2023-2024学年湖南省长沙市长雅中学九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2023-2024学年湖南省长沙市长雅中学九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．把方程化成的形式，则的值分别是（）A．4，13 B．-4，19 C．-4，13 D．4，192．如图，在线段AB上有一点C,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直线BD与线段AE,线段CE分别交于点F,G.对于下列结论：①△DCG∽△BEG；②△ACE∽△DCB；③GF·GB=GC·GE；④若∠DAC=∠CEB=90°,则2AD2=DF·DG.其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②3．已知二次函数，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且满足，则当时，的值为（）A． B． C． D．4．已知抛物线，则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．当时，的最大值为 D．抛物线与轴的交点为5．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B． C．32 D．6．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为A．4 B．5 C．6 D．7．将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（）A． B．C． D．8．函数与，在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．3 C．5 D．1或510．下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．11．如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为1．BC＝9，则PA的长为（）A．8 B．4 C．1 D．512．如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．202.5cm2 B．320cm2 C．400cm2 D．405cm2二、填空题（每题4分，共24分）13．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是_____．14．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°＝_____．15．如图，为外一点，切于点，若，，则的半径是______.16．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．17．抛物线与y轴的交点做标为__________．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB=20，CD=16，则OE的长为______．三、解答题（共78分）19．（8分）若关于x的方程kx2﹣2x﹣3＝0有实根，求k的取值范围．20．（8分）抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的两个交点分别为和，与轴的交点为，其中．（1）写出点的坐标________；（2）若抛物线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求点的坐标；（3）点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值．21．（8分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．22．（10分）某校一课外活动小组为了了解学生最喜欢的球类运动况,随机抽查了本校九年级的200名学生,调查的结果如图所示，请根据该扇形统计图解答以下问题：(1)图中的值是________；(2)被查的200名生中最喜欢球运动的学生有________人；(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生(记为),1名最喜欢乒乓球运动的学生(记为),1名最喜欢足球运动的学生(记为)组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长(不分正副),列出所有可能情况,并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．23．（10分）计算：．24．（10分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．25．（12分）武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、小柯、小刘都要参加本次考查．（1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验A考查的概率；（2）他们三人中至少有两人参加实验B的概率（直接写出结果）．26．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】解：∵x2+8x-3=0,

∴x2+8x=3,

∴x2+8x+16=3+16,

∴（x+4）2=19,

∴m=4，n=19,

故选：D．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．2、A【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的相似三角形证得∠AEC=∠DBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACE∽△DCB证得F、E、B、C四点共圆，由此推出△DCF∽△DGC，列比例线段即可证得④正确.【详解】①正确；在等腰△ACD和等腰△ECB中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,∴∠DCG=180-∠ACD-∠BCE=∠BEC,∵∠DGC=∠BGE,∴△DCG∽△BEG;②正确；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG,∴∠ACE=∠DCB,∵,∴△ACE∽△DCB；③正确；∵△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∵∠FGE=∠CGB,∴△FGE∽△CGB,∴GF·GB=GC·GE；④正确；如图，连接CF,由②可得△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∴F、E、B、C四点共圆，∴∠CFB=∠CEB=90，∵∠ACD=∠ECB=45，∴∠DCE=90，∴△DCF∽△DGC∴,∴,∵,∴2AD2=DF·DG.故选：A.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF，由此证明F、E、B、C四点共圆，得到∠CFB=∠CEB=90是解本题关键.3、A【分析】根据，求得m＝3或−1，根据当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断m＝-1符合题意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．【详解】解：∵，∴m＝3或−1，∵二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向下，又∵当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，∴−1≤m≤0∴m＝-1符合题意，∴二次函数为，当x＝0时，y＝1．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意确定m＝-1是解题的关键．4、D【分析】根据二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D进行判断．【详解】A、a=1＞0，则抛物线的开口向上，所以A选项错误；B、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B选项错误；C、当x=1时，有最小值为，所以C选项错误；D、当x=0时，y=-3，故抛物线与轴的交点为，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．5、B【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH=OA，进而推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB=90°，同理，∠ABC=∠ADC=90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．【详解】过O作OH⊥AB交⊙O于E，延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD．∵AB∥CD，∴EF⊥CD．∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=OA，∴∠HAO=30°，∴∠AOH=60°，同理∠DOG=60°，∴∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形．∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AOD+∠AOB=180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB=90°，同理，∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD=AO=4，AB=AD=4，∴四边形ABCD的面积是16．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解答本题的关键．6、B【分析】由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得OB的长．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，,，且，，在中，点O是斜边AC上的中点，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．7、D【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为：.故选D.【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.8、D【解析】由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【详解】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0，

我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，可排除A；

当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在x轴上方，可排除C；

当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在x轴下方，

函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；

故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键.9、D【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选D．【点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．10、C【分析】根据一元二次方程的定义依次判断后即可解答.【详解】选项A，是一元一次方程，不是一元二次方程；选项B，是二元二次方程，不是一元二次方程；选项C，是一元二次方程；选项D，是分式方程，不是一元二次方程.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程是解决问题的关键.11、C【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO＝90°，再判定△PDO∽△PCB，最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可．【详解】解：连接DO∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∵BC⊥PC，∴∠C＝90°，∴∠PDO＝∠C，∴DO//BC，∴△PDO∽△PCB，∴，设PA＝x，则，解得：x＝1，∴PA＝1．故答案为C．【点睛】本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质，证得△PDO∽△PCB是解答本题的关键．12、C【分析】先根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用勾股定理可求出x的值，然后根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【详解】∵四边形CDEF为正方形，∴，，∴，，∵，，设，则，∴，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，则剩余部分的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出两个相似三角形是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】解：掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，所以掷到上面为奇数的概率为：．故答案为．14、1【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：2cos30°+tan45°﹣4sin260°＝2×+1﹣4×＝3+1﹣4×＝4﹣3＝1故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．15、1【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=1，故答案为：1．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．16、1【解析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝1cm，故答案为1．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．17、(0，9)【分析】令x=0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．【详解】解：x=0时，y=-9，

所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）．

故正确答案为：(0，-9)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．18、6【分析】连接OC，易知，由垂径定理可得，根据勾股定理可求出OE长.【详解】解：连接OCAB是⊙O的直径，AB=20弦CD⊥AB于E，CD=16在中，根据勾股定理得，即解得故答案为：6【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.三、解答题（共78分）19、k≥﹣．【分析】分k＝0和k≠0分别求解，其中k≠0是利用判别式列出不等式，解之可得．【详解】解：若k＝0，则方程为﹣2x﹣3＝0，解得x=-；若k≠0，则△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣3）＝4+12k≥0，解得：k≥﹣且k≠0；综上，k≥﹣．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．20、（1）；（2）点的坐标为或；（3）MD长度的最大值为．【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为（-1，0），则点B（3，0），即可求解；

（2）由S△POC=2S△BOC，则x=±2OB=6，即可求解；

（3）设：点M坐标为（x，x-3），则点D坐标为（x，x2-2x-3），则MD=x-3-x2+2x+3，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，故：答案为；（2）二次函数表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，所以由题意得：，设P（x,）则所以则，所以当时，=-21，当时，=45故点的坐标为或；（3）如图所示，将点坐标代入一次函数得表达式得，解得：，故直线的表达式为：，设：点坐标为，则点坐标为，则，故MN长度的最大值为．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．21、k＝1，x＝【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根．【详解】将x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，∴k＝1，∴该方程为2x2﹣3x﹣5＝0，设另外一根为x，由根与系数的关系可知：﹣x＝，∴x＝．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键.22、（1）35；（2）190；（3）所有可能的情况见解析，．【分析】（1）考查了扇形图的性质，根据所有小扇形的百分数和为即可得；（2）根据扇形图求出最喜欢球运动的学生人数对应的百分比，从而即可得；（3）先列出所有可能的结果，再找出2人均为最喜欢篮球运动的学生的结果，最后利用概率公式求解即可．【详解】（1）由题得：解得：故答案为：35；（2）最喜欢球运动的学生人数为（人）故答案为：190；（3）用表示3名最喜欢篮球运动的学生，B表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，C表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的所有可能的情况10种，即有，它们每一种出现的可能性相等选出的2人均是最喜欢篮球运动的学生的情况有3种，即则选出2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率为．【点睛】本题考查了扇形统计图的概念及性质、利用列举法求概率，较难的是（3