-(x+1)x+x(x-l)+(x+l)(x-l)=3X2-1,

令f(x)=O,解得x=±f,

-1,0),日£(0,1),故选A.

2.BC在同一直角坐标系中画出函数y=e*,y=lnx,y=l-x的图象，如图,

根据图象可知，当e"=lnb=l-c£(0,1)时,a<c<b,当e&=lnb=l-c>l时,c〈a〈b;当

ea=lnb=l-c=l时，a=c<b.

故选BC.

3.答案log34

解析由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,

即京+a+；^+a=O,化简得2a-l=0,解得a=1,因此f(x)=^—

3i23"-12

令一一+*即3=4,

3X-126

解得x=log34.

故f(x)=：的解为x=log4.

63

4.答案2

解析方程x+2，=2的根为a,即函数y=2'和y=2-x的图象的交点的横坐标为a.

方程x+log2x=2的根为b,即函数y=log2x和y=2-x的图象的交点的横坐标为b.

在同一坐标系中画出函数y=2",y=log2x,y=2-x的图象,如图所示.

结合图象易知点A,B关于直线y=x对称，

所以A(a,b),B(b,a),

又点A在直线y=2-x上，

所以b=2-a,即a+b=2.

5.C令f(x)=l,当xG(-1,3)时，|log2(x+l)|=1,解得xi=-1,X2=l;当xe[3,+8)

时，二=1,解得X3=5.作出y=f(x)的图象如图所示.

由图象可得f(x)=g无解,f(x)=l有3个解,f(x)=5有1个解，因此函数

g(x)=f[f(x)]-l的零点个数为4.故选C.

6.答案3

解析由g(x)=(x-2)f(x)-2x+l=0,g(2)=-3WO,得f(x)二空^=2+2,作出函数

x-2x~2

y=f+—“<+与y=2+三的图象,如图所示，

(%2-4X+2,x>1工-2

两个函数图象共有3个交点,故函数g(x)的零点个数为3.

7.C令g(x)=f(x)+l-m=0,则f(x)=mT,在同一直角坐标系中画出函数y=f(x)和

y=m-l的图象,则两图象有4个交点，

所以0<m-l<l,即l<m<2.故选C.

&D作出函数Mx**：广x<3的图象如图.

在方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a中，令t=f(x),

则t2-(a+l)t+a=(t-l)(t-a)=O,此方程的根为1,a,

由f(x)的图象可知,直线y=l与y=f(x)的图象有3个交点,即f(x)=l有3个不同

的实数解，

故若关于x的方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a有7个不同的实数根，

则f(x)=a有4个不同的实数根，即直线y=a与y=f(x)的图象有4个交点，

所以O〈a〈l.故选D.

9.答案(10,y)

解析作出函数f(x)的图象如图所示.

由图象可知当0<mG时,方程f(