2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：外接球（解析版）

专题07外接球

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一个球面上,若该球的体积为36m且3WYW3,

则该正四棱锥体积的取值范围是6；

A.[18,^]B.令夕C.在，失D.[18,27]

【答案】C

【分析】

本题考查了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属较难题.

【解答】

解：方法(1)■.

设正四棱锥P-ABCD的高为PO,=h,底面边长为a,球心为O,由已知易得球半径为

R=3f

所以解

因为3wlwWW=>9w6hW27ng三h<1,

故所以V="2/=?6h—h2)h=，72—2h)hxhWgx广2-2)+h+h尸=/(当且仅当h=4取

CfszJJJJ

到),

2

当hW时，得a=碧，则Vmin=jah="需产X；*

当/=W3时，球心在正四棱锥高线上，此时h=：+3.,

%=夺=a=患,正四棱锥体积Vj=ja2h=黄碧产吗,故该正四棱锥体积的取值范

围是［猾.

方法(2)：

由方法(1)中知V=^(6-h)h2,h<|,求导V'=2(4-h)h,所以V=^(6-h)h2在

弓,4/上单调递增，在*,多上单调递减，所以Vmm=V(4)=^,Vmin=m\n{V(^),V(^)}=V(^)=

子，故该正四棱锥体积的取值范围是［*］.

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】已知正三棱台的高为7,上下底面的边长分别为W市LIW3,其顶点都在同一球面上，则该球

的表面积为（）

A.lOOnB.128nC.744nD.192n

【答案】A

【分析】

本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用.

【解答】

解：由题意如图所示，上底面所在平面截球所得圆的半径是07A7=3,

卜底面所在平面截球所得圆的半径是02A2=4,

则轴截面中由几何知识可得7R2_32+7R2—42=1,解得R2=25,

因此球的表面积是S=4nR2=4n-25=100n.

倒题阑陶

【命题意图】

外接球，是立体几何考察点的难点之一，也是能体现出知识点综合应用的考点一.通过考察球与棱柱，棱

锥，圆柱圆锥，以及组合体的内接外接关系，以及空间几何体的机构关系，考察表面积，体积，二面角等

等数学计算.考察数形结合思想和运算能力，考察空间想象能力，考察逻辑推导素养.

【命题方向】

命题会涉及到体积，表面积，面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，命题多以选择题，填空题

形式为主，要求学生有较强的空间想象力，有较好的计算能力，要有数形结合的数学思想，能运用转化与

化归的数学思想，有较好的逻辑推导素养.

【得分要点】

外接球题型归类知识点

一、.三线垂直图形

计算公式：三棱锥三线垂直n还原成长方体n27?=行诉7

二.由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型

2.等边三角形与等腰直角三角形连接,

3.投影为矩形，

三、线面垂直型

线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r,满足正弦定

理）

1.模板图形原理

四、面面垂直型

包含了面面垂直

一般情况下，俩面是特殊三角形.垂面型，隐藏很深的线面垂直型

五、垂线相交型

1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心;

2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；

3.许多情况下，会和二面角结合.

1.（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥S-48C的四个顶点都在球。的球面上S/=S8=SC=W,"8C

是边长为G的正三角形，则球。的表面积等于（）

64〃100"「”

A.-----B.-------C.16〃D.36〃

99

【答案】B

【分析】

直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可.

【详解】

已知三棱锥S-Z8C的四个顶点都在球。的球面上，"=S8=SC=厢,“BC是边长为6的正三角形，如

图所示：

取8c的中点Q,点，为底面的中心，所以8。=3,/。=工,/才=2/。=1,

223

设外接球的半径为R,所以SH=7（V10）2-1=3,

利用勾股定理可得，上=（3-火）2+12,解得/?=’

则球O的表面积为5=47rA2=竿.

故选：B.

2.（2022•陕西•宝鸡中学模拟预测）两个边长为2的正三角形A/8C与沿公共边48折叠成60。的

二面角，若点48,。,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

【答案】B

【分析】

根据外接球球心的性质确定球心。的位置为过正三角形"BC△ABD的中心的垂线上，再构造直角三角

形求解球O的半径即可

【详解】

由题，设正三角形"8C与的中心分别为根据外接球的性质有平面480,ON1平面

ABC,又二面角O-X8-C的大小为60。，故NOEC=60。，又正三角形A/8C与△力8。的边长均为2,故

DE=CE<,故EM=EN=1ED=B.易得RNMEO*RNNEO,故NMEO=NNEO=30°,故

33

O£=-^-=|,又E5=l,故球。的半径=母，故球O的表面积为S=4〃（姮）=—

故选：B

3.（2022・全国•高三专题练习（理））已知三棱锥S-/8C的顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为36万,

AB=5AC=2下,乙4c8=30。，则当三棱锥S-18c的体积最大时，BS=（）

A.4B.2亚C.5D.而

【答案】D

【分

设。।是"BC的外心，即可得到Of=石，再根据球的表面积求出球的半径尺，即可得。«,当且仅当S、

。、。|三点共线且平面”8和点S位于点。异侧时,三棱锥45c的体积最大，再由勾股定理计算可得BS.

【详解】

在A/BC中，根据正弦定理，可得sin48c=1所以45c=90。.如图，

AB

设Q为的外心，则。为XC的中点，且qB=gxc=次,由于球。的表面积为36/r,所以球。的半

径R=3,00,=JR2_042=2,

当S,0,Q三点共线且平面。3和点S位于点。的异侧时,

三棱锥S-Z8C的体积最大.此时8s="5。；+01炉=同

故选：D

4.（2022•辽宁葫芦岛•二模）已知A/8C是面积为地的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上，若球。

4

的体积为三~比，则。到平面48c的距离为（）

A.y/3B.-C.1D.同

22

【答案】A

【分

根据题意作出如下示意图，设Q为A/BC外接圆的圆心，所以/q为ANBC外接圆的半径，力。为球体的半

径，根据球的性质得oq，平面4BC,所以。«即为。到平面4BC的距离，所以根《=〃02_麴再分

别求出所需数据即可.

【详解】

根据题意作出如下示意图，设。I为"8C外接圆的圆心，所以为18C外接圆的半径,

AO为球体的半径，根据球的性质得。。1平面ABC,所以。«即为。到平面ABC的距离,

2

所以o«=JAO-AO^,因为A/BC是面积为地的等边三角形，

4

所以面积为：；x|/8|x曰卜8卜半.所以N8=8C=4C=G，

所以底边高为：^|/is|=|,所以/a=gxg=i,

因为球。的体积尸=：兀*=苧兀，解得夫=2,即4。=2,

所以O到平面ABC的距离为：OOX=4AO?-AO；=V4^1=6.

故选：A.

5.（2023・全国•高三专题练习）在三棱锥4-88中，AB,AC,力。两两垂直，AB=AC=AD=2若球

与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（）

A.4“B.8"C,（24-16旬*D.（48-32忘

【答案】D

【分析】

以“为原点，荏，石，刀分别为x、Az轴正方向建立空间直角坐标系.用坐标法求出球心和半径，即可求

出球的表面积.

【详解】

如图示，以4为原点，刀,15,%分别为X,丁、二轴正方向建立空间江角坐标系.

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(O,O,2),£>(0,2,0),

设与三棱锥各棱均相切的球的球心为O（x,y,z）,半径为『，过。作面48。于。.则a（x,y,O）.

中,所以

在底面”灰）中，即平面X。），内，直线8。方程为：x+y=2,Ot（x,y）,所以。/=

_\2

21

r=OH=OO；+OXH-,即生+2①.

过。作OE1/8于E,过。作。尸_L/C于尸，过。作0G1/。于G,过（力作OiHl_DB于H.

由Ob=。/得：x2+y2=r2®.

同理可得：/+22=r2③，j?+z2=/④.

②③®联立可得x=y=z.

V5

VV5

把x=y=z与①联立，解得：.尸后

Z

/=12-872

所以该球的表面积为4"=4"（12-8近）=（48-32近卜.

故选：D

6.（2023•全国•高三专题练习）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.1B.yC.2D.也

3232

【答案】C

【分析】

先证明当四棱锥的顶点O到底面48。所在小圆距离一定时，底面488面积最大值为2A进而得到四棱

锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为/•,

设四边形对角线夹角为a,

则S”8CD=L8D-sina<-ACBD<--2r-2r=2F

（当且仅当四边形ABC。为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点0到底面所在小圆距离一定时，底面/8CZ）面积最大值为2T2

又/+/=/

则匕,jsrn=--2r2-h=l=f

当且仅当r2=2h2即，，邛时等号成立，

故选：C

7.（2022・全国•高三专题练习）在矩形/8C。中，AB=2AD=12,点、E,尸分别是CQ的中点，沿EF

将四边形力瓦加折起，使乙4£8=60。，若折起后点A,B,C,D,E,F都在球。的表面上，则球。的

表面积为（）

A.64兀B,72兀C,84KD.96K

【答案】C

【分析】

根据三棱柱的性质，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】

因为矩形N8C9中，月8=2/0=12.点E,E分别是NB,C。的中点，

所以四边形NEFD和四边形EFC8是正方形，

又沿EF将四边形/£尸。折起，使4EB=60。，

所以几何体ZEB-OFC是正三棱柱，AD=6,

设球O的球心。在:底面DFC的射影为G,因此GO=g6=3,

显然G是等边三角形Z）FC的中心，

FG=-FH=-ylDF2-DH2=-J62-（-x6）2=%石=2退，

333V23

在直角三角形。尸G中，OF=ylOG2+FH2=业+（2灼'=而,

所以球。的表面积为4兀•。尸=84几

故选：C

8.（2023•全国•高三专题练习）若正三棱柱/8C-4与G的所有顶点都在同一个球。的表面上，且球。的体

积的最小值为?，则该三棱柱的侧面积为（）

A.6bB.3百C.30D.3

【答案】B

【分析】

用底边边长“和高力表示出球的半径，根据基本不等式得出ah值，从而可求出棱柱的侧面积.

【详解】

如图：设三棱柱上、下底面中心分别为。|、。2,则的中点为O,

设球。的半径为&,则设4B=BC=AC=a,4A、=h,

则。。,=:〃，OyA=—xAB=a,

22323

22222

则在放△。。3中，R=OA=OO；+O2A=；A4«>2X*与=与",

当且仅当1/j=*。时，“田

23mmV3

因为喂=竽［，即3=1

所以存她=1,即凶=力，

所以该三棱柱的侧面积为3M=373.

故选：B.

9.（2022•云南师大附中模拟预测）已知正方形Z5CD的边长为2VL将ANBC沿对角线/C折起，使得二

面角8-ZC-。的大小为90。.若三棱锥8-4CO的四个顶点都在球。的球面上，G为NC边的中点，E,F

分别为线段8G,。。上的动点（不包括端点），且BE=6CF,当三棱锥E-/CF的体积最大时，过点尸作

球。的截面，则截面面积的最小值为（）

38

A.2yj2nB.InC.—TID.—H

29

【答案】D

【分析】

根据面面垂直的判定定理得5Gl平面4cD,继而表示出三棱锥E-NCF的体积，求出％=2二时,P取得最大值，在

2

△GCF中，由余弦定理，得GF=左,根据球的性质可知，当G尸垂直于截面时，截面圆的面积最小，继而得解.

【详解】

因为正方形/3CD的边长为2a，所以4C=4.

如图，由于平面/8C1平面平面48Cn平面ZCO=ZC,又G为ZC边的中点，则有5G1NC,所

以BG1平面/C£>.设。〜=》（0<》<五），则8后=心,所以三棱锥E-ZC~的体积EG=

-x-AC»CF>smAACF-EG=-x-x4x•^（2-^）=2-（^-x],当工=交时，%取得最大值.由于

3232232

GA=GB=GC=GD,则球。的球心即为G,且球O的半径H=2.又在AGC尸中，由余弦定理，得

GF=y]GC2+CF--2GC•CFcos^ACF=,根据球的性质可知，当GF垂直于截面时，截面圆的面积最

小，设其半径为八所以,=JR2_G尸2=卜_（用则截面面积的最小值为|无.

故选：D.

10.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测）如图，三棱锥中，平面PZ81平面Z8C,AC=BC=\,

PA=BA=6,尸8=2.三棱锥P-N8C的四个顶点都在球。的球面上,则球心。到平面4BC的距离为（）

A.也B.亚C.V2D.逑

422

【答案】B

【分析】

由勾股定理逆定理得到"18C、尸”148,再由面面垂直的性质得到91平面”C,则苴角三角形"BC

外接圆的圆心在斜边的中点，即可得到三棱锥外接球的球心在在PB的中点，从而得解；

【详解】

解：因为ZC=8C=1,PA=BA=42,PB=2.

fifrl^AC2+BC2=AB2,即NC1BC,PA2+AB2=PB2、BPPA1AB,

又平面尸481平面/8C,平面尸/8c平面=,尸/u平面?/反

所以P/1平面ABC,

因为A/8C为直角三角形，所以A/8C外接圆的圆心在斜边AB的中点，

所以三棱锥P-N5C外接球的即为下图长方体的外接球，

所以三棱锥P-ABC外接球的球心。在心的中点，

所以球心0到平面ABC的距离为-PA=^：

22

故选：B

11.(2022•全国•高三专题练习)以△48C为底的两个正三棱锥P-N8c和。-"8C内接于同一个球，并

且正三棱锥尸-NBC的侧面与底面Z8C所成的角为45°,记正三棱锥尸和正三棱锥。的体

积分别为匕和匕，则£=()

12

B1c」D-1

A.I

【答案】c

【分析】

由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三棱锥高的关系得

答案.

【详解】

如图，正三棱锥尸-4BC和正三棱锥Q-N3C内接于同一个球,

设P到底面ABC的距离为九，Q到底面48C的距离为%,

取的中点〃，连接PM,CM,PQ,

记尸。与平面/8C的交点为火,

由两个正三棱锥P-ABC和。-Z8C内接于同一个球，故PQ一定为球0的直径，

记其中点为。即为球心，且由题意可知，R为正三角形/8C的中心，

因此，PR,。尺分别为正三棱锥P-/8C和正三棱锥。-N8C的高4,h2,

由P4=PB,QA=QB,C/=C8,且〃为28的中点，

可得PM1肛QM1ABtCMi.AB,

则NRWR为正三棱锥尸-48C的侧面与底面/8C所成的角为45。，

:.MR=PR=耳,RC=2MR=2h、,记球的半径为「，于是OR=r-九，

在RSORC中，由勾股定理可得，OC2=/=OR2+RC2=（r-A,）2+4A,2,

解得r=g4,寸:是QR=PQ-PR=2r-h、=5九一%=4%=",

„,h,1

则」=一

7h24，

■,匕%4-

故选：C.

12.（2022•全国•高三专题练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗.四川流行四角状的粽子，其形

状可以看成一个正四面体.广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状

近似地看成球，当这个蛋黄的体积为与时，则该正四面体的高的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

由蛋黄所成的球是该正四面体的内切球时，该正四面体的高有最小值，再利用等体积法求解.

【详解】

解：当蛋黄所成的球是该正四面体的内切球时，该正四面体的高有最小值.

设此时正四面体的每个面的面积为S,高为儿蛋黄所成的球的半径为八

因为内切球的体积为=苧，解得r=2,

由等体积法可得《xgsx’=Jsxh

解得〃=4r=8,

故选：C.

13.（2022・全国•南京外国语学校模拟预测）在正方体力BCD-44cA中，48=3近，点P是正方体

/BCD-44Gq的内切球。的球面上的点，点N为BG上一点，2NB\=NC、,DPIBN,则线段PC长度

的最大值为

3Vi^+3回

【答案】

1()

【分析】

先依据题给条件求得点P的轨迹为平面MCD与球O的截面圆周，再利用圆外一点与圆上的点距离的最大值

的求法即可得到线段PC长度的最大值.

【详解】

如图，在8片取点使连接MC,DM,

因为NC、=2NB,,又四边形8CC圈是正方形，所以△N8/三△M5C,

故BNLMC.因为正方形体Z8C。-44G所以。C』平面8CC圈,

又BNu平面8CG4,所以。C18N,

又BNLMC,MCcDC=C,MC,DCu平面MCD,

所以BN1平面MCD,则点尸的轨迹为平面"CD与球。的截面圆周，记为圆Q.

连接OD,OM,0C,

由％-DMC=忆-m/o,得!X!X3A/IX2若X。。］=gx3x2而3,

解得OQ=乎，所以截面圆的半径

所以PC=3同13历3病+3M

-

'nux101010

故答案为：3同+3相

10

14.（2022・全国•模拟预测）在三棱锥P-48C中，P/L底面/8C,PA=2,AB=AC=BC=2m,M为AC

的中点，若三棱锥的顶点均在球。的球面上，。是球。上一点，且三棱锥O-P/C体积的最大值

是亚，则球。的体积为

3

【答案】多##专

【分析】

根据给定条件，探讨三棱锥尸外接球球心。的位置，再借助锥体体积计算作答.

【详解】

正中，”为ZC的中点，则8H1/C,而尸/I平面力8C,BMu平面NBC,H|lBMJ.PA,

\l\iPAr\AC=A,尸4/Cu平面P4C,则8W1平面P4C,RWu平面4C,有8"1尸河，又PN145,

因此，RMP8M与Rt6"的斜边PB中点到点4B,M,P的距离相等，即三棱锥外接球球心

为P8中点，

从而，点。是三棱锥P-48M外接球球心，设球O的半径为R,有废=]+”/，

△的外接圆圆心为PM的中点，设为尸，连接OF,则。91平面Q4F,如图，

则有