北京市重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷(含答案)

-2024学年北京重点中学高二上第三学段考数学模拟试卷一．选择题（共10小题）1．已知直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线相交于点A，O为坐标原点，若kAO＝2，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x2．已知圆M过点A（1，﹣1），B（1，2），C（5，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A．3x+4y﹣2＝0 B．3x﹣4y﹣2＝0 C．4x﹣3y+2＝0 D．4x﹣3y﹣2＝03．正项等比数列{an}中，a2，a4040是方程x2﹣10x+16＝0的两根，则log2a2021的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A．若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β B．若l∥α，α∥β，则l∥β C．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ D．若l⊥m，m⊥n，l⊂α，n⊂α，则m⊥α5．某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（）A．规则一和规则二 B．规则二和规则三 C．规则一和规则三 D．只有规则一6．已知点P在圆（x+1）2+y2＝2上，则P到直线x+y﹣5＝0距离的最小值为（）A． B． C．2 D．37．数列{an}满足an+1＝（an﹣6）3+6，下列说法正确的是（）A．若a1＝3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＞M B．若a1＝5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得n＞m时，an＜M C．若a1＝7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得n＞m时，an＞M D．若a1＝9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＜M8．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝1，E、F为线段PD上的两个动点（不包括端点），且满足EF＝，以下结论正确的个数是（）（1）AC⊥EF；（2）PB∥平面AEC；（3）二面角E﹣BD﹣C的大小为定值；（4）四面体ACEF的体积为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（）A．x2+＝1 B．x2﹣＝1 C．+y2＝1 D．﹣y2＝110．等差数列{an}的通项是an＝3n﹣1，等比数列{bn}满足b1＝ap，b2＝aq，其中q＞p≥1，且n、p、q均为正整数．有关数列{bn}，有如下四个命题：①存在p、q，使得数列{bn}的所有项均在数列{an}中；②存在p、q，使得数列{bn}仅有有限项（至少1项）不在数列{an}中；③存在p、q，使得数列{bn}的某一项的值为2023；④存在p、q，使得数列{bn}的前若干项的和为2023．其中正确的命题个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共5小题）11．从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[70，80），[80，90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为12．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，若，则x+y+z＝．13．已知椭圆+＝1与双曲线﹣＝1的离心率是方程9x2﹣18x+8＝0的两根，mn＝．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1，直线l：2x﹣3y﹣2＝0与抛物线C和圆M：（x﹣1）2+y2＝1从左到右依次交于A，B，C，D四点，则抛物线的标准方程是；线段AB和线段CD长度之和为．15．对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．下列结论中正确的是．①若曲线C是一个点，则点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为4π；②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为9π；③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为π+4；④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为．三．解答题（共6小题）16．已知数列{an}中，a1＝2，______，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）设，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）求数列{an+bn}的前n项和Tn．从①前n项和，②an+1﹣2＝an，③a4＝8且2an+1＝an+an+2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．17．已知△OAB的三个顶点分别是O（0，0），A（2，0），B（4，2）．（Ⅰ）求△OAB的外接圆C的方程；（Ⅱ）求直线l：4x+3y﹣8＝0被圆C截得的弦的长．18．广汉三星堆半程马拉松比赛是“跑遍四川”德阳站赛事．21.0975公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，广汉中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到0.01）；（3）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？19．如图（1）所示，平面多边形ABCDE中，AE＝ED＝，AB＝BD＝，AD＝2CD＝2，且AD⊥CD，现沿直线AD将△ADE折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）在图（2）中，若直线BC与平面PAD所成角的正弦值为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（﹣1，0）的距离与到直线x＝﹣4的距离的比等于．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM•kAN＝﹣1．证明：直线l过定点．21．已知数列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各项均为正整数，设集合T＝{x|x＝aj﹣ai，1≤i＜j≤N}，记T的元素个数为P（T）．（1）①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出P（T）的值；②若数列A：1，3，x，y，且3＜x＜y，P（T）＝3，求数列A和集合T；（2）若A是递增数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等差数列”；（3）请你判断P（T）是否存在最大值，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】D【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，∵直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线相交于点A，∴A（﹣，﹣﹣1），∵kAO＝2，∴＝2，解得p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x．故选：D．2．【答案】C【解答】解：根据题意，圆M过点A（1，﹣1），B（1，2），C（5，2），设圆心M的坐标为（m，n），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n＝，同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m＝3，则M的坐标为（3，），kMB＝＝﹣，则圆M在点B处的切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣2＝（x﹣1），变形可得4x﹣3y+2＝0，故选：C．3．【答案】A【解答】解：∵a2，a4040是方程x2﹣10x+16＝0的两根，∴a2•a4040＝a20212＝16，∵数列{an}为正项等比数列，∴a2021＝4，∴log2a2021＝log24＝2，故选：A．4．【答案】A【解答】解：l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A，若l∥m，α∥β，l⊥α，则由线面垂直的性质得m⊥β，故A正确；对于B，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ平行或相交，故C错误；对于D，若l⊥m，m⊥n，l⊂α，n⊂α，则m与α平行、相交或m⊂α，故D错误．故选：A．5．【答案】C【解答】解：对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的，对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1，黑2，则随机取出2个球的所有可能的情况有：（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，其中同色的情况有2种，∴甲发球的可能性为，不公平；对于规则三，记3个红球分别为红1，红2，红3，则随机取出2个球所有可能情况有：（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，其中同色的情况有3种，∴两人发球的可能性均为，是公平的，∴对甲、乙公平的规则一和规则三．故选：C．6．【答案】C【解答】解：（x+1）2+y2＝2的圆心C（﹣1，0）到直线x+y﹣5＝0的距离等于＝3，故圆（x+1）2+y2＝2上的动点P到直线x+y﹣5＝0的距离的最小值为3＝2．故选：C．7．【答案】B【解答】解：法（i）对原式进行变形，得an+1﹣an＝[（an﹣6）2﹣1]（an﹣6），当a1＝3，则a2﹣a1＜0，a2＜3，设ak＜3（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＜﹣3，所以{an}是递减数列，当n→+∞，an→﹣∞，A错误，同理可证明D错误，当a1＝5，则a2﹣a1＞0，即a2＞5，又因为（a1﹣6）3＜0，所以5＜a2＜6，假设5＜ak＜6（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＞0，即ak+1＞5，又因为（ak﹣6）3＜0，所以5＜ak+1＜6，所以当n→+∞，an→6，B正确，对于C，当a1＝7，可得a2＝+6，a3＝+6，可得{an}是递减数列，an＝6，故不存在M＞6，使得n＞m时，an＞M恒成立，C错误．法（ii）an+1＝（an﹣6）3+6，可得an+1﹣6＝（an﹣6）3，n∈N+，所以a2﹣6＝（a1﹣6）3，a3﹣6＝（a2﹣6）3＝[（a1﹣6）3]3＝××（a1﹣6）32，a4﹣6＝×××（a1﹣6）33，归纳猜想：an﹣6＝×（a1﹣6＝•（a1﹣6，当a1＝3时，an﹣6＝•（﹣3＝﹣2×（，即an＝•（﹣3＝﹣2×（+6，所以{an}是递减数列，无边界；a1＝5时，an﹣6＝•（﹣1＝﹣2×（，即an＝﹣2×（+6＝2[3﹣（]，由复合函数的单调性，可得{an}是递增，有边界，所以B正确；a1＝7时，an﹣6＝•＝2×（，所以{an}是递减数列，有边界；所以C不正确；a1＝9时，an﹣6＝•＝2×（，所{以an}是递增数列，无边界；所以D不正确；故选：B．8．【答案】C【解答】解：（1）PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PA⊥AC，若AC⊥EF，即AC⊥PD，而PA⋂PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，所以AC⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，所以AC⊥AD，这是不可能的，正方形中∠CAD＝45°，（1）错；（2）设AC⋂BD＝O，若PB∥平面AEC，又因为平面PBD⋂平面EAC＝EO，PB⊂平面PBD，则PB∥EO，又O是BD中点，所以E是PD中点，所以只有E是PD中点时，才有PB∥平面AEC，当E不是PD中点时，PB∥平面AEC不成立，（2）错；（3）二面角E﹣BD﹣C即为二面角P﹣BD﹣C，其大小为定值，（3）正确；（4）由于为定值，EF在PD上，所以△AEF的面积为定值，而C到平面AEF的距离即为C到平面PAD的距离为定值，所以三棱锥C﹣AEF即四面体ACEF的体积为定值，（4）正确．故选：C．9．【答案】B【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点，∴MF2＝2，∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PM＝PF1，∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2，由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，∴c＝2，a＝1，则，∴所求双曲线方程为：．故选：B．10．【答案】B【解答】解：由题设条件可得b1＝3p﹣1，b2＝3q﹣1，∴bn＝（3p﹣1）×（）n﹣1，对于①，取p＝1，q＝3，则bn＝2×4n﹣1，当n≥2时，2×4n﹣1＝2×（3+1）n﹣1＝2×（+•••++1）＝2×（+•••+）+1}﹣1，∴bn（n≥2）均为{an}中的项，而b1＝aq也为{an}中的项，故①正确；对于②，若存在p，q，使得数列{bn}仅有有限项（至少1项）不在数列{an}中，则从某项（k0≥4）开始，所有的项均在{an}中，且b1，b2在{an}中，而bk＝（3p﹣1）×（）k﹣1（k≥k0），∴（3p﹣1）×（）k﹣1＝3μ﹣1，μ＞q，若不是正整数，设＝，且w，z互质，且z≥2，z为3p﹣1的约数，∴（3p﹣1）×wk﹣1＝（3μ﹣1）zk﹣1，故zk﹣1为（3p﹣1）×wk﹣1的约数，∵w，z互质，∴zk﹣1为3p﹣1的约数，∴k只能是有限个整数，这与“从某项（k0≥4）开始，所有的项均在{an}中”矛盾，故必为正整数，设＝c，则3q﹣1＝c（3p﹣1），而3q﹣1，（3p﹣1）除以3的余数均为2，故c除以3的余数为1，即c＝3l+1，l为正整数，∴当n≥2时，bn＝（3p﹣1）×（3l+1）n﹣1＝（3p﹣1）×[+•••+]＝（3p﹣1）×[+•••+]+3p﹣1＝3l（3p﹣1）×[+•••+]+3p﹣1＝3{l（3p﹣1）×[+•••+]+p}﹣1，∴bn为{an}中项，故{bn}的某一项的值为2023，则（3p﹣1）×（）n﹣1＝2023，即（3q﹣1）n﹣1＝2023×（3p﹣1）n﹣2，若n＝1，则2023＝3p﹣1，∴2024＝3p，但2024不是3的倍数，矛盾，舍，若n＝2，则2023＝3q﹣1，故2024＝3q，但2024不是3的倍数，矛盾，舍，若n≥3，当n为偶数时，（3p﹣1）n﹣1＝+•••+＝，∴（3q﹣1）n﹣1除以3的余数为2，同理，（3q﹣1）n﹣2除以3的余数为1，而2023＝2022+1＝3×674+1，故2023除以3的余数也为1，故2023（3p﹣1）n﹣2除以3的余数为1，故（3q﹣1）n﹣1＝2023×（3p﹣1）n﹣2不成立，同理，当n为奇数时，（3q﹣1）n﹣1除以3的余数为1，同理（3p﹣1）n﹣2除以3的余数为2，而2023＝2022+1＝3×674+1，故2023除以3的余数也为2，故2023×（3p﹣1）n﹣2除以3的余数为2，故（3q﹣1）n﹣1＝2023×（3p﹣1）n﹣2不成立，故③错误；对于④，若存在p，q，使得数列{bn}的前若干项的和为2023．此时bn＝（3p﹣1）×（）n﹣1，若不是正整数，设＝，且s，t互质且t≥2，t为3p﹣1的约数，∴3p﹣1＝mt，且2023＝mt×[1++（）2+•••+（）n﹣1]＝m×，∴2023tn﹣2＝m×（tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1），∵s，t互质，故tn﹣2与tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1互质，∴tn﹣2为m的约数，故m＝k′tn﹣2，∴2023＝k′×（tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1），而t≥2，s≥3，n≥3，∴tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1≥22+2×3+32＝19，∴k′＝7，或k′＝17，若k′＝7，则172＝tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1，结合s≥3，t≥2可得：172＝tn﹣1+stn﹣2+sn﹣1≥2n﹣1+3×2n﹣2+•••+2×3n﹣2+3n﹣1＝3n﹣2n，设f（n）＝3n﹣2n，则f（n+1）﹣f（n）＝2×3n﹣1﹣2n﹣1＞0，∴{f（n）}为递增数列，而f（6）＝36﹣26＝729﹣64＞289，∴n≤5，∴n＝3，4，5，又3p＝mt+1＝7tn﹣1+1，当n﹣1为偶数时，tn﹣1除以3的余数要么为0，要么为1，此时，3p＝7tn﹣1+1不成立，∴n﹣1必为奇数，即n＝4，∴172＝t3+st2+s2t+s3，∴172＝t3+st2+s2t+s3＞4t3，∴t＝2，3，4，当t＝2时，s3+2s2+4s﹣281＝0，当s＝5时，s3+2s2+4s﹣281＝﹣86＜0，当s＝6时，s3+2s2+4s﹣281＝0无整数解，当t＝3时，s3+3s2+9s﹣262＝0，当s＝5时，s3+3s2+9s﹣262＝﹣17＜0，当s＝6时，s3+3s2+9s﹣262＝116＞0同理，s3+2s2+4s﹣281＝0无整数解，当t＝4时，s3+4s2+16s﹣225＝0，当s＝4时，s3+4s2+16x﹣225＝﹣33＜0，当s＝5时，s3+4s2+16s﹣225＝80＞0，同理，s3+2s2+4s﹣281＝0无正整数解，∴k′＝7不成立，若k′＝17，则17×7＝tn﹣1+stn﹣2+•••+tsn﹣2+sn﹣1，结合s≥3，t≥2，得：119≥2n﹣1+3×2n﹣1+•••+2×3n﹣2+3n﹣1＝3n﹣2n，由{f（n）}为递增数列及f（5）＝35﹣25＝243﹣32＞119，∴n≤4，∴n＝3，4，∵3p＝mt+1＝7tn﹣1+1，当n﹣1为偶数时，tn﹣1除以3的余数要么为0，要么为1，此时，3p＝7tn﹣1+1不成立，∴n﹣1必为奇数，即n＝4，∴119＝t3+st2+s2t+s3，∴119＝t3+st2+s2t+s3＞4t3，∴t＝2，3，4，当t＝2时，s3+2s2+4s﹣111＝0，当s＝3时，s3+2s2+4s﹣111＝﹣54＜0，当s＝4时，s3+2s2+4s﹣111＝1＞0，同理，s3+2s2+4s﹣111＝0无整数解，当t＝3时，s3+3s2+9s﹣92＝0，当s＝3时，s3+3s2+9s﹣92＝﹣11＜0，当s＝4时，s3+3s2+9s﹣9s＝56＞0，同理，s3+3s2+9s﹣111＝0无整数解，当t＝4时，s3+4s2+16s﹣55＝0，当s＝1时，s3+4s2+16s﹣55＝﹣34＜0，当s＝2时，s3+4s2+16s﹣55＝1＞0，同理，s3+4s2+16s﹣55＝0无整数解，∴k′＝17不成立，∴是正整数，同②，有＝c，c＝3l+1，l∈N*，∴（3p﹣1）（1+c+c2+•••+cn﹣1）＝2023＝7×172，而c≥4，n≥3，∴1+c+c2+•••+cn﹣1≥1+4+42＝21，∴3p﹣1＝17或3p﹣1＝7（∵p＝，∴舍），∴p＝6，且1+c+c2+•••+cn﹣1＝119，∴c+c2+•••+cn﹣1＝118，∴c为118的约数，结合n≥3，c≥4，得c＝59，∵c+c2+•••+cn﹣1≥59+592＞118，∴c+c2+•••+cn﹣1＝118无解，综上，不存在p，q，使得数列{bn}的前若干项的和为2023，故④错误．故选：B．二．填空题（共5小题）11．【答案】见试题解答内容【解答】解：从成绩在[70，80），[80，90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，则从成绩在[70，80）的学生中抽取：6×＝4人，从成绩在[80，90）的学生中抽取：6×＝2人，从这6人中随机选取两人担任正副队长，基本事件总数n＝＝15，这两人来自同一组包含的基本事件个数m＝＝7，∴这两人来自同一组的概率为p＝．故答案为：．12．【答案】．【解答】解：因为，所以，所以．因为M为OA中点，所以，因为N为BC中点，所以，所以，则．故选：．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程9x2﹣18x+8＝0的两根为和，即有双曲线﹣＝1的离心率是，即为＝，解得n＝7，又椭圆+＝1的离心率为，即有＝或＝，解得m＝5或．则有mn＝35或．故答案为：35或．14．【答案】y2＝2x；﹣2．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1，可得p＝1，所以y2＝2x，设l：2x﹣3y﹣2＝0与抛物线C的两交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线与抛物线联立，可得，即y2﹣3y﹣2＝0，所以|y1﹣y2|＝＝＝，|AD|＝|y1﹣y2|＝•＝，又因为l过圆心，所以|BC|＝2r＝2，所以线段AB和线段CD长度之和为﹣2．故答案为：y2＝2x；﹣2．15．【答案】①②③④．【解答】解：①若曲线C是一个点，则点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形是以C为圆心，2为半径的圆及其内部的点，故点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为4π，故①正确；②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形是以C为圆心，3为半径的圆及其内部的点，故点集D＝{P|d（P，C）≤2}所表示的图形的面积为9π，故②正确；③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形是一个边长为2的矩形与两个半径为1的半圆，点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为π+4，故③正确；④若曲线C是边长为9的等边三角形，如图，△ABC是边长为6的正三角形，由题意，点集D所表示的图形面积S＝3SAEFC+3SMNQP+3SADE+6S△AMP由PM＝1，∠PAM＝30°，得AM＝S△AMP＝，SMNQP＝9﹣2∵∠DAE＝120°，3SADE＝π，SAEFC＝9，∴S＝27+3（9﹣2）+π+6×＝54+π﹣3，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为．故④正确．故答案为：①②③④．三．解答题（共6小题）16．【答案】选①②③，都有（Ⅰ）an＝2n，n∈N*；（Ⅱ）证明见解答；（Ⅲ）Tn＝n2+n+（4n+1﹣4）．【解答】解：选①，（Ⅰ）因为a1＝2，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，则an＝2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：＝22n＝4n，可得＝＝4，所以数列{bn}是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）an+bn＝2n+4n，Tn＝（2+4+...+2n）+（4+16+...+4n）＝n2+n+＝n2+n+（4n+1﹣4）．选②，（Ⅰ）由a1＝2，an+1﹣2＝an，则an＝2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：＝22n＝4n，可得＝＝4，所以数列{bn}是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）an+bn＝2n+4n，Tn＝（2+4+...+2n）+（4+16+...+4n）＝n2+n+＝n2+n+（4n+1﹣4）．选③，（Ⅰ）由a1＝2，a4＝8且2an+1＝an+an+2，可得数列{an}为等差数列，设公差为d，则d＝＝2，则an＝2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：＝22n＝4n，可得＝＝4，所以数列{bn}是首项为和公比均为4的等比数列；（Ⅲ）an+bn＝2n+4n，所以Tn＝（2+4+...+2n）+（4+16+...+4n）＝n2+n+＝n2+n+（4n+1﹣4）．17．【答案】（I）x2+y2﹣2x﹣6y＝0．（Ⅱ）6．【解答】解：（Ⅰ）设△OAB的外接圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，把O（0，0），A（2，0），B（4，2）代入可得，解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝0，∴△OAB的外接圆C的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y＝0．（Ⅱ）由（I）可得：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10，圆心C（1，3），半径r＝，圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴直线l：4x+3y﹣8＝0被圆C截得的弦的长＝2×＝6．18．【答案】（1）a＝0.005．（2）m≈71.67．（3）2250．【解答】解：（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得2a×10+（0.04+0.03+0.02）×10＝1，解得a＝0.005．（2）前两个矩形的面积之和为（0.005+0.04）×10＝0.45＜0.5，前三个矩形的面积之和为（0.005+0.04+0.03）×10＝0.75＞0.5，所以中位数m∈（70，80），所以0.45+（m﹣70）×0.03＝0.5，解得m≈71.67．（3）样本中80分钟之前频率为（0.005+0.04+0.03）×10＝0.75，因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为3000×0.75＝2250．19．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连OB、OP，∵BA＝BD，EA＝ED，即PA＝PD，∴OB⊥AD且OP⊥AD，∴AD⊥平面BOP，∴PB⊥AD．解：（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OD为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），C（1，1，0），A（0，﹣1，0），D（0，1，0），设P（a，0，c），则＝（﹣1，1，0），＝（0，2，0），＝（a，1，c），设平面PAD的法向量＝（x，y，z），则，得＝（1，0，﹣），∵直线BC与平面PAD所成角的正弦值为，∴＝＝，解得，∴tan∠POB＝60°，解得a＝，∴P（，0，），＝（2，1，0），＝（﹣，0，），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设直线AB与平面PBC所成角为θ，则直线AB与平面PBC所成角的正弦值sinθ＝＝＝．20．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）因为点P（x，y）到点F（﹣1，0）的距离为，点P（x，y）到直线x＝﹣4的距离d＝|x﹣（﹣4）|＝|x+4|，又P（x，y）到点F（﹣1，0）的距离与到直线x＝﹣4的距离的比