第四章 数列章末题型归纳总结（解析版）

第四章数列章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：等差(比)数列的基本运算经典题型二：等差、等比数列的判定经典题型三：等差、等比数列的性质及应用经典题型四：数列通项公式经典题型五：数列求和经典题型六：数列的实际应用经典题型七：数列中的范围与最值问题经典题型八：数学归纳法模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：等差(比)数列的基本运算例1．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，数列为等差数列，且，则，，故选：C．例2．（2023·湖南·高二校联考期中）等差数列中，，则的前2023项和为（

）A．1011 B．2022 C．4046 D．8092【答案】C【解析】数列是等差数列，故，故.故选：C例3．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．64 B．32 C．28 D．22【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，则，解得.故选：C例4．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知等差数列满足：，.若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】因为，，所以，则，所以，，设，，都加上同一个数，得到的三个新数依次为、、，则，解得.故选：A例5．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【解析】因为，为等差数列，则，即.故选：D.例6．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（

）A．16 B．4 C． D．【答案】C【解析】由题意等比数列的连续四项构成集合，则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，由于，故后一项绝对值大于前一项的绝对值，故集合中的这四个数在数列中排列为，则.故选:C例7．（2023·甘肃酒泉·高二校考期中）等比数列中，，则（）A． B． C．2 D．12【答案】A【解析】.故选：A例8．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在等比数列中，，则（

）A．3 B．3 C．3或3 D．或【答案】B【解析】令等比数列的公比为，则，所以，解得，所以.故选：B.例9．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．11【答案】A【解析】设，则，所以.故选：A例10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，则，，右边，等式不成立，故，则，显然，所以，解得，又因为，代入得，所以，故选：D.经典题型二：等差、等比数列的判定例11．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列各项均为正数，且，.(1)证明：为等差数列，并求出通项公式；(2)设，求.【解析】（1）因为，所以，，因为数列各项均为正数，即，所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.所以.（2）由（1）知，其公差为，所以，所以，.例12．（2023·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的通项公式.【解析】（1）由，，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.（2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.例13．（2023·全国·高二专题练习）设数列的前n项和为，，，．证明：为等差数列；【解析】当时，，则，即，，·因为，·所以有①，所以②，则①②得，即，·所以为等差数列．例14．（2023·江西抚州·高二金溪一中校联考期中）已知数列满足(1)记，证明：数列为等差数列；(2)若把满足的项称为数列中的重复项，求数列的前100项中所有重复项的和.【解析】（1）证明：由，得，又.故，得4，故，所以数列是以6为首项，4为公差的等差数列.（2）设，得，又.故，得，故，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，由题意，数列的前100项中的重复项为数列的前50项与数列的前50项中的公共项，设数列与数列的公共项所成数列为，则数列是以6为首项，4为公差的等差数列，所以，又，当时，，所以数列的前50项与数列的前50项中有24个公共项，数列的前24项和为1248，所以数列的前100项中所有重复项的和为.例15．（2023·重庆·高二统考期末）已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）．(1)写出，；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)求数列的前2n项和．【解析】（1）数列满足，，，，，，选择①，，；选择②，，.（2）选择①，证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.选择②证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.（3）选择①，由（2）可得，∴∴，∴令∴选择②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.例16．（2023·天津·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且（）.(1)证明：数列为等比数列；(2)令，求数列的前项和.【解析】（1）证明：当时，，可得，当时，，，

相减得：，则，

由，得，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）得，，所以

所

所以相减

∴.例17．（2023·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求证数列的前项和．【解析】（1）因为所以，当时，，，两式相减可得，即，又所以，所以可得，，又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）因为题（1）中是以1为首项，3为公比的等比数列.所以继而可得，所以，，所以，所以，又可得，所以，所以例18．（2023·江西赣州·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和为，，．(1)求，并证明数列是等比数列；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1）令中，得，，所以，，因为，所以．所以，又时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列；（2）由（1）得，，所以．所以．例19．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)证明：是等比数列.【解析】（1）因为数列的前项和为，且.当时，，当时，，也满足，故对任意的，.（2）当时，，可得，所以，，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，因此，数列是公比为的等比数列.经典题型三：等差、等比数列的性质及应用例20．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知等差数列满足，则．【答案】5【解析】因为，且，所以，解得.故答案为：例21．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知等差数列中，，则的值为.【答案】8【解析】根据等差数列性质可得，可得；所以可得.故答案为：8例22．（2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）在等差数列中，，，，则．【答案】10【解析】因为为等差数列，所以由等差数列的性质的：，即：，解得：.故答案为：10例23．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则．【答案】【解析】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，即，可得，且，解得，又由.故答案为：.例24．（2023·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）已知等差数列，若，则．【答案】【解析】已知等差数列，所以则，所以故.故答案为：.例25．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则=.【答案】【解析】因为数列{an}和{bn}都是等差数列且=，所以，故答案为：例26．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则．【答案】【解析】两个等差数列和的前项和分别为和，且，故设，则，,所以，故答案为：例27．（2023·新疆喀什·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则.【答案】【解析】因为等比数列中，，所以，解得，故答案为：例28．（2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期末）已知数列满足，若，则的值为．【答案】【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为，由，，得，所以，所以，所以.综上，的值为.故答案为：1例29．（2023·山东青岛·高二校联考期中）正项等比数列中，，是方程的两个根，则.【答案】【解析】，是方程的两个根，由韦达定理可得，正项等比数列中，有，所以.故答案为：例30．（2023·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则．【答案】8【解析】在等比数列中，，，也成等比数列，因为，，所以，故答案为：例31．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则．【答案】【解析】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以；由，得，即，所以，解得，则．法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列，其公比为，设，显然，则，，所以，所以．故答案为：例32．（2023·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则.【答案】【解析】设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故答案为：经典题型四：数列通项公式例33．（2023·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，，，则.【答案】【解析】对任意的，，则，当时，则有，可得；当时，，即，所以，数列是等差数列，首项为，公差为，所以，，则，故当时，，也满足，故对任意的，.故答案为：.例34．（2023·浙江绍兴·高二校考期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为.【答案】【解析】由数列的前n项和为，当时，可得；当时，所以数列的通项公式为.故答案为：.例35．（2023·河南周口·高二统考期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为．【答案】【解析】当时，，又,则数列从第二项开始，是一个首项为12，公比为3的等比数列，，所以．又符合，所以．故答案为：.例36．（2023·海南·高二校考期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.【答案】【解析】当时，，所以，即①当时，，故不符合①式，所以当时，，则数列的通项公式为.故答案为：.例37．（2023·四川绵阳·高二绵阳中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则.【答案】10【解析】由得：时，，所以，由于，所以，故，，所以，故答案为：10例38．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和为，且，又数列满足，且，分别求数列及的通项公式．【解析】由可得时，，故，即，因此是以2为公比的等比数列，当时，，所以，由可得，所以，，……,,累加可得，故例39．（2023·甘肃天水·统考一模）在数列中，，且，求数列的通项公式．【解析】由题设，所以且，显然满足上式，所以例40．（2023·江苏南通·高二校考期中）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求．【解析】（1）由，得，则当时，，所以，当时，上式成立，所以；（2）由（1）知①，②，①②得，，．例41．（2023·全国·高三专题练习）已知：，（）求数列的通项.【解析】在数列中，，当时，，显然，则，，也满足上式，所以数列的通项是.例42．（2023·甘肃·高二统考期中）已知数列满足，，设.(1)求；(2)求的通项公式.【解析】（1）由得，，所以数列，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，，.（2）由（1）可得，所以.例43．（2023·高二课时练习）已知函数，.数列满足，且，求数列的通项公式.【解析】∵，∴，∵.∴，即.∴.∵，∴.例44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.例45．（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．【解析】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．例46．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】为等差数列，首项，公差为，.例47．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.【解析】因为，所以.由可得，所以.又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.例48．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，且.(1)求，并证明是等比数列；(2)求的通项公式.【解析】（1）由，，得，，，∴，是首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）知.例49．（2023·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）数列满足.(1)若，求证：为等比数列；(2)求的通项公式．【解析】（1）由于，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以.例50．（2023·高二课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；【解析】由，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．例51．（2023·湖南岳阳·统考一模）数列满足，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）当时，，，解得：，当时，由可知，，两式作差可得：，即，又，所以,所以.所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，两边同除以，得，又，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，整理得，故数列的通项公式为.例52．（2023·全国·高二随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式：(1)，，，，……(2)，，，，……【解析】（1）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）.（2）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）.经典题型五：数列求和例53．（2023·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．【答案】【解析】，，因为①，所以②，两式相加得，所以.故答案为：例54．（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【解析】（1）由题知，即，整理得，解得；（2）由题知，，且，则，又，故，即.例55．（2023·广东江门·高三统考阶段练习）已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.【解析】（1）当时，，所以，时，①，②，①②得，即，，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以；（2），即③，④，④③，得，因为，，所以.例56．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列的前项和是，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.【解析】（1）证明：当时，，得：；当时，得：，将两式相减得：，得：，所以得：当时，是等比数列，通项公式为：，当，也符合，故可证：数列为等比数列.（2）由（1）得：，则得：，则：①②①②得：，化简得：.所以：数列的前项和：.例57．（2023·江苏无锡·高三统考期中）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．【解析】（1）由，得，所以，所以，当时，，所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，所以，设数列的前项和为，则，，所以，所以.例58．（2023·山东潍坊·高三统考期中）设为数列的前项和，(1)求的通项公式；(2)若数列的最小项为第项，求；(3)设数的前项和为，证明：【解析】（1）由题意知，当时，当时，符合上式，所以；（2）由（1）知，，，所以，当且仅当即时，等号成立.所以数列的最小项为第一项，故；（3）由（1）知时，记，设为数列的前项和，则时，时，，因为所以综上，例59．（2023·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列前项和．【解析】（1）设的公差为，因为，所以，又，所以，解得，所以，．（2），所以．例60．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和．【解析】（1）因为为等差数列，设公差为，又因为成等比数列，即，即，解得，所以；（2），所以.例61．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.【解析】（1）因为①所以当时，，解得，当时，②，由①②得，即，又满足上式，所以.（2）证明：因为，所以.例62．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在数列中，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，证明：.【解析】（1）由，两边同除以，可得，即，因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得，所以，即数列的通项公式为.（2）由，可得，所以数列的前项和为，因为，可得，即.例63．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知递增的等差数列和等比数列满足.(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和.【解析】（1）由已知，，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，解得或（舍去），所以，；（2）由（1）．例64．（2023·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，即，设等差数列公差为，因为，，所以，即.（2）因为，所以,由（1）可得，设前项和为，.例65．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．（2）因为，所以，所以．例66．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）因为在数列中，，，所以，，所以，等式两边同加上得，因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．（2）因为，即所以，为单调递减数列，因为，，所以，时，，时，，记的前项和为，则，所以，当时，，；当时，，，①，②所以，①②得：，即，综上，例67．（2023·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是.【答案】1005【解析】由得，所以，所以,相加可得,故答案为：1005经典题型六：数列的实际应用例68．（2023·全国·高二随堂练习）小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（

）元之间，并说明理由．A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万【答案】B【解析】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元），所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间.故选：B例69．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（

）万元．A． B． C． D．【答案】D【解析】设今后10年每年的销售额为，因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加.所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为，所以今后10年每年的销售额构成等比数列，公比为，首项为.所以今年起10年内这家超市的总销售额为故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元.故选：D例70．（2023·河南·高二校联考期末）如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（

）A．mm B．mmC．mm D．mm【答案】B【解析】轧辊的周长为，由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等，又因为宽度不变，有，所以，而，所以数列是以为公比的等比数列，所以，即.故选：B例71．（2023·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（

）元．A． B． C． D．【答案】D【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为：，第二个月末所欠银行贷款为：,，……，第10个月末所欠银行贷款为：由于分10次还清所有的欠款，故，解得，故选：D．例72．（2023·贵州安顺·高二统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（

）（参考数据：，）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】设该污染物排放前需要过滤的次数为，则由题意得，即，所以，，，所以，因为，，所以，所以，因为，所以的最小值为8，故选：B例73．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（

）A．7年 B．8年 C．9年 D．10年【答案】B【解析】第一年年产量为，以后各年年产量为，，当时也符合上式，∴．令，得．设，对称轴为，则当时，单调递增，又因为，，则最大生产期限应拟定为8年，，故选：B．经典题型七：数列中的范围与最值问题例74．（2023·北京东城·统考二模）已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，，要使数列是递增数列，必有解得.故选：C.例75．（2023·安徽阜阳·高一安徽省太和中学阶段练习）设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得，解不等式组可得．故选C．例76．（2023·北京·高二清华附中校考期中）已知数列的前项和，下列判断中正确的是（

）A． B．数列是单调递减数列C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值【答案】C【解析】数列的前项和，当时，，当时，，当，代入上式，即，符合上式，所以，故A错误；由可知，数列是单调递增数列，故B错误；因为，，，，，，，当时，，当时，，所以数列前项的乘积有最大值，最大值为，故C正确，D错误.故选：C.例77．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，由，，两式相减可得，则．∵，∴，故，当取得最大值时有，即解得，又，∴．故选：C例78．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】A【解析】因为等比数列各项都是正数，，所以，当且仅当时，取等号，所以有最小值12，无最大值.故选：A.例79．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．没有最大值【答案】B【解析】在等比数列中，由，，得，即有，，若，则，，此时，与已知条件矛盾，因此，B正确，C错误；显然数列是递减数列，由，得，则，A错误；由于，当，，而，则，当时，，则，因此当时，逐渐增大，当时，逐渐减小，所以的最大值为，D错误.故选：B例80．（2023·河南驻马店·高二统考期中）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大值为或【答案】D【解析】AB选项，因为，所以，因为数列是以为公差的等差数列，所以，故，解得，又，所以，，AB错误；C选项，，故C错误；D选项，由于，，，故当时，，当时，，故的最大值为或，D正确.故选：D例81．（2023·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】对于函数对称轴为，开口向下，所以当时函数取得最大值，所以当时取得最大值.故选：B例82．（2023·广西河池·高二统考期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，令，即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则，解得，故选：C．例83．（2023·四川成都·高一石室中学校考期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（

）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【解析】因为，所以和异号，又等差数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，所以，，所以当时，的最大值为19．故选：C．例84．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期末）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】在等差数列中，由，得，则.又，由于，所以，所以当时，取得最小值.故选：B.例85．（2023·高二校考课时练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（

）A． B．20 C． D．19【答案】B【解析】设公差为，由，所以，解得，所以，所以，令，则，对于函数，对称轴为，开口向上，，，所以当时，，即，当时，，即，所以当时，则的最小值为.故选：B.例86．（2023·广东江门·高二统考期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】由题易知，因为，所以，所以数列是公比为的等比数列，由，得，解得，所以，所以，要使取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，所以当取得最小值时，，故选：B.经典题型八：数学归纳法例87．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上【答案】【解析】由题意，当时，所得等式左端为；当时，所得等式左端为；所以当时，左端应在时的左端上加上.故答案为：.例88．（2023·上海宝山·高二校考期中）用数学归纳法证明时，从“到”左边需要增加的代数式是【答案】【解析】把和代入等式左边分别可得：①②两式作差得.故答案为：例89．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为.【答案】【解析】当时，不等式为，当时，不等式为.故答案为：.例90．（2023·高二课时练习）已知，则．【答案】【解析】由，可得则，即.故答案为：.例91．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．【解析】当，则成立，若且时，成立，令，则，所以时不等式也成立，综上，恒成立.例92．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于．【解析】设，当时，三角形的内角和为，即，结论成立；假设当时，结论成立，即，假设凸边形，如下图所示：则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，所以，，这说明当时，结论成立，故凸边形的内角和.例93．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）【解析】当时，，故能被整除，假设当时，结论成立，即能被整除，则当时，，由于和均能被整除，故能被整除，综上：能被整除（）.例94．（2023·陕西西安·高二校考期中）在数列中，，．(1)写出，，，，猜想这个数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．【解析】（1）在数列中，，.当时，；当时，；当时，；所以，，，，猜测.（2）①当时，，，所以，所以时，等式成立；②假设当时，等式成立，即，则，所以时，等式成立.综合①和②可知，对于任意的，均成立.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例95．若数列满足，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】因为①，当时，，当时②，①②得，所以，当时也成立，所以，故选：例96．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（

）A．32 B．33 C．44 D．45【答案】C

【解析】当

n

为偶数时，

，令

，且n为偶数，故

，故n的最大值为44；当

n

为奇数时，

，令

，且

n

为奇数，解得

，故n的最大值为43；综上所述：n的最大值为故选：例97．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则“有最大值”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】若，当时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然取到最大值，

当，则等差数列的项必然先正后负，不妨设，，则取到最大值，故可以推出有最大值；若有最大值，

当时，，若，则取到最大值，充分性不成立．于是“有最大值”是“”的必要不充分条件．故选：B例98．已知为等比数列，公比，则（

）A．81 B．27 C．32 D．16【答案】A

【解析】根据

可得

，所以

或

，若

，则

不符合要求，若

，则

符合要求，故

，故选：A例99．在数列中，，，且，则（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650【答案】D

【解析】

在数列中，，当n为奇数时，，即，即数列中的奇数项为常数列，且各项均为2；当n为偶数时，，即数列中的偶数项为等差数列，且，公差为因此…故本题选例100．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根据题意，数列的前n项和，当时，，当时，，故，故选：②转化与化归思想例101．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前50项和（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由题意，可知，，，，，成等比数列，，即，解得，，，………故选：例102．已知数列的前n项和为，若对任意的N，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】由，得，因为对任意的，不等式恒成立，所以，解得或故选例103．数列的通项公式，若前n项的和为10，则项数为

A．11 B．99 C．120 D．121【答案】C

【解析】数列的通项公式是，记数列的前n项和为，其前n项的和为

，令

，

则，即，故选例104．已知数列满足，，若存在实数t，使