实变函数读书报告之

实变函数读书报告之测度及可测函数学号：20231003103专业：信息与计算科学班级：123092姓名：程福波【背景】2023年春,我们开始接触实变函数与泛函分析这门课,其中除了集合论以外,最重要的就是测度和可测函数.测度是把数字和符号分配给现实世界实体的属性，运用测度，人们能较好地理解建立质量模型的属性，并评价所建立的工程化产品或系统质量。虽然软件技术度量不是绝对的，但测度的建立提供了基于一套清晰定义规那么的系统方法来评价软件质量。软件质量模型和评价技术就是基于运用测度的建立原那么开展起来的。【关键字】测度可测集Lebesgue外测度可测函数简单函数【主要内容】一Lebesgue外测度1．定义：设，称非负广义实数为开区间}为的Lebesgue外测度。下确界：〔1〕是数集的下界，即，〔2〕是数集的最大下界，即使得为开区间}开区间列使得且即：用一开区间列“近似〞替换集合例1设是中的全体有理数，试证明的外测度为0.证明：由于为可数集，故不妨令作开区间那么且，从而，再由的任意性知3.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖〔除可数个点外〕.2．Lebesgue外测度的性质〔1〕非负性：，当为空集时，〔2〕单调性：假设那么例2对任意区间，有.例3Cantor集的外测度为0.证明：令第次等分后留下的闭区间为从而注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.二可测函数1可测函数定义定义：设是可测集上的实函数(可取)，假设可测，那么称是上的可测函数.2可测函数的性质性质1零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2简单函数是可测函数假设(可测且两两不交〕，在每个上取常值，那么称是上的简单函数；其中性质3可测集上的连续函数必为可测函数设为上有限实函数，称在处连续比照：设为上有限实函数，在处连续(对闭区间端点那么用左或右连续)证明：任取,那么,由连续性假设知，对使得即.令那么G为开集，当然为可测集，且另外所以，故为可测集性质4中的可测子集上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设单调增，对任意令.由单调增知下面的集合为可测集⒊可测函数的等价描述⒈定义：设是可测集上的实函数，那么在上可测〔即〔1〕可测〕可测可测可测可测〔充分性要求〕⒋可测函数的性质⑴可测函数关于子集、并集的性质假设是上的可测函数,可测，那么限制在上也是可测函数；反之，假设,限制在上是可测函数，那么在上也是可测函数。注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：设〔almosteverywhere〕于，在上可测，那么在上也可测假设,那么称在上几乎处处成立,记作于.证明：令，那么，从而在上可测，另外在上可测，从而在上也可测，进一步在上也可测.注：用到了可测函数关于子集、并集的性质⑵可测函数类关于四那么运算封闭假设是上的可测函数,那么仍为上的可测函数.证明：只要证可测，任取，那么从而使即从而，反之也成立，从而可测类似可证：设是上可测函数，那么为可测集.假设是上的可测函数,那么仍为上的可测函数.证明：首先在上可测，因为对任意再利用即可作业：假设是上的可测函数,那么,为上的可测函数⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.假设是上的可测函数,那么以下函数仍为上的可测函数.推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数〔连续函数列的极限函数不一定为连续函数〕。对上式的说明：，比拟：⒌可测函数与简单函数的关系可测函数总可表示成一列简单函数的极限假设是上的可测函数,那么总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到注：当是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛——————————————————————————————【参考文献】〔1〕实变函数与泛函分析郭大钧等编山东大学出版社2005〔2〕陈建功实函数论北京科学出版社1958〔3〕周明强实函数论北