上海嘉定区安亭高级中学2024届下学期高三数学试题第三次调研考试试卷

上海嘉定区安亭高级中学2024届下学期高三数学试题第三次调研考试试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平行四边形中，若则()A． B． C． D．2．函数f(x)=lnA． B． C． D．3．已知为锐角，且，则等于（）A． B． C． D．4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）A．48 B．63 C．99 D．1205．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④6．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．7．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．8．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A． B． C． D．9．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差10．已知向量，，则与共线的单位向量为()A． B．C．或 D．或11．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（）A． B． C． D．12．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是()A． B．2C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众4010女性青年观众3080现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.14．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．15．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________.16．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围18．（12分）已知函数（），不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，，，且，求的最大值.19．（12分）已知函数（1）若函数在处取得极值1，证明：（2）若恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.21．（12分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：22．（10分）已知函数．（1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值；（2）当时，若有两个极值点，，且，，若不等式恒成立，试求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【题目详解】如图所示,

平行四边形中,,

，，,

因为,

所以

,

，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.2、C【解题分析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=3、C【解题分析】

由可得，再利用计算即可.【题目详解】因为，，所以，所以.故选：C.【题目点拨】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.4、C【解题分析】

观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【题目详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以故选：C.【题目点拨】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.5、C【解题分析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【题目详解】（1）当时，，此时不存在图象；（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于①，在上单调递减，所以①正确；对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.故选：C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.6、B【解题分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【题目详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7、C【解题分析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【题目详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8、B【解题分析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【题目详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B【题目点拨】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.9、C【解题分析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【题目详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【题目点拨】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.10、D【解题分析】

根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【题目详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.11、C【解题分析】

设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.【题目详解】设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：因此有，设平面的法向量为，所以有，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.故选：C【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.12、A【解题分析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.【题目详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A【题目点拨】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解题分析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.【题目详解】由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，则分层抽样的样本容量是人.故答案为：32【题目点拨】本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.14、4【解题分析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【题目详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为：4【题目点拨】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的15、【解题分析】

根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值.【题目详解】点在单位圆上，设，由三角函数定义可知，因为，则，所以由同角三角函数关系式可得，所以故答案为：.【题目点拨】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.16、1【解题分析】

根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．【题目详解】解：圆的圆心为（1，1），半径，

因为直线被圆截得的弦长为2，

所以直线经过圆心（1，1），

，解得．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；（2）只需找到的最小值即可.【题目详解】（1）由.若时，，解得；若时，，解得；若时，，解得；故不等式的解集为.（2）由，有，得，故实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.18、（1）（2）32【解题分析】

利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.【题目详解】（1）∵，，所以不等式的解集为,即为不等式的解集为，∴的解集为,即不等式的解集为，化简可得,不等式的解集为，所以,即.（2）∵，∴.又∵，，，∴，当且仅当,等号成立,即，，时，等号成立，∴的最大值为32.【题目点拨】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.19、（1）证明见详解；（2）【解题分析】

（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；

（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.【题目详解】解：（1）由题知，∵函数在，处取得极值1，，且，，，令，则为增函数，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，则令，则,，，在上单调递增，且，有唯一零点，且，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.，由整理得，令，则方程等价于而在上恒大于零，在上单调递增，.，∴实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.20、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解题分析】

（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.【题目详解】解：（1）（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，则，，，，所以的分布列为：01230.0270.1890.4410.343数学期望（3）由题意知服从正态分布，则，所以可以认为该校学生的体重是正常的.【题目点拨】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.21、（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ