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文档简介
西北狼联盟高2024届高三2月联考(线上)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变2.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.3.设全集集合,则()A. B. C. D.4.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.5.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.86.在各项均为正数的等比数列中,若,则()A. B.6 C.4 D.57.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.8.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()A. B. C. D.9.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则下述四个结论:①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④10.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.11.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大B.这五年,2015年出口额最少C.这五年,2019年进口增速最快D.这五年,出口增速前四年逐年下降12.已知,则下列说法中正确的是()A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若关于的不等式在上恒成立,则的最大值为__________.14.在中,已知,,是边的垂直平分线上的一点,则__________.15.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.16.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.18.(12分)已知函数(1)若对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:19.(12分)已知函数,的最大值为.求实数b的值;当时,讨论函数的单调性;当时,令,是否存在区间,,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:21.(12分)如图,设点为椭圆的右焦点,圆过且斜率为的直线交圆于两点,交椭圆于点两点,已知当时,(1)求椭圆的方程.(2)当时,求的面积.22.(10分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【题目详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【题目点拨】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题2、B【解题分析】
根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【题目详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.【题目点拨】该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.3、A【解题分析】
先求出,再与集合N求交集.【题目详解】由已知,,又,所以.故选:A.【题目点拨】本题考查集合的基本运算,涉及到补集、交集运算,是一道容易题.4、A【解题分析】
先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【题目详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【题目点拨】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、D【解题分析】
由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【题目详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.6、D【解题分析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算.【题目详解】由题意.故选:D.【题目点拨】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.7、C【解题分析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C8、A【解题分析】
结合所给数字特征,我们可将每层数字表示成2的指数的形式,观察可知,每层指数的和成等比数列分布,结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【题目详解】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前10层的指数之和为,所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选:A【题目点拨】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题,逻辑推理,等比数列前项和公式应用,属于中档题9、B【解题分析】
首先根据三角函数的平移规则表示出,再根据对称性求出、,即可求出的解析式,从而验证可得;【题目详解】解:由题意可得,又∵和的图象都关于对称,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正确,②错误.故选:B【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用,三角函数的变换规则,属于基础题.10、C【解题分析】
模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【题目详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.【题目点拨】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.11、D【解题分析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.【题目详解】对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等,而2016年到2019年出口额都大于进口额,则A正确;对B项,由统计图可得,2015年出口额最少,则B正确;对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份,则C正确;对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的,则D错误;故选:D【题目点拨】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题,属于基础题.12、D【解题分析】
举例判断命题p与q的真假,再由复合命题的真假判断得答案.【题目详解】当时,故命题为假命题;记f(x)=ex﹣x的导数为f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命题为真命题;∴是假命题故选D【题目点拨】本题考查复合命题的真假判断,考查全称命题与特称命题的真假,考查指对函数的图象与性质,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
分类讨论,时不合题意;时求导,求出函数的单调区间,得到在上的最小值,利用不等式恒成立转化为函数最小值,化简得,构造放缩函数对自变量再研究,可解,【题目详解】令;当时,,不合题意;当时,,令,得或,所以在区间和上单调递减.因为,且在区间上单调递增,所以在处取极小值,即最小值为.若,,则,即.当时,,当时,则.设,则.当时,;当时,,所以在上单调递增;在上单调递减,所以,即,所以的最大值为.故答案为:【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路:已知不等式(为实参数)对任意的恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法;如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或,)求解.14、【解题分析】
作出图形,设点为线段的中点,可得出且,进而可计算出的值.【题目详解】设点为线段的中点,则,,,.故答案为:.【题目点拨】本题考查平面向量数量积的计算,涉及平面向量数量积运算律的应用,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.15、9【解题分析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.16、【解题分析】
由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【题目详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【题目点拨】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解题分析】
(1)补充完整的列联表如下:合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值,所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生,记为,竞赛成绩不合格的有名学生,记为,从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有:,共10种,这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有:,共3种,所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为.18、(1);(2)见解析.【解题分析】
(1)将问题转化为对任意恒成立,换元构造新函数即可得解;(2)结合(1)可得,令,求导后证明其导函数单调递增,结合,即可得函数的单调区间和最小值,即可得证.【题目详解】(1)对任意恒成立等价于对任意恒成立,令,,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减;有最大值,.(2)证明:由(1)知,当时,即,,,令,则,令,则,在上是增函数,又,当时,;当时,,在上是减函数,在上是增函数,,即,.【题目点拨】本题考查了利用导数解决恒成立问题,考查了利用导数证明不等式,考查了计算能力和转化化归思想,属于中档题.19、(1);(2)时,在单调增;时,在单调递减,在单调递增;时,同理在单调递减,在单调递增;(3)不存在.【解题分析】分析:(1)利用导数研究函数的单调性,可得当时,取得极大值,也是最大值,由,可得结果;(2)求出,分三种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(3)假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,进而可得结果.详解:(1)由题意得,令,解得,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以当时,取得极大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定义域为.①即,则,故在单调增②若,而,故,则当时,;当及时,故在单调递减,在单调递增.③若,即,同理在单调递减,在单调递增(3)由(1)知,所以,令,则对恒成立,所以在区间内单调递增,所以恒成立,所以函数在区间内单调递增.假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,即方程在区间内是否存在两个不相等的实根,令,,则,设,,则对恒成立,所以函数在区间内单调递增,故恒成立,所以,所以函数在区间内单调递增,所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述,不存在区间,使得函数在区间上的值域是.点睛:本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值,属于难题.求函数极值、最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20、(Ⅰ)最小值为;(Ⅱ)见解析【解题分析】
(1)根据题意构造平均值不等式,结合均值不等式可得结果;(2)利用分析法证明,结合常用不等式和均值不等式即可证明.【题目详解】(Ⅰ)则当且仅当,即,时,所以的最小值为.(Ⅱ)要证明:,只需证:,即证明:,由,也即证明:.因为,所以当且仅当时,有,即,当时等号成立.所以【题目点拨】本题考查均值不等式,分析法证明不等式,审清题意,仔细计算,属中档题.21、(1)(2)【解题分析】
(1)先求出圆心到直线的距离为,再根据得到,解之即得a的值,再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出,,再求得的面积.【题目详解】(1)因为直线过点,且斜率.所以直线的方程为,即,所以圆心到直线的距离为,又因为,圆的半径为,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示椭圆的方程为.(2)由(1)得,椭圆的右准线方程为,离心率,则点到右
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