曲阜师范大学抽象代数期末复习题

《抽象代数》复习资料1一、判断对错，正确的填√，错误的填．1、拉格朗日定理的逆命题是正确的.（）2、有限整环一定是域.()3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。.()二、填空１、设为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。则满足消去律为是群的______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）．2、在群中设，则对任意_______________．三、叙述概念1、代数运算2、环的特征3、含幺环上未定元的定义四、计算和证明1、叙述并证明群同态基本定理．2、求到的所有环同态。3、证明：对群中的任意两个元素均有。参考答案一、判断对错，正确的填√，错误的填1、2、√3、√二、填空1、充要条件；2、；三、叙述定义或定理1、代数运算：给定非空集合，集合到的映射称为集合的一个代数运算。（给定非空集合，给定的一个规则o，如果对中任意的两个元素都有中唯一的元素与之对应,则称o为的一个代数运。2、环的特征：设R是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的，有，则称环R的特征是n,若不存在这样的n则称R的特征是无穷。3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。四、1、设是群到群的一个同态满射．则是的正规子群，且．证明：由于的单位元是的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核也是的一个正规子群．设，则在与之间建立以下映射．（1）证明是映射．设，则．于是，即中每个陪集在之下在中只有一个象．从而确为到的一个映射．（2）证明是满射．任取，由是满射知，有使得．从而在之下，在中有逆象．（3）证明是单射．若，则，从而．因此，是到的一个双射．又由于有，故为同构映射．从而．2、找出模10的剩余类环到剩余类环的所有环同态。因为环同态一定是加群同态，而且为循环群之间的同态，从而由中生成元的象决定，而共有3个元素，均可充当前者生成元的象。五个加群同态如下：不难证明只有前两个同态保持乘法运算，从而环同态只有3、证明：分两种情况证明第一种情况：。因为所以，有消去律可得第二种情况：下证假设则有1的证明可知因而与矛盾《抽象代数》复习资料2一、叙述概念及定理1.正规子群.2.环的扩张（挖补）定理.3.理想.4.素域.5.唯一分解整环.二、计算与证明1.在中,令.证明:(1)且不是主理想(2)为的极大理想.2.设是交换环.证明:的所有阶数有限的元素构成的集合是的正规子群,且商群的元素除了单位元外,其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.3.证明:(1)集合关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环.又问:单位群(2)当是有理数域时,还作成域,但是当是实数域时,不作成域.参考答案一、叙述概念及定理1.设H是群G的子群，如果对任意的，有，则称H是G的正规子群.2.环的扩张（挖补）定理:设与是两个没有公共元素的环,是环到的单同态,则存在一个与环同构的环及由到的同构映射,使得是子环且.3.理想:设是环,是的非空子集.如果满足(1)对任意的(2)对任意的则称是的一个理想.4.素域.没有真子域的域.5.唯一分解整环:每个非零非单位的元素都有唯一分解的整环.二、计算与证明1.在中,令.证明:(1)且不是主理想;(2)为的极大理想.证明:(1),有,则为偶数,从而(3分)另一方面,设,若为偶数,则存在使得:,从而.所以.下证不是主理想.首先,所以其次,假设存在使得,则在中,有且,由此得.从而矛盾.因此不是主理想.(2)显然为的真理想,设,在中任意取一个不属于的元素,则不是偶数,设,于是从而,所以为的极大理想.2.设是交换环.证明:的所有阶数有限的元素构成的集合是的正规子群,且商群的元素除了单位元外,其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.证明:显然非空.设,则,使得,则,.从而,所以是的子群.又因为是交换群,所以是的正规子群.设,如果,使得,则.从而,使得,从而.由此知为的单位元.3.证明:(1)集合关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环.(2)当是有理数域时,还作成域,但是当是实数域时,不作成域.证明:(1)数域上的所有2阶方阵在矩阵的普通加法与乘法下作成一个有单位元的环,从而我们只需证明是的子环,任意的,由于是数域,从而,从而是一个环,又,并且,从而是一个有单位元的交换环.(2)当是有理数域时,若,则,从而当不全为0时,的行列式不为0,从而可逆,即当是有理数域时,中的每一个非零元素都可逆,从而是域.但当是实数域时,对于任意的实数,,从而不是所有的非零元都可逆,因此当是实数域时,不作成域.《抽象代数》复习资料3一、叙述概念或命题不变子群；二、填空题1．设有限域的阶为81，则的特征。2．已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于。三、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。四、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、设是四元数体，对H中任意元，定义其共轭。证明：是一个非负实数；对，，求，和。六、设，是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1．；2．；3．参考答案一、1．若H是群G的子群，且对每个，有，那么H称为是G的正规子二、1．32．25三、证明：对于G中