定积分典型习题

第六章定积分第一节定积分的概念思考题：1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出以下积分的值：〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕.解：假设在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积.假设时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.〔1〕由以下图〔1〕所示，.2A(2)--1-1111A1A(1)1-13A4A5A2ππ(3)11(4)〔2〕由上图〔2〕所示，.〔3〕由上图〔3〕所示，.〔4〕由上图〔4〕所示，.2.假设当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？〔1〕,〔2〕.答：由定积分的比拟性质知〔1〕式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比拟大小，故〔2〕式不成立.3.个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.习作题：1.用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记,那么.2.利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由,得或.比拟的大小，知，由定积分的估值公式，得,即.3.求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值.4.利用定积分的定义证明.证明：令,那么，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记,那么.微积分根本公式思考题：1.?答：因为是以为自变量的函数，故=0.2.答：因为是常数，故.3.？答：因为的结果中不含，故0.4.？答：由变上限定积分求导公式，知.5.？答：.6.假设，那么=？答：=.7.当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为局部区间上的定积分来计算.例如：假设那么=+==.8.对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1.计算以下定积分〔1〕,〔2〕,〔3〕.解：〔1〕=+===1.〔2〕=+==4+.〔3〕=+==2+2=4.2.求极限.解：此极限是“〞型未定型，由洛必达法那么，得==3.计算以下各题：〔1〕，〔2〕，〔3〕,〔4〕,〔5〕,〔6〕,〔7〕,〔8〕,〔9〕,〔10〕,〔11〕,〔12〕,〔13〕.解：〔1〕=.〔2〕=.〔3〕.〔4〕=.〔5〕.〔6〕.〔7〕===.〔8〕===.(9)==.(10)===.〔11〕===.〔12〕==.〔13〕===.定积分的积分方法思考题：1.下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：〔1〕===.〔2〕===2=2.答：〔1〕不正确，应该为：=.〔2〕不正确，应该为：=2.2.定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代.联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同.3.利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律.答：如图,设在上满足≥0，那么表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，那么当为偶函数时，(如以下图(1)所示)，当为奇函数时，(如以下图(2)所示).xyxyOa-aAAxya-aAAO〔2〕习作题:1.计算以下定积分:(1),(2).解：〔1〕令=,那么,当=0时，=0;当=4时，，于是=.〔2〕==.2.计算以下定积分：〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕.解：〔1〕===.(2)=.(3)==0==移项合并得.〔4〕=.第四节广义积分思考题:1.以下解法是否正确？为什么？.答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点，不能直接应用公式计算，事实上，=+=+=+=+不存在,故发散.2.指出下面广义积分的计