数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题1、什么就是拉格朗日插值基函数？它们就是如何构造得？有何重要性质？答:若次多项式在个节点上满足条件则称这个次多项式为节点上得次拉格朗日插值基函数、以为例,由所满足得条件以及为次多项式,可设,其中为常数,利用得,故,即、对于,有,特别当时,有、2、什么就是牛顿基函数？它与单项式基有何不同？答:称为节点上得牛顿基函数,利用牛顿基函数,节点上得次牛顿插值多项式可以表示为其中、与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次得插值多项式,例如,其中就是节点上得阶差商,这一点要比使用单项式基方便得多、3、什么就是函数得阶均差？它有何重要性质？答:称为函数关于点得一阶均差,为得二阶均差、一般地,称为得阶均差、均差具有如下基本性质:(1)阶均差可以表示为函数值得线性组合,即,该性质说明均差与节点得排列次序无关,即均差具有对称性、(2)、(3)若在上存在阶导数,且节点,则阶均差与阶导数得关系为,、4、写出个点得拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式,它们有何异同？答:给定区间上个点上得函数值,则这个节点上得拉格朗日插值多项式为,其中、这个节点上得牛顿插值多项式为,其中为在点上得阶均差、由插值多项式得唯一性,与就是相同得多项式,其差别只就是使用得基底不同,牛顿插值多项式具有承袭性,当增加节点时只需增加一项,前面得工作依然有效,因而牛顿插值比较方便,而拉格朗日插值没有这个优点、5、插值多项式得确定相当于求解线性方程组,其中系数矩阵与使用得基函数有关、包含得就是要满足得函数值、用下列基底作多项式插值时,试描述矩阵中非零元素得分布、(1)单项式基底;(2)拉格朗日基底;(3)牛顿基底、答:(1)若使用单项式基底,则设,其中为待定系数,利用插值条件,有,因此,求解得系数矩阵为为范德蒙德矩阵、(2)若使用拉格朗日基底,则设,其中为拉格朗日插值基函数,利用插值条件,有,由拉格朗日插值基函数性质,求解得系数矩阵为为单位矩阵、(3)若使用牛顿基底,则设,由插值条件,有即故求解得系数矩阵为为下三角矩阵、6、用上题给出得三种不同基底构造插值多项式得方法确定基函数系数,试按工作量由低到高给出排序、答:若用上述三种构造插值多项式得方法确定基函数系数,则工作量由低到高分别为拉格朗日基底,牛顿基底,单项式基底、7、给出插值多项式得余项表达式,如何用它估计截断误差？答:设在上连续,在内存在,节点,就是满足条件得插值多项式,则对任何,插值余项,这里且与有关,、若有,则逼近得截断误差、8、埃尔米特插值与一般函数插值区别就是什么？什么就是泰勒多项式？它就是什么条件下得插值多项式？答:一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等,而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上得一阶导数值甚至高阶导数值也相等、称为在点得泰勒插值多项式,泰勒插值就是一个埃尔米特插值,插值条件为,泰勒插值实际上就是牛顿插值得极限形式,就是只在一点处给出个插值条件得到得次埃尔米特插值多项式、9、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答:对于任意得插值结点,当时,不一定收敛于,如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象,因而插值多项式得次数升高后,插值效果并不一定能令人满意、分段低次插值就是将插值区间分成若干个小区间,在每个小区间上进行低次插值,这样在整个插值区间,插值多项式为分段低次多项式,可以避免单个高次插值得振荡现象、10、三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由、答:三次样条插值要求插值函数,且在每个小区间上就是三次多项式,插值条件为、三次分段埃尔米特插值多项式就是插值区间上得分段三次多项式,且满足,插值条件为,、分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处得函数值,而且还需要节点处得导数值,且插值多项式在插值区间就是一次连续可微得、三次样条函数只需给出节点处得函数值,但插值多项式得光滑性较高,在插值区间上二次连续可微,所以相比之下,三次样条插值更优越一些、11、确定个节点得三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数,需加上什么条件？答:由于三次样条函数在每个小区间上就是三次多项式,所以在每个小区间上要确定4个待定参数,个节点共有个小区间,故应确定个参数,而根据插值条件,只有个条件,因此还需要加上2个条件,通常可在区间得端点,上各加一个边界条件,常用得边界条件有3种:(1)已知两端得一阶导数值,即,、(2)已知两端得二阶导数值,即,,特殊情况为自然边界条件,、(3)当就是以为周期得周期函数时,要求也就是周期函数,这时边界条件就满足,,这时称为周期样条函数、12、判断下列命题就是否正确？(1)对给定得数据作插值,插值函数个数可以任意多、(2)如果给定点集得多项式插值就是唯一得,则其多项式表达式也就是唯一得、(3)就是关于节点得拉格朗日插值基函数,则对任何次数不大于得多项式都有(4)当为连续函数,节点为等距节点,构造拉格朗日插值多项式,则越大越接近、(5)同上题,若构造三次样条插值函数,则越大得到得三次样条函数越接近、(6)高次拉格朗日插值就是很常用得、(7)函数得牛顿插值多项式,如果得各阶导数均存在,则当时,就就是在点得泰勒