2023人教版新教材A版高中数学必修第三册同步练习-全书综合测评

全书综合测评

（全卷满分150分，考试用时•120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.某批数量很大的产品的次品率为P，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（）

A/B.p3（l-p）

C.C力3（1乎）D.C沏3

2.（W+2）（x-1严的展开式中的常数项为（）

A.8B.4C.3D.2

3.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件,产品的尺寸分别记为x,y,已知x,y均服从正态

分布，且，&N3,应），其正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）

力

X的正态

密度曲线

丫的正态

y密度曲线

A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C.甲生产线产品尺寸的平均值大于乙生产线产品尺寸的平均值

D.甲生产线产品尺寸的平均值小于乙生产线产品尺寸的平均值

4.设随机变量x,y满足y=3x-i,x~M2（）,则o（y）=（）

A.4B.5C.6D.7

5.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症,现随机抽一人发现其患色盲

症，则此人为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（）

A.—B.—C.—D.—

11212112

6.福厦高速铁路于2017年开工建设，沿线设福州站、福州南站、福清西站、莆田站、泉港站、泉州东

站、泉州南站、厦门北站、漳州站9座客站，设计速度为每小时350千米,预计在2022年9月开通.为了

加快推动重点项目西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设，项目监管公司

决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场派遣2名经理，每名经理只去一个

项目现场,则甲、乙被派遣到不同项目现场的不同安排方案共有（）

A.6种B.18种C.36种D.72种

7.如图，在网格状小地图中，一机器人从点AQ0）出发,每秒向上或向右行走1格到相应格点，已知它向上

的概率是|,向右的概率是右则6秒后到达点8（4,2）的概率为（）

8.众所周知,组合数CQ"（nT）（n：0-m+i）,这里并且mW〃.牛顿在研究广义二项式定理过程中

把二项式系数C铲中的下标〃推广到任意实数，规定广义组合数cn=d警产也是组合数的一种推广,

其中1GN*/GR,比如e=2x（2T）X（2Ux（2-3）x（2-4）=o,且定义段=［下列关于广义组合数的说法，不正确

的有（）

A.Ci7=-210

B.当m,n为正整数且m>n时,C『=0

C.当，"为正奇数时,C4=-1

D.当"为正整数时,C%=(-l)y黑时1

二、多项选择题(本大施共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要

求,全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Vero细胞)，已经获得世卫

组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”.世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%,最高达90%,安

全性良好,临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照

组,注射安慰剂;另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫

苗的效力=生吗需誓警经xlOO%.关于注射疫苗，下列说法正确的是()

X*］Iio红［及_)丙

A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠病毒

B.注射该种新冠疫苗，能使感染新冠病毒的风险大大降低

C.若对照组有10000人，发病100人，疫苗组有20000人，发病40人，则该疫苗的效力为80%

D.若疫苗的效力为8()%,对照组的发病率为50%,那么在10()00个人注射该疫苗后,一定有1()()0个人发

病

10.在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X(单位:分)服从正态分布

Ml10,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是()

附:若随机变量0服从正态分布贝IJ户0.6827,P(/z-2(TS^z+2r7)~

0.9545,P(//-3K9+3<7户0.9973.

A.该校学生数学成绩的期望为11()

B.该校学生数学成绩的标准差为100

C.该校学生数学成绩在140分以上的人数大于5

D.该校学生数学成绩的及格率超过0.97

11.现有4个编号分别为123,4的不同的球和4个编号分别为1,2,3,4的不同的盒子，想把球全部放入盒

子内，则下列说法正确的是()

A.若恰有1个盒子不放球，则共有72种放法

B.每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种

C.有2个盒子不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种

D.若恰有2个盒子不放球，则共有84种放法

12.设随机变量X表示从1到〃这〃个整数中随机抽取的一个整数,丫表示从1到X这X个整数中随机抽

取的一个整数，则()

A.当”=2时,P(X=2,y=l)=；

B.当n=4时，尸(X+Y=4)=工

24

C.当n=k(k>2且上中*)时,「3=上曰)=*

D.当n=2\k>2且k6N*)时,笈=1(X=2',y=l)=黄

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9,0.8.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率

为.

14.设a《Z,且0WaS6,若42021+«能被17整除，则a的值为.

15.对一个物理量进行"次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差

£〃~N(0,£),为使误差品在［-0.5,0.5］的概率不小于().9545,则至少要测量_______次.(若则％总

/z|<2a)~0.9545)

16.我们知道，在n次独立重复试验(即伯努利试验)中，若每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发

生的次数X服从二项分布事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，

即事件A首次发生时试验进行的次数匕显然8丫=%)=〃(1/方斤1,2,3,...,我们称y服从“几何分布”，经计

算得E(y)=；.由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和彳都发生后停止，此时所进行的试验

次数记为Z,则。亿=女)=0(1-〃产+(1-"时」后2,3,...,那么£(Z)=.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设式〃尸(a+/?)"(〃eN*,论2),若共〃)的展开式中存在连续三项的二项式系数依次成等差数列，则称

丸〃)具有性质P.

(1)求证次7)具有性质P-,

(2)若存在〃W2022,使人力具有性质P,求〃的最大值.

18.(12分)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调

查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的数据如

下:65,87,88,90,96,75,87,90,90,94,73,88,90,76,89,90,90,70,77,90.规定评分不低于80分为满意，否则为不满

jit.

•

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；

(2)以⑴中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率,假设每个会员的评价结果相互独立，现从

下半年的所有会员中随机选取3个会员.

①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X,求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1).

19.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成

绩评定“合格”与"不合格''两个等级，同时对相应等级进行量化产合格''记5分，“不合格”记0分.现随机抽

取部分学生的答卷，统让结果及对应的频率分布直方图如下.

等级不合格合格

分数[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数6。24b

⑴求a,b,c的值;

(2)用分层随机抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈,再从这10人

中任选4人,记所选4人的量化总分数为6求1的分布列及数学期望£(0;

(3)某评估机构以指标M来评估该校安全教育系列活动的成效.若MM.7,则认定安全教育系列活动是有

效的，否则认定为无效，应调整安全教育活动方案.试判断该校是否需要调整安全教育活动方案.(M=

需，其中D(f)表示孑的方差)

20.(12分)第五代移动通信技术简称5G或5G技术，是最新一代蜂窝移动通信技术.为了了解市民对A,B

运营商的5G通信服务的评价,分别从4,3运营商的用户中随机抽取1()()名用户对其进行测评，已知测评

得分在70分以上的为优秀，测评结果如下：

A运营商的100名用户的测评得分表

得分[40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率0.180.230.30.240.030.02

8运营商的100名用户的测评得分统计图

(1)根据频率分布直方图，分别求出8运营商的100名用户的测评得分的中位数和平均数(同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表)；

(2)填写下面列联表，并依据小概率值a=0.010的独立性检验，分析测评得分优秀是否与运营商有关.

单位:名

测评得分

运营商合计

优秀非优秀

A

B

合计

n(ad-bc)2

附:f八=•I其中n=a+b+c+d.

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

21.(12分)某工厂生产一种产品，测得相关数据如下表所示:

尺寸x(mm)384858687888

质量y(g)16.818.820.722.42425.5

质量与尺寸

的比丫0.4420.3920.3570.3290.3080.290

X

(1)若按照检测标准，合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=c/(cd为大于0的常数),

求y关于x的回归方程；

(2)已知产品的收益z(单位:千元)与产品尺寸和质量的关系式为z=2y-0.32x,根据(1)中求得的回归方程分

析,当产品的尺寸x约为何值时(结果用整数表示)，收益z的预测值最大.

66

参考数据£=i(Inx“n%)=75.3£=1lnx‘=24.6,

66

£i=iInv=18.3,獴=1(In101.4,e=：2.7182.

参用公式:对于样本8M)(i=l,2,其经验回归直线u=b-v+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

A»_n_A

”(%-g(g-五)=£.」苑,口=五)讥

Si=i(v(-v)2Si=ivf-nv2

22.(12分)甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目,每人回答一题，为体现公平，制订如下规则：

①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙,第四轮

回答顺序为甲、乙、丙,……，后面按此规律依次向下进行；

②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.

已知每次甲回答正确的概率为:,乙回答正确的概率为|,丙回答正确的概率为:，三个人回答每个问题相互

独立.

(1)求一轮中三人全部回答正确的概率；

(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；

⑶记P“为甲在第〃轮胜出的概率,。“为乙在第〃轮胜出的概率，求P“与并比较产“与。”的大小.

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1.C

2.D(x-1严的展开式的通项为7尸(：；0(-1)51°二叱吆10,厂e必

令10-D,解得后10,故3+2)(.1严的展开式中的常数项为2XC；8X(-1)%2,故选D.

3.A由题图知甲、乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲生产线产品的正态密度曲线较瘦高,所以甲

生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选A.

4.A因为X~B(2,J,所以D(X)=2xlx(l-%/

又y=3X-l,所以D(y)=D(3X-l)=32xi=4.

9

故选A.

5.B设A表示“此人为男子”乃表示“此人为女子”,C表示“此人患色盲症”,

则P(C|A)=0.05,P(qB)=0.0025,P(A)=0.5,P(B)=0.5,

⑷⑷

由贝叶斯公式可得PP(C_0.5X0.05

P(A|C)P(i4)P(C|i4)+P(B)P(C|B)-0.5x0.05+0.5x0.0025-21

6.D根据题意可把6人分成3组，共有立第=15种不同的分法，其中甲、乙在同一组的分法有

A3

「2f'2

篝=3(种),则甲、乙不在同一组的分法有15-3=12(种)，再将分好的3组分派到3个不同的项目现场，共

有12xA§=72种不同的方案.

7.D根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次,

若其从点4(0,0)出发,6秒后到达点8(4,2),则需要向右走4步,向上走2步,

故其6秒后到达点B的概率为髭奈.

8.A选项A,由题意知,Ct7=-7«-7T)x(；-2)x(-7-3)=2io,

故A中说法不正确.

选项B,由题知鹿="“-1)5；)「6-6+1),

当m.n为正整数且m>n时,於・1,所以/?-m+l<0,

所以这m个数中，一定有某个数为0,

所以C*”二蛔等空巴西=0,故B中说法正确.

选项C,当m为正g数时,Cq=Tx(-2)x：,(-l-m+l)=-lx(-2qjX(-m)=i,故c中说法正确

选项D,当〃为正整数时，

-n(-n-l)(-n-2)...(-n-7n+l)_〔„n(n+l)(n+2)...(n+m-l)

Cmv

-nmlm\

嗯…必忙空叱泸出士吧23包誓生皂照所以4(/)"*_］，故D中说法正确.

故选A.

9.BC由题意知,疫苗的效力为78.1%，最高达90%,故不是注射该种新冠疫苗,就一定不会感染新冠病毒,

但注射该种新冠疫苗，能使感染新冠病毒的风险大大降低，故A错误,B正确；

若对照组有10000人，发病100人，疫苗组有20000人，发病40人，则注射疫苗的效力

10040

=垣超国xl00%=80%,故C正确；

10000

疫苗的效力为80%,对照组的发病率为50%,只是反映了一个概率问题,并不能说明在100()0个人注射该

疫苗后，一定有1000个人发病，故D错误.

10.AD因为学生的成绩X(单位:分)服从正态分布N(110/00),所以该校学生数学成绩的期望为110,故

选项A正确；

该校学生数学成绩的标准差为10,故选项B错误；

该校学生数学成绩在140分以上的概率六上£失以竺邑上2产=o.()Ol35,

所以该校学生数学成绩在140分以上的人数为0.00135x800=1,故选项C错误；

该校学生数学成绩的及格率为0.5+竺竺詈2巾.5弋竺=0.97725>0.97,故选项D正确.故选AD.

11.BCD对于A,若恰有1个盒子不放球，则先选1个空盒子，再从4个球中选2个球放入一个盒子里，共

有禺C/Ag=144种放法，故A不正确；

对于B,编号为1的球有禺=3种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其

他两个盒子中，共有1+最=3种放法，剩下的球的放法随之确定，

故共有3x3=9种满足题意的放法，故B正确；

对于C,首先选出两个空盒子，再取两个球放在剩下的两个盒子的一个中，共有C式台36种放法，故C正确;

对于D,若恰有2个盒子不放球，则先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两组，放入剩下的两个盒

子中洪有第(第禺A,+C：)=6xl4=84种放法，故D正确.故选BCD.

12.ACD对于A,当n=2时,P(X=2,y=l)=弁=点故A正确；

对于B,易知当〃=4时，疮匕

由X+Y=4可得X=3,y=l或X=2,Y=2,

P(X+Y=4)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,F=2)=-xl+ixi=—B错误；

434224

对于C,当n=k(k>2且&GN*)时，尸(X=Z,y=A)=[x；=9，

故C正确；

对于D,Si=i(X=2》=l)=去X筑吗+...+杀去=恭G+*+…+余户黄，故D正确.故选ACD.

13.答案0.26

解析因为甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9,0.8,且两人同时独立射击，

所以恰有一人不中靶的概率尸=0.9x(148)+(1-0.9)x0.8=0.18+0.08=0.26.

14.答案13

202llolo1010lololo09loos107

解析4+a=4xl6+a=4x(17-l)+a=4x(C?010x]7-Cj01oX17+C?01oX17-Cf010xl7°+...-

加8瑞xl7+l)+a,它除以17的余数为4xl+a,由于它能被17整除,aWZ且0&区16,则a=13.

15.答案32

解析由题可知尸。，-2d圆斗+2。)=2(一2<2Jj}o.9545,若P(-0.5<e„<0.5)>0.9545,则2/0.5,

所以“N32.故至少要测量32次.

16.答案-1

p(l-p)

解析由尸(丫=%)=°(1少产,41,2,3,...时E(y)A

可得P(Y=&)=p(lW",Q2,3,..ME(Y)=--p.

又P(Z=A)=p(1-p产+(1-p)pkl,fc=2,3,...,

二E(Z)=2p(1-p)+2(1-p)p+3p(1-p)2+3(1-p)p2+…+如(1-〃产+女(1-p)pi=；p+2(1-p)p+3(1-2炉+…+k(1-p)pi.

设4=2p+3p2+...+姬“，

则p4=2p?+3p3+…+(h1)p«」+切*,

(1-p)A^2p+p2+p3+...+pk'1-kpk=p+v^~p——--kpk,

l—p

当％—+8时,(l-p)4—/7+J-.

1-P

E(Z)=--p+/?+-^-=—---1.

pi-pP(I-P)

17.解析(1)证明-7)=3+”,

其展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7,21,35,(3分)

依次成等差数列,二八7)具有性质P.(5分)

⑵假设加)=3+份"(〃€2,危2)的展开式中第r,r+l,^2(l<r</7-l且厂6N*)项的二项式系数依次成等差数

列，

则2c4(：『1+耳+1,(7分)

整理可得4/-4〃/+"2-“-2=0,

即(2r-n)2=n+2,(8分)

，〃+2为完全平方数.

又n<2022,442<2022+2<452,

：.n的最大值为442-2=l934.(10分)

18.解析(1)由题中数据知，这20个会员对售后服务满意的有14个，故所求频率为非=07(3分)

⑵①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A,

则P(A)=C』x0.3x0.72=0.441.(6分)

②易得X~8(3,0.7),(8分)

所以£(X)=3xO.7=2.1,D(X)=3x0.7x0.3=0.63,(10分)

所以JD(X)乜).8.(12分)

19.解析(1)由题中频率分布直方图可知，分数在［20,40)的频率为0.005x20=0.1,

故抽取的学生答卷总数为合=60.

又由题中频率分布直方图可知,分数在［80,100］的频率为0.01x20=0.2,

所以〃=60x().2=12.(2分)

又6+a+24+b=60,所以。=18,

故C=3-=0.015.(3分)

⑵由⑴及题意知，“不合格”与“合格”的学生人数比例为24：36=2：3,

因此抽取的10人中“不合格”的有4人,“合格”的有6人.

所以6的可能取值为20,15,10,5,0,

%=20)=最哈5)=需喙0)=罟=/

5喏或小。哈煮.(6分)

故「的分布列为

20151050

18341

P

14277而210

(8分)

所以£(^)=20x—+15x—+10x^+5x—+0x—=12.(9分)

1421735210

22222

⑶由(2)可得D©=(20-12)X-^+(15-12)XA+(10-12)x|+(5-l2)x±+(0-l2)x^-=16,(10分)

1421735210

所以知=黑=|=0.75>0.7,故认定该校的安全教育系列活动是有效的，不需要调整安全教育活动方案.(12

D(f)16

分)

20.解析(1)由题中频率分布直方图可知,8运营商的10()名用户的测评得分在区间［40,70］的频率为

(0.008+0.016+0.026)x10=0.5,故8运营商的100名用户的测评得分的中位数为70分;(2分)

由题中频率分布直方图可知方运营商的100名用户的测评得分的平均数为

45x0.08+55x().16+65x0.26+75x0.3+85x().16+95x0.04=69.2(分).(4分)

(2)由题中频率分布表可知/运营商测评得分优秀的有100x(0.24+0.03+0.02)=29(名)，非优秀的有

100x(0.18+0.23+0.3)=71(名).

由题中频率分布直方图可知,B运营商测评得分优秀的有(0.03+0.016+0.004)x10x100=50(名)，非优秀的有

(0.008+0.016+0.026)x1()x100=50(^),(8分)

则可得列联表如下：

单位:名

测评得分

运营商合计

优秀非优秀

A2971100

B5050100