备考2022届中考数学全国题汇编3+解直角三角形及应用

备考2022届中考数学全国精选题汇编专题3解直角三角形及应用

数学考试

注意事项：

1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写

2、提前xx分钟收取答题卡

第回卷客观题

第0卷的注释

阅卷入

一、单选题（共3题；共6分）

得分

1.（2分）（2021•贵州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°,

使点B落在点B的位置，连接BB,，过点D作DE,BB',交BB'的延长线于点E,则BE

的长为（）

A.V3-1B.2V3-2C.|V3D.

【答案】A

【解析】【解答】设BE,CD交于点F,

由题意：AB=AB',Z.BAB'=60°

ABB'是等边三角形

乙ABB'=60°

四边形ABCD为正方形

Z.ABC="=90°

.•.ZCBF=90°-60o=30°,

DE±BB'

・•.Z.E=90°

又vZ.DFE=Z.CFB

・・・Z.EDF=Z.CBF=30°

设EF=x

EFEF今

则DnFc=^ZEDF-=—=2EF=2X

2

FC=DC-DF=2-2x

FC

BF=-----TTFTF=2FC=4—4%

sin乙CBF

BE=BF+EF=4—3%

B1E=BE-BBr=4-3x-2=2-3x

FC_V3

tanzCBF=BC=~3

2—2%-/3

~2~=~3

解得：x=l-^

:.B'E=2—3x(1—)=yf3—1

故答案为：A

【分析】设BE,CD交于点F,证明△ABB'是等边三角形，可得NABB'=60。，利用正方形的性

质求出/CBF=30。，利用三角形内角和可求出NEDF=NCBF=30。，设EF=X,利用解直角三角形

求出DF、FC、BF,从而求出BE,B'E,利用tanzCBF=琳=*建立方程，求出x值即可求出结

DC3

论.

2.（2分）（2021•毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中AD//BC,^ABC=45°,

^DCB=30°,斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（）

D

A.6\[2mB.8y[2mC.心底mD.V3m

【答案】B

【解析】【解答】解：过点A作AELBC于点E,过D作DFLBC于点F,

,.,AD//BC

/.^DAE4-/.AEF=180°

/.Z.DAE=90°

...则四边形AEFD是矩形,

DF=AE

在RtAABE中，AB=8,^ABC=45°

•*,AE=8cos45°=8x苧=4am

•'«DF=4V2zn

在RtACDF中，DF=4V2m,zBCD=30°

•*-CD=2DF=8V2m

故答案为：B.

【分析】过点A作AELBC于点E,过D作DFLBC于点F,证明四边形AEFD是矩形，可得

DF=AE,在RtAABE中，利用AE=AB-cos/ABC,求出AE即得DF,在RtACDF中，ABCD=

30°,可得CO=2DF,据此即得结论.

3.（2分）（2021•玉林）如图，4ABC底边BC上的高为比，△PQR底边QR上的高为h2,

则有（）

5

5

/55。入nsy

BCQR

A.h1=九2B.九1Vh2

C.h1>h2D.以上都有可能

【答案】A

【解析】【解答】解：分别过点A作AELBC于点E,PFJ_QR于点F,如图所示,

由题意得：AE=hltPF=h2fAC=5,PR=5,4PRQ=125。/。=55°,

・•・乙PRF=55°,

，zC=Z.PRF=55°,

AE='=AC・sinzC=5-sin55。，PF=h2=PR-sin^PRF=5・sin55°,

=出；

故答案为：A.

【分析】分别过点A作AE±BC于点E,PF±QR于点F,可得AE=h1=AC-sinzC=

5sin55°,PF=电=PR•sin乙PRF=5sin55°,可得结果.

阅卷入

二、填空题（共3题；共4分）

得分

4.（1分）（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处,

它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的B处，此时B处与灯塔P

的距离为海里（结果保留根号）.

【答案】25V6

【解析】【解答】解：如图，作PC_LAB于点C,

在RSAPC中，AP=50海里，ZAPC=90°-60°=30°,

，AC=^AP=25海里，PC=<502-252=2573海里，

在RtAPCB中，PC=25遍海里，ZBPC=90°-45°=45°,

，PC=BC=25V3海里，

,PB=J(25V3)2+(25V3)2=25V6海里，

故答案为：25V6.

【分析】如图，作PCJ_AB于点C,在RtAAPC中，求出/APC=9()o-60o=30。，WAC=\AP=

25海里，由勾股定理求出PC=25百海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC=258海

里，利用勾股定理求出PB即可.

5.(1分)(2021•娄底)高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾

驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，

BE1AB.^CBE=a,过B作4。的垂线，垂足为A(A点的视觉错觉点)，若sina=

0.05MB=300mm,则44'=mm.

【答案】15

【解析】【解答】解：如图所示，

VAB1AD且四边形ABCD为平行四边形，

AB1BC，/-A'BC=Z.ABC4-Z.A'BA=90°,

又：BELAB,

•*.^ABE=^ABC+za=90°,

Z.A'BA=Z.a,

I

・AA

**sinZ-ArBA=sina==0.05，

又「AB=300mm,

・•・AA!=AB-sin^ArBA=300x0.05=15mm.

故答案为：15.

【分析】根据平行四边形的性质，可求出乙4'BA=za,由于sin/4B4=sina=M=0.05,即可求

AB

出结论.

6.（2分）（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE

与地面平行，支撑杆AD,BC可绕连接点O转动，且OA=OB,椅面底部有一根可以绕点H转动

的连杆HD,点H是CD的中点，FA,EB均与地面垂直，测得FA=54cm,EB=45cm,

AB=48cm.

G

图1图2图3

（1）（1分）椅面CE的长度为cm.

（2）（1分）如图3,椅子折叠时;连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD,BC转动合拢，椅面和

连杆夹角乙CHD的度数达到最小值30。时，A,B两点间的距离为cm（结果精确到

0.1cm）.（参考数据：sinl5°«0.26,cosl5°«0.97,tanl5°«0.27）

【答案】（1）40

（2）12.5

【解析】【解答］解：（1）过点C作CM垂直AF,垂足为M,

图2

•.•椅面CE与地面平行，

AMFCAFB,

.CM_FM_FA-EBCM_54-45

*'FA48-54

解得：CM=8cm,

?.CE=AB-CM=48-8=40cm；

故答案为：40；

(2)在图2中，

,/OA=OB,椅面CE与地面平行，

，乙BCE=LADM,

AM=BE,Z.AMD=乙BEC=90°,

••△AMD=△BEC,

・•・DM=CE,

・\MC=ED=Bcm，

CD=48—8—8=32cm,

•；H是CD的中点，

CH=HD="D=16

•・•椅面CE与地面平行，

*'•△CODBOA,

・CO_CD_32_2

•*BO=AB=48=39

图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N,

图3

CH=HD=3CD=16,"HD=30°,

，乙CHN=乙DHN=15°,

CD=2CWsinl5°=8.32cm,

.CO_CD2_8.32

,,OB=AB^3=~AB'

解得：AB=12.48x12.5cm，

故答案为：12.5.

【分析】（1）过点C作CM垂直AF,垂足为M,利用椅面CE与地面平行，可证得

△MFC^AAFB,利用相似三角形的性质可求出CM的值，利用CE=AB-CM,可求出CE的长.

（2）利用AAS可证得△AMD四△BEC,利用全等三角形的性质，可证得DM=CE,MC=ED=8,同

时可求出CD的长；再利用线段中点的定义求出CH的长；然后证明ACODs^BOA,利用相似三

角形的性质可求出CO与BO的比值；图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N,利用解直角三角

形求出CD的长，由此可求出AB的长.

第回卷主观题

第0卷的注释

阅卷人

三、解答题供16题；共80分）

得分

7.(5分)(2021•泰州)如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角a=30。的斜坡AB步

行50nl至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，

此时观测C处的俯角为19°30\索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.(精确到1m,

【答案】解：过点C作CELDG于E,CB的延长线交AG于F,设山顶的所在线段为DG,如图所

不

在RtABAF中，a=30。，AB=50m

则BF=AB-sina=50x方=25(m)

?.CF=BC+BF=30+25=55(m)

在RSDCE中，ZDCE=19°30',CD=180m

，DE=CD•sin^DCE«180x0.33«59(m)

•••四边形CFGE是矩形

.*.EG=CF

；.DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)

即山顶D的高度为114m.

【解析】【分析】过点C作CEDG于E,CB的延长线交AG于F,设山顶的所在线段为DG,在

RtBAF中，可求出BF=AB.sina=25(m),从而可得CF=BC+BF=55m,在RtDDCE中，可求

出DE=CDsinNDCE之

59m,由矩形的性质可得EG=CF,利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出结论.

8.(5分)(2021•湘西)有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家

乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一

心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A

处，观测到楼顶C处的仰角为30。，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45。，并测得A、

B两处相距20m,求“一心阁”CH的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：V2«1.41,

V3=1.73）

【答案】解：由题意得：Z-CHA=90°,zCB//=45°,z/l=30°,AB=20m,

.\CH=BH,

设CH=BH=xm,则有AH=（20+x）m,

CH=AH-tan30°,即x=^（20+x），

解得：x«27.5,

CH=27.5m.

【解析】【分析】由题意得CH=BH,设CH=BH=xm,则有AH=（20+x）m,由CH=AH-tan30°

列出方程，求出x值即可.

9.（5分）（2021•南县）“2021湖南红色文化旅游节--重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式

于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对

该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角NBAC=13。，塔顶D的仰

角NDAC=38。，斜坡AB=50米，求宝塔BD的高（精确到1米）.

（参考数据：sinl30~0.22,cosl3°«0.97,tanl3°«0.23,sin38°~0.62,cos38°~0.79,tan38°~0.78）

【答案】解：在RSABC中，sin/BAC=器,cosZBAC=,

BC=AB«sinZBAC=AB«sin13°~50x0.22=11（米）；

AC=AB«cosZBAC=AB»cosl3°=50x0.97=48.5（米）；

在RSADC中，tanZDAC=%，

.,.CD=AC«tanZDAC=AC«tan38°~48.5x0.78-37.83（米）；

ABD=CD-BC«37.83-11=26.83-27（米），

答：宝塔BD的高约为27米.

【解析】【分析】首先在RtABC中，利用三角函数的概念可得BC、AC的值，然后在R14ADC中，

利用三角函数的概念求出CD的值，接下来根据BD=CD-BC计算即可.

10.（5分）（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20m的D处观测旗

杆项部4的仰角为52。，观测旗杆底部B的仰角为45。，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后

一位.参考数据：sin52°»0.79,cos52°«0.62,tan52°«1.28,\[2«1.41）.

【答案】解：在Rt△BCD中，：tan^BDC=,

BC=CD-tanz.BDC=20xtan45°=20m,

.,AC

在Rt△ACD中，tanZ-ADC=>

AC=CD-tan乙4DC=20xtan52°«20x1.28=25.6m.

AB—AC—BC—5.6m.

答：旗杆AB的高度约为5.6m.

【解析】【分析】在RtABCD中，利用解直角三角形求出BC的长，在RtAACD中，利用解直角三

角形求出AC的长；然后根据AB=AC-BC,可求出AB的长.

11.（5分）（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯

AC的高度，测得斜坡AB=105米，坡度i=l：2,在B处测得电梯顶端C的仰角a=45。，求观光

电梯AC的高度.

（参考数据：yj2~1.41,V3~1.73,22.24.结果精确到0.1米）

莽山五指峰景区摩天岭垂直电梯

【答案】解：过B作BM，水平地面于M,BNLAC于N,如图所示:

则四边形AMBN是矩形，

，AN=BM,BN=MA,

•.•斜坡AB=105米，坡度i=l：2=,

.•.设BM=x米，则AM=2x米，

，AB=>JBM2+AM2=Jx2+（2x）2=V5x=105,

.'.x=21V5,

，AN=BM=21V5（米），BN=AM=42V5（米），

在RtABCN中，NCBN=a=45。，

/.△BCN是等腰直角三角形，

.\AN=BN=42V5（米），

；.AC=AN+CN=21V5+42V5=63V5-141.1（米）,

答：观光电梯AC的高度约为141.1米.

【解析】【分析】过B作BM冰平地面于M,BNAC于N,则四边形AMBN是矩形，得至AN=

BM,BN=MA,由坡度可设8乂=*米，则AM=2x米，根据勾股定理以及AB的值可得X,进而

得到AN、BN,易知△BCN是等腰直角三角形，则AN=BN,然后根据AC=AN+CN进行计算.

12.（5分）（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次

研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图，在桥面正下方的谷底选一观测点

A,观测到桥面B,C的仰角分别为30。,60。，测得BC长为32。米，求观测点A到桥面BC

的距离.（结果保留整数，参考数据：遮“1.73）

A

由图可知：48=30。,AM〃CD

.•.NB=NBAM=30。，ZDCA=ZCAM=60°

，Z.CAB=/-CAM-/.BAM=60°-30°=30°

乙B=LBAC

CA^CB=320m

在RtMC。中，Z.DCA=60°

♦,sin/-DCA=,即sinZ.60°=22n

AO=孚x320p竽x3202277（米）

答.观测点A到桥面BC的距离是277米.

【解析】【分析】过点4作AD_LBC交BC的延长线于点D,根据平行线的性质得出

B=BAM=30°,DCA=CAM=60°,从而求出NC/B=—zB4M=30。，即得/B=/BAC,

由等角对等边可得CA=CB=320,在Rt△ACD中，由sin/DC力=空求出AD即可.

13.（5分）（2021•内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测

得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为

30。，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°,求树高CD.（结果保留根号）

【答案】解：作BFJ.CC于点P,设。尸=x米,

在RtADBF中，tanzDFF=,

•••第4且AE=8

・•・AB=2

：.CF=AB=2

在直角ADCE中，DC=%4-CF=(2+x)米,

在直角ADCE中，tan"EC=^，

・••EC=点焉=坐。+2)米-

,：BF-CE=AE,即V3x-^(x+2)=8.

解得：x=4-\/3+1，

则CD=4V3+1+2=(4V5+3)米.

答：CD的高度是(4V3+3)米.

【解析】【分析】过点B作BF_LDC于点F,设DF=x米，利用解直角三角形表示出BF的长，再根

据AB与AE的比值可求出AB的长，再表示出DC的长；再利用解直角三角形表示出EC的长，根

据BF-CE=AE,建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.

14.（5分）（2021•威海）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高

度相同的路灯进行测量.如图，他先在点8处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为

10°,再沿8N方向前进10米，到达点。处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27。.若测倾

器的高度为L2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）.

（参考数据：sinl0°«0.17,cosl0°»0.98,tanl0°»0.18,sin270=0.45,cos27°«

由题意可得，AB=CD=EQ=FN=L2,ZPEC=ZMFA=90°,ZMAF=10°,ZPCE=27°,AC=10,

AE=BQ=EF=QN,

设路灯的高度为xm,则MN=PQ=xm,MF=PE=x・1.2,

在Rt^AFM中，ZMAF=10°,MF=x-1.2,tanZMAF=瞽,

0x—1.2

tanlOFA

x—1.2

••FAtanlO0

1x—1.2_x-1.2

・•・AE=^AF=

tanlO0—2tanl00'

.,.CE=AE-AC=送襦一口

在RfCEP中，/PCE=27°,CE=益一10,tan"CE=住，

x-12

•tan27°=y.7

2tanl0°

解得x=13.4,

.••路灯的高度为13.4m.

答:路灯的高度为13.4m.

【解析】【分析】根据题意，根据直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值，计算得到答案即可。

15.（5分）（2021•铜仁）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m,楼高CD=

99m,某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在点4处测得点E的俯角

AEAM=45°,上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯

角LFAM=60°,已知每层楼的高度为3m,EF=40m,问：以当天测量数据为依据，不考虑季

节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？

（V3«1.73）

【答案】解：设FD=x,贝I」ME=AB-EF-FD=12040-x=80-x,

VZEAM=45°,MA_LCM,

...△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为1：1：V2,

?.AM=ME=80-x,

VZFAM=60°,MA1MF,

.♦.△AMF为30。,60°,90。直角三角形，

tan/FAM=tan600==V3，

MF=\[3AM=>/3(80-x),

又MF=MD-DF=AB-DF=120-x,

V3(80-x)=120-x,

解得x=60-20V3«25.4米，

•••每层楼的高度为3米，

,25.4+3=8,47>8,

答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙.

【解析】【分析】设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x,可求出IEAM为等腰直角三角形，从

而得出AM=ME=80-x,可求出AMF为直角三角形且MFA=30°,可求出MF=V5AM=6（80-

x）,由于MF=M。一。尸=4B-CP=120—%,据此建立方程，求出x值，再除以每层楼的高度

3米，将结果与8米进行比较即可.

16.（5分）（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上

某建筑物AB的顶端A的俯角为30。，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为

45°,己知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：V2=

1.414,V3®=1.732).

【答案】解：如图，延长PQ,BA,相交于点E,

///////////////Btill

由题意可得：ABJ_PQ,NE=90。,

又•.•NBQE=45°,

；.BE=QE,

设BE=QE=x,

VPQ=5,AB=3,

PE=x+5,AE=x—3,

ZE=90°,

.".sinZAPE=嚣，

VZAPE=30°,

.,.tan300=噂，

x+53

解得：x=4V3+7R4,

答：无人机飞行的高度约为14米.

【解析】【分析】延长PQ,BA,相交于点E,由BQE=45°可得BE=QE,设BE=QE=x,可

得PE=5+x,AE=x-3,由APE=30°,可得tan30°===乌可得结果.

%+53

17.（5分）（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小

平面镜，当一位同学站在尸点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得尸G=

3m,这位同学向古树方向前进了9m后到达点。在。处安置一高度为1m的测角仪CD,此时测得

树顶A的仰角为30。，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF=1.5m,点B,D,G,尸在同一水平直

线上，且43,CD,£尸均垂直于8尸，求这棵古树A8的高.（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结

果保留根号）

则CH=BD,BH=CD=lm,

由题意得：DF=9m,

，DG=DF-FG=6(m),

在RtAACH中，ZACH=30°,

VtanZACH=得=tan300=孚，

；.BD=CH=V3AH,

VEF1FB,AB±FB,

.,.ZEFG=ZABG=90°.

由反射角等于入射角得NEGF=ZAGB,

/.△EFG^AABG,

.EF_FG

,,AB=BG'

pn_3

即AH+1-73/1H+6，

解得：AH=（8+4V3）m,

，AB=AH+BH=（9+4通）m,

即这棵古树的高AB为（9+4V3）m.

【解析】【分析】如图，过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=1m,由锐角三角函数定义

求出BD=CH=V3AH,再证明EFGABG,得到喋=煞，求出AH=（8+4遍）m,即可求

ADDU

解。

18.（5分）（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实

线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得乙4cB=90。,乙4BC=60。,48=

32cm,/.BDE=75°，其中一段支撑杆CD=84cm,另一段支撑杆DE=70cm,求支撑杆上

的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sinl5。*

0.26,cosl5°«0.97,tanl5°«0.27,8«1.732）

【答案】解：过。作DM_LEF交于M,过。作DN_LB4交BA延长线于N,如下图所

示：

〉

在RtABC中，Z.ABC=60°tAB=32,

由30。所对直角边等于斜边的一半可知，BC=16,

vDC=84,

・•・BD=BC+DC=100,

vZF=90°,zDMF=90°,

/.DM//FN,

・・・乙MDB=Z.ABC=60°,

在Rt△BDN中：sinzDB/V=sin60°=,代入数据：

/o

ON=写x100=50V3，

vzF=NN=Z.DMF=90,

，四边形MFND是矩形，

DN=MF=50>/3,

•••乙BDE=75°,/,MDB=60°,

乙EDM=75°-60°=15°,

又已知DE=70,

在Rt△DME中：sinzEDM=，

・•・ME=sinz.EDMxDE=sinl5°xDE=0.26x70»18.2,

・・・EF=ME+MF=50g+18.2=104.8=105(cm),

故点E到水平地面的距离EF约为105cm.

【解析】【分析】首先证明四边形FMDN为矩形，即可得到MF=DN,在直角三角形BDN中求出DN

的长度，在直角三角形MED中求出EM的长度，将EM和MF相加即可。

19.（5分）（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°,山顶B在水

中的倒影C的俯角为63.44°,此时无人机距水面的距离AD=50米，求点8到水面距离BM的

高度.

（参考数据：sin36.87°«0.60,cos36.87°«0.80,tan36.87°«0.75,sin63.44°«

0.89,cos63.44°«0.45,tan63.44°«2.00)

B

-红。

:'“63.44。

DM

【答案】解：过点A作4HJ.BM交于点H,由题意可得：AO=HM=50

B

H

：\/63.44°

DM

设BM=%,贝I]MC=BM=x

,/BH=BM-HM

ew=%-50

.,RH4

・••在Rt△ABH中，AH=,）

tan36.8703、-50J

•・•HC=HM+MC

，HC=50+x

.•.在RtAAHC中，AH=,鸵4。«

tan63.44°2

•4/G50+%

••3（%-50）=-^—

解得x=110

即BM=110

【解析】【分析】过点A作AHJ.BM交于点H,由题意可得AC=HM=50,设BM=%，则

MC=BM=x,BH=x-50,在Rt△ABH中，AH=「察―，在RtaAHC中，

tan36.87°

4'=线根据AH=AH列出方程，解之即可，

tan63.44

20.（5分）（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体

学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为

45°,站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23。，已知小明目高AE=1.4米，距旗杆

CG的距离为15.8米，小刚目高BF=1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最

后结果保留一位小数）（参考数据：sin23°«0.3907,cos23°*0.9205,tan23°«0.4245）

【答案】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，

，ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8

（米），

在RtADME中，"ME=90。//）5尸=45°

，/.EDM=45°

DM=ME=15.8（米）,

/.DG=DM+MG=15.8+1.4=17.2（米）；

在RIACNF中，乙CNF=90°/CFN=23°

tan23°=器，即CN=FN-tan23°=40x0.4245«17.0（米），

，CG=CN+NG=17.0+1.8=18.8（米），

/.CD=CG-DG18.8-17.2=1.6（米）

答：国旗的宽度CD是1.6米。

【解析】【分析】易证四边形GAEM、GBFN是矩形，利用矩形的性质可求出相关线段的长，可证得

△DME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出DM的长，即可求出DG的长；在

RSCNF中，利用解直角三角形求出CN的长，然后根据CG=CN+NG,求出CG的长；利用

CD=CG-DG,即可求出CD的长.

21.（5分）（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥.如图，宋老师测得大楼的高是20米，

大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角

4EAB，Z.EAC分别为67°和22。，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了.同学们：你

知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）.其中sin67°x—,cos67°«

5I?3152

Q，tan67°x二,sin22°、石，cos22°=隹，tan22°«三

YJL3boJL。-

口加工、E

□\'”、、、一

20m_______、

Q7Tsec

【答案】解：如图，：AE〃DB,

Ap------------------------------------E

D»C

.•.NABD=67°,NACD=22°,

VtanZABD=第，tanZACD=煞，

DDDC

20r20

.'.DB=F"=9今，DC=-=50,

T35

/.BC=DC-DB=50-孕匈.7（米）

【解析】【分析】由题意可得到/ABD和NACD的度数，再利用解直角三角形求出DB,DC的长；

然后根据BC=DC-DB,即可求出BC的长.

22.（5分）（202L南京）如图，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C,D.测得

CD=80m,乙ACD=90°,乙BCD=45°,Z.ADC=19°17,,乙BDC=56°19',设A,B,

C,D在同一平面内，求A,B两点之间的距离.（参考数据：tanl9oi7,20.35,tan56oi9,々

1.50.）

【答案】解：如图，作BEJ_CD于E,作BFLCA交CA延长线于F.

,//FCD=90°,

.••四边形CEBF是矩形，

VBE±CD,ABCD=45°,

.,.ZBCE=ZCBE=45°,

.\CE=BE,

二矩形CEBF是正方形.

设CE=BE=xm,

在RSBDE中，

BEx2

度=丽旃=藐石］/m,

CD=80m,

%4-o%=80,

解得x=48,

ACE=BE=48m,

・・•四边形CEBF是正方形，

/.CF=BF=48m,

•.,在RtAACD中，AC=CD-tanz.XDC=80xtanl9017,#80x0.35=28m,

，AF=CF-AC=20m,

.•.在RtAABF中，AB=>JAF2+BF2=V202+482=52m,

AA,B两点之间的距离是52m.

【解析】【分析】作BELCD于E,作BFLCA交CA延长线于F,易证矩形CEBF是正方形；设

CE=BE=xm,在RtABDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，根据CD=80建立关于x的方

程，解方程求出x的值，可得到CF的长；然后在RSACD中，利用解直角三角形求出AC的长，

根据AF=CF-AC,可求出AF的长；利用勾股定理求出AB的长.

阅卷入

四、综合题（共8题；共80分）

得分

23.（10分）（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角^BAC=13°,计划在该坡面上安装两排平行的光

伏板.前排光伏板的一端位于点A,过其另一端D安装支架DE,DE所在的直线垂直于水平线

AC,垂足为点F.E为DF与力B的交点.已知AD=100cm,前排光伏板的坡角WAC=28。.

参考数据：V2«1.41,V3«1.73,76«2.45

三角函数锐角A13°28°32°

sinA0.220.470.53

cosi40.970.880.85

tanA0.230.530.62

（1）（5分）求力E的长（结果取整数）；

（2）（5分）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角NCG4=32。.后排光伏板的前

端H在AB上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结

果取整数）？

【答案】（1）解：在RtAADF中，cos^DAF=

AF=ADcosZ.DAF

=100xcos28°

=100x0.88

二88cm

,.,Al?

在RtAAEF中，cosZ-EAF=诟

・AF8888

•,AE='^ZEAF=^135=0^7x91cm

（2）解：设DG交AB一直在点M,作ANLGD延长线于点N,如图，

则乙AMN=Z.MAC+Z.MGA

，Z.AMN=13°+32°=45°

在RtAADF中，DF=AD-sin^DAF=100xsin28°=100x0.47=47cm

在RtADFG中，第=tanzDGF=tan32°=0.62

n/7

FG=3x75.8cm

・・・AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm

VAN1GD

；・ZANG=90°

AN=AGxsin32°=163.8x0.53七86.8cm

在RtAANM中，.45。=留=需

...86.8ty

・AM=-k《123.1cm

・・41

T

JEM=AM-AE=123.1-91=32.1cmx32cm

EH的最小值为32cm。

【解析】【分析】（1）在RtADF中，由coszlM/7=痣求出AF,在RtAEF中，由COSN£4F=需

求出AE即可；

（2）设DG交AB一直在点M,作ANGD延长线于点N,由三角形外角的性质可得乙4MN=

AC+^MGA=45°,利用解直角三角形分别求出DF、FG,由AG=AF+FG求出AG,由4N=

4Gxsin32。求出AN,在RtANM中，由sin45。=特=骋求出AM,利用EM=AM-AE求出EM

AMAM

即得结论.

24.（10分）（2021・荆门）某海域有一小岛P,在以P为圆心，半径r为10（3+次）海里的圆形海域

内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶

20V2海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上.

（1）（5分）求A,P之间的距离AP；

（2）（5分）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么

海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域?

【答案】（1）解：如图1,PC1AB,交AB的延长线于C,

由题意知：Z.PAC=30°,Z.PBC=45°.

设PC=%：则BC=%,

._PC_x_73

tan3o0no=TTT；=—7=—=~5~,

AC2072+X3

解得x=10V2(V3+1)，

经检验：x=10V2(V3+l)是原方程的根，且符合题意，

PA=2x=20V6+20V2

(2)解：•.•％-「=10近(遍+1)-10遍(遍+1)=10(8+1)(鱼一百)<0,

x<r.

因此海监船继续向东航行有触礁危险；

设海监船无触礁危险的新航线为射线BD.

以P为圆心，10(3+75)为半径作圆，过B作圆P的切线BD,交。P于点D,

...NPDB=90°,

北

由(1)得：PB=V2x,

r10(3+73)_73

**•sin乙PBD而=缶=区

・•・ZPBD=60°,

/.ZCBD=15°,

・,•海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域

【解析】【分析】（1）作PCJ.4B,交AB的延长线于C,设PC=x,BC=x,由tan30。=

PC==四

x解出值即可;

冠—20y[2+x-丁X

（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD,以P

为圆心，10（3+73）为半径作圆，过B作圆P的切线BD,交OP于点D,可得IPDB=9O°,

由（1）得PB=e%,可得sin/PBD=磊=竺嗡③=空，据此可得PBD=60°,由「CBD=PBD-

PBC,求出〔CBD的度数即可.

25.（10分）（2021•安顺）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无

人机来测量广场B.C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A

处距离地面的飞行高度是41.6m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°,他抬头仰视无人

机时，仰角为a，若小星的身高BE-1.6m,EA-50m（点A,E,B,C在同一平面内）.

q\

BC

（sin63°«0.89,cos63°«0.45,tan63°*1.96,sin27°80.45,cos27°«0.89,tan27°«0.51）

（1）（5分）求仰角a的正弦值；

（2）（5分）求B,C两点之间的距离（结果精确到1小）.

【答案】（1）解：如图，过A点作AD_LBC于D,过E点作EFJ_AD于F,

A—

-"--r丁■■.

/：V63°

/：\

BDC

Y/EBD=ZFDB=ZDFE=90°,

四边形BDFE为矩形,

，EF=BD,DF=BE=1.6m,

，AF=AD-DF=41.6-1.6=40（m）,

在RtAAEF中,sinZAEF=釜=第=^，即sina=g.

答：仰角a的正弦值为1。

（2）解：在RtAAEF中，EF=7502-402=30m,

在RSACD中,ZACD=63°,AD=41.6m,

VtanZACD=罂，

，