2023-2024学年四川省内江重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省内江重点中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线y=3xA.30° B.60° C.90°2.在空间中，下列命题是真命题的是(

)A.经过三个点有且只有一个平面

B.垂直同一直线的两条直线平行

C.如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

D.若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面3.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A

A.6 B.2 C.12 D.4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为(

)A.2π B.4π C.8π5.已知平面α⊥平面β，α∩β=A.若直线m⊥平面α，则m//β B.若平面γ⊥平面α，则γ/​/β

C.若直线m⊥直线l6.已知直线l1：mx+2y−2=0与直线lA.−5 B.2 C.2或−5 7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A.−1625 B.925 C.168.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图

A.(229,149) B.(二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于直线l：x=my+A.直线l恒过定点(1,0)

B.直线l斜率必定存在

C.m=3时，直线l的倾斜角为6010.给出以下命题，其中正确的是(

)A.直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直

B.直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n11.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△AA.BD⊥AC B.△ABC是等边三角形

C.三棱锥D12.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设A1A=A1B1A.BC⊥平面AA1A2

B.AA1/​/平面BB2C2C

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知A(0,2)，B(3,014.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为2π3，则圆柱的体积为______．15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=2，AC=3，16.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,18.(本小题12分)

已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠D19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB20.(本小题12分)

已知直线l：kx−y+4k+2=0(k∈R)．

(Ⅰ)证明：直线l恒过第二象限；

(Ⅱ)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y21.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AC=A1C=2，平面A22.(本小题12分)

如图所示，等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使得D到达点P的位置(P∉平面ABCE答案和解析1.【答案】B

【解析】解：直线y=3x的斜率为3，

所以其倾斜角为60°．

故选：2.【答案】D

【解析】解：对于A，若三点共线，则经过三个点的平面有无数个，故A错误；

对于B，垂直于同一直线的两直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故B错误；

对于C，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；

对于D，若两个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面，故D正确．

故选：D．

由平面的基本性质判断A；由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断B；由等角定理判断C；根据面面平行的定义，即可判断D．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.【答案】C

【解析】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，

所以△OAB是直角三角形，且两条直角边长为6和4，

它的面积为S△OA4.【答案】B

【解析】解：由已知球的直径为2，故半径为1，

其表面积是4×π×12=4π，

5.【答案】D

【解析】【分析】

由线面的位置关系可判断A；由面面的位置关系可判断B；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C；由面面垂直的判定定理可判断D．

本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．【解答】解：平面α⊥平面β，α∩β=l，若直线m⊥平面α，则m//β或m⊂β，故A错误；

平面α⊥平面β，若平面γ⊥平面α，则γ/​/β或γ与β相交，故B错误；

平面α⊥平面β，α∩β=l，若m⊥l，则可能m⊂β，故6.【答案】A

【解析】解：若l1//l2，则m(m+3)−2×5=m2+3m−10=(m−2)(7.【答案】A

【解析】解：因为AC=3,BC=3,AB=32，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC，

又因为侧棱与底面垂直，

所以以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C−xyz，如图所示：

易得C(0,0,0)，C1(0,8.【答案】B

【解析】解：建立如图所示的坐标系：

可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x+y=4，

△ABC的重心为(43,43)，设P(a,0)，其中0<a<4，

则点P关于直线BC的对称点P1(x,y)，满足a+x2+y2=4yx−a⋅(−1)=−1

解得x=4y=4−a即P1(4,4−a)，

易得P关于y轴的对称点P2(−a,0)，

所以直线QR斜率为49.【答案】AD【解析】解：对于直线l：x=my+1，令y=0，求得x=1，可得它恒过定点(1,0)，故A正确；

当m=0时，它的斜率不存在，故B错误；

m=3时，直线l的斜率为13=33，故它的倾斜角为30°，故C错误；10.【答案】AD【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，有a⋅b=1×2−1×1+2×(−12)=0，则a⊥b，所以l与m垂直，故A正确；

对于B，直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，

而a⋅11.【答案】AB【解析】解：对A选项，∵平面ABD⊥平面ACD，

又BD⊥AD，且平面ABD∩平面ACD=AD，

∴BD⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，

∴BD⊥AC，∴A选项正确；

对B，C选项，由A选项可知BD⊥平面ACD，又DC⊂平面ACD，

∴BD⊥DC，又AD⊥BD，AD⊥DC，且AD=BD=DC，

∴AB=BC12.【答案】AC【解析】解：对于A.如图所示，连接A1A2，取BC中点D，取B1C1中点E.连接A1E，AD，DE．

由等边三角形的性质得BC⊥AD，由等腰梯形的性质得BC⊥DE.又AD∩DE=D，AD，DE⊂平面ADEA1，

所以BC⊥平面ADEA1．

所以BC⊥AA1.同理BC⊥AA2，又AA1∩AA2=A，AA1，AA2⊂平面AA1A2，

所以BC⊥平面AA1A2，所以该选项正确；

对于B，首先计算等腰梯形的高=12−(12)2=32，再计算几何体ABC−A1B1C1的高．

取AB中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，设O1是△A1B1C1的中心，O2是△ABC的中心．

过A1作A1G⊥AD，过E作EH⊥AD⋅DH=O2D−O2H=33−13×32=3613.【答案】−9【解析】解：∵A(0,2)，B(3,0)，C(m,1−m)三点共线，

∴A14.【答案】2【解析】解：设球O的半径为R，圆柱的底面圆半径为r，则高为2r．

由球的体积为2π3，得43πR3=2π3，∴R3=12，

又∵r2+r2=R15.【答案】1324【解析】解：在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，

AB=2，AC=3，BD=4，CD=4，

∴BD⊥AB，AC⊥AB，∴DB⋅BA=BA⋅AC=0，

设二面角C−AB−D16.【答案】π2【解析】解：根据题意，由AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，

设G′是AB1的中点，又F为B1D的中点，则G′F/​/AD且G′F=12AD，

而CE=12BC=12AD且EC/​/AD，所以G′F//EC且G′F=EC，

即FG′EC为平行四边形，故EG′//CF且EG′=CF，

故F的轨迹与G′的轨迹相同．

因为A17.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，

可得kAB=7−06−4=72，

所以A【解析】(1)由题意可得AB所在的直线的斜率，进而可得AB边上的高所在的直线的斜率，代入点斜式，可得直线的方程；

(2)求出BC的中点D18.【答案】解：(1)MN=MD1+D1A1+A1N

=−34D1B−AD+23A1C1

【解析】本题考查空间向量的基本定理，考查空间向量的线性运算，考查利用空间向量数量积求模等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)由MN=MD1+19.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，∴O是BD的中点，

又E是棱PD上的中点，∴OE/​/PB，

又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

∴PB/​/平面AEC；

(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．

又BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC⋂PC=C，

∴BD⊥平面PAC【解析】(1)根据三角形中位线与底边平行，通过线线平行证明线面平行；

(2)根据等体积法将三棱锥C−BD20.【答案】证明：(Ⅰ)直线l：kx−y+4k+2=0，即k(x+4)+(−y+2)=0，

令x+4=0−y+2=0，解得x=−4y=2，即直线l过定点(−4,2)，该定点位于第二象限，

故直线l恒过第二象限；

(Ⅱ)直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，

则可设直线l【解析】(Ⅰ)求出直线所过定点，即可求解；

(Ⅱ)设出直线l的方程，再结合直线l过定点(−4,21.【答案】证明：(1)∵AC2+A1C2=AA12，∴A1C⊥AC，

又平面ACC1A1⋂平面ABC=AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1C⊂平面ACC1A1，

∴A1C⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，

∴A1C⊥AB．

(2)解：以C为坐标原点，CA，CB，C【解析】(1)根据面面垂直的性质定理可得答案；

(2)根据题意，以C为坐标原点，CA，