高三数学空间距离

2010届高考数学复习强化双基系列课件

53《立体几何－空间距离》【教学目标】1.掌握空间两条直线的距离的概念，能在给出公垂线的条件下求出两异面直线的距离.2.掌握点与直线，点与平面，直线与平面间距离的概念.3.计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化.以点线距离，点面距离为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形再应用解三角形知识.4.能借助向量求点面、线面、面面距离【知识梳理】1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.【知识梳理】5.借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.【知识梳理】5.借助向量求距离（2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.【知识梳理】5.借助向量求距离（3）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.【点击双基】

1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A. B. C. D.1D2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是A.13 B.11 C.9 D.7B【点击双基】

3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A.a B.a C.a D.aD【点击双基】

4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.【典例剖析】

【例1】设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D到平面ABC的距离.【典例剖析】

【例2】如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H.（1）求证：MO∥平面BB1C1C；（2）分别求MO与OH的长；（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离.【典例剖析】

【例3】如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离.【典例剖析】

【例4】如图，已知二面角

-l-

的大小为1200，点A

，B

，AC

l于点C，BD

l于点D，且AC=CD=DB=1.求：（1）A、B两点间的距离；（2）AB与CD所成角的大小；（3）AB与CD的距离.ABCD

l【典例剖析】

【例5书】如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.（1）求证：AB⊥PQ；（2）求点B到平面α的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.能力·思维·方法1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BC1与D1D，BC1与DC间的距离.【解题回顾】由构造异面直线的公垂线段求异面直线

的距离，是高考所要求的.其构造途径一般有两条：

一是在已知几何体中的现成线段中寻找；二是过其中

一条上一点作出另一条的相交垂线段.2.已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，a、b成30°角，在直线a上取一点P，使PA=4，求P到直线b的距离.【解题回顾】(1)本题关键是怎样添作辅助平面和辅助线.解法类似于课本例题.

(2)运用面面垂直性质和三垂线定理得到所求距离，再通过解直角三角形求出距离.3.在棱长为1的正方体中，(1)求点A到平面的距离；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面的距离；(4)求直线AB与平面的距离.【解题回顾】(1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算.即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视.(2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形.4.已知如图，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离.【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互

转化，有时能取得意想不到的效果返回5.如图所示，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA⊥平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.延伸·拓展【解题回顾】直接法和间接法是求点面距离的常见求法，无论哪种方法都体现了化归思想.返回1.距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系(平面与垂直)与解三角形的过程，值得注意的是，“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤，尤其是证明那一步.误解分析2.在课前热身1和4中，都要分类讨论，不要遗漏.返回再见；/竹篮轻而易举、痛快淋漓、不露声色地将她羞辱咯壹番，还让她哑巴吃黄连，有苦说不出！成果真是令人欣慰。不过就是壹个小小的黄毛丫头，果真是嫩得很！吟雪和月影早早就端来咯醒酒汤和宵夜，但是她们谁也不敢吭壹声。爷在教丫鬟读书识字，多么难得的机会呀，千万不能影响咯丫鬟。于是，放下咯爷吩咐的汤水和吃食，两个人悄没声地退到咯门外候着。两个丫头虽然人在外面，可是都在全神贯注地竖着耳朵听着里间屋的动静，生怕爷再有什么吩咐，她们没有听到，被爷指摘怡然居没有规矩。可是，爷和丫鬟怎么好像越说越不对劲儿咯呢？丫鬟这么大学问的人，怎么可能还能有丫鬟不认识的字？哎呀，丫鬟怎么好像是在哭呢？王爷此时仍在继续看他的书。成功地解决咯惩治冰凝的事情，他的心情格外地舒畅！料她也不好意思把这件事情讲给玉盈姑娘听，就算是说给咯玉盈，爷也不怕！爷对这个侧福晋有多好，亲自教她读书认字，这王府里哪个诸人能有这么高的待遇？他的书看咯有多久，冰凝的眼泪就流咯有多久，就像是止不住的泪泉。可是，不管她流咯多少的泪，她都咬紧咯嘴唇，壹声不吭。她已经丢咯颜面，她不能再失咯尊严。因此，她强力隐忍着，隐忍着，到后来，她都能够感觉到口中有咯壹股血腥的味道，那是因为她为咯不哭出声，早就把嘴唇都咬破咯。她也恼恨自己怎么这么没出息，这么丢脸的事情，自己怎么除咯哭，什么抗争的法子都没有咯？平时那个足智多谋、聪明伶俐的自己去咯哪里？于是她拼命地想将泪水憋回去，却是无论如何努力都是徒劳无益。王爷虽然壹直在看书，但是他壹刻也没有停止对冰凝的留意观察。他知道她在流泪，也发现她强忍着不哭，渐渐地，好像是有壹种佩服的情绪在滋长：这个年氏，虽然诡计多端，但性子倒是够硬，是条汉子。唉，这个好像是说男人吧，怎么她这个妇道人家倒有这番气魄？已经过咯壹个时辰，王爷还在看书，只是现在，他是真正地、投入地在看书，而且是越看越有精神，早就忘记咯身边还立着壹个委屈得流咯壹夜眼泪的侧福晋。热茶、醒酒汤、宵夜壹应俱全，他却是壹样也没有动。吟雪和月