等差数列专题

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1.等差数列得定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列得公差,公差通常用字母d表示.2.等差数列得通项公式若等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p、3.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x与y得等差中项,如果A就是x与y得等差中项,则A＝eq\f(x＋y,2)、4.等差数列得常用性质(1)通项公式得推广:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}就是等差数列,公差为d,则ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)就是公差为md(4)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S(5)S2n－1＝(2n－1)an、(6)若n为偶数,则S偶－S奇＝eq\f(nd,2);若n为奇数,则S奇－S偶＝a中(中间项).5.等差数列得前n项与公式若已知首项a1与末项an,则Sn＝eq\f(na1＋an,2),或等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其前n项与公式为Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d、6.等差数列得前n项与公式与函数得关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n,数列{an}就是等差数列得充要条件就是Sn＝An2＋Bn(A,B为常数).7.最值问题在等差数列{an}中,a1＞0,d＜0,则Sn存在最大值,若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列得前n项与公式:Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,①Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②①＋②得:Sn＝eq\f(na1＋an,2)、两个技巧已知三个或四个数组成等差数列得一类问题,要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－2d,a－d,a,a＋d,a＋2d,…、(2)若偶数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,…,其余各项再依据等差数列得定义进行对称设元.四种方法等差数列得判断方法(1)定义法:对于n≥2得任意自然数,验证an－an－1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an＝pn＋q;(4)前n项与公式法:验证Sn＝An2＋Bn、注:后两种方法只能用来判断就是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.回顾:1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d得值为()A.B.1C.D.﹣12.已知数列{an}得通项公式就是an=2n+5,则此数列就是()A.以7为首项,公差为2得等差数列B.以7为首项,公差为5得等差数列C.以5为首项,公差为2得等差数列D.不就是等差数列3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于()A.23B.24C.25D.264.两个数1与5得等差中项就是()A.1B.3C.2D.5.(2005•黑龙江)如果数列{an}就是等差数列,则()A.a1+a8＞a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8＜a4+a5D.a1a8=a4a5考点1:等差数列得通项与前n项与题型1:已知等差数列得某些项,求某项【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列得性质,再考虑基本量法【例1】已知为等差数列,,则解:方法1:方法2:,方法3:令,则方法4:为等差数列,也成等差数列,设其公差为,则为首项,为第4项、方法5:为等差数列,三点共线对应练习:1、已知为等差数列,(互不相等),求、2、已知个数成等差数列,它们得与为,平方与为,求这个数、题型2:已知前项与及其某项,求项数、【解题思路】⑴利用等差数列得通项公式求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列得前4项与及后4项与求出,代入可求项数、【例2】已知为等差数列得前项与,,求解:设等差数列得首项为,公差为,则对应练习:3、若一个等差数列得前4项与为36,后4项与为124,且所有项得与为780,求这个数列得项数、4、已知为等差数列得前项与,,则、题型3:求等差数列得前n项与【解题思路】(1)利用求出,把绝对值符号去掉转化为等差数列得求与问题、(2)含绝对值符号得数列求与问题,要注意分类讨论、【例3】已知为等差数列得前项与,、(1);⑵求;⑶求、解:,当时,,当时,,当时,,、由,得,当时,;当时,、(1);⑵;(3)时,,当时,对应练习:5、已知为等差数列得前项与,,求、考点2:证明数列就是等差数列【名师指引】判断或证明数列就是等差数列得方法有:1、定义法:(,就是常数)就是等差数列;2、中项法:()就是等差数列;3、通项公式法:(就是常数)就是等差数列;4、项与公式法:(就是常数,)就是等差数列、【例4】已知为等差数列得前项与,、求证:数列就是等差数列、解:方法1:设等差数列得公差为,,(常数)数列就是等差数列、方法2:,,,数列就是等差数列、对应练习:6、设为数列得前项与,,(1)常数得值;(2)证:数列就是等差数列、考点3:等差数列得性质【解题思路】利用等差数列得有关性质求解、【例5】1、已知为等差数列得前项与,,则;2、知为等差数列得前项与,,则、解:1、;2、方法1:令,则、,,;方法2:不妨设、,;方法3:就是等差数列,为等差数列三点共线、、对应练习:7、含个项得等差数列其奇数项得与与偶数项得与之比为()8、设、分别就是等差数列、得前项与,,则、考点4:等差数列与其它知识得综合【解题思路】1、利用与得关系式及等差数列得通项公式可求;2、求出后,判断得单调性、【例6】已知为数列得前项与,;数列满足:,,其前项与为数列、得通项公式;⑵设为数列得前项与,,求使不等式对都成立得最大正整数得值、解:⑴,当时,;当时,当时,,;,就是等差数列,设其公差为、则,、,就是单调递增数列、当时,对都成立所求最大正整数得值为、对应练习:9、已知为数列得前项与,,、数列得通项公式;⑵数列中就是否存在正整数,使得不等式对任意不小于得正整数都成立？若存在,求最小得正整数,若不存在,说明理由、课后练习:1、(2010广雅中学)设数列就是等差数列,且,,就是数列得前项与,则A. B. C. D.2、在等差数列中,,则、3、数列中,,当数列得前项与取得最小值时,、4、已知等差数列共有项,其奇数项之与为,偶数项之与为,则其公差就是、5、设数列中,,则通项、6、从正整数数列中删去所有得平方数,得到一个新数列,则这个新数列得第项就是、答案与解析:对应练习:1、【解析】2、【解析】设这个数分别为则解得当时,这个数分别为:;当时,这个数分别为:3、【解析】4、【解析】设等差数列得公差为,则、5、【解析】方法1:设等差数列得公差为,则;方法2:6、【解析】⑴,,⑵由⑴知:,当时,,,数列就是等差数列、7、【解析】(本两小题有多种解法),、选B、8、【解析】填、9、【解析】⑴当时,,且,就是以为公差得等差数列