高考数学 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质练习试题

课时提升作业(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·珠海模拟)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,m⊥l,则m⊥α B.若l⊥m,m⊥n,则m∥nC.若a⊥α,a⊥b,则b∥α D.若l⊥α,l∥a,则a⊥α【解析】选D.对于A,m与α位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b⊂α,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.2.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若α⊥γ,α⊥β,则β与γ相交,或β∥γ,故D为假命题;若m∥α,则α中必存在直线l与m平行,又m⊥β,所以l⊥β,故α⊥β,故选C.3.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则()A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.【误区警示】本题易由于空间想象不全,漏掉情况而误选.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.【加固训练】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC.5.(2015·西安模拟)已知在正三棱锥S-ABC中,E是侧棱SC的中点,且SA⊥BE,则SB与底面ABC所成角的余弦值为()A.12B.23C.2【解题提示】根据条件可找到SB在平面ABC上的射影,进而找到线面角,求解.【解析】选D.如图所示,在正三棱锥S-ABC中,作SO⊥平面ABC,连接AO,则O是△ABC的中心,BC⊂平面ABC,所以SO⊥BC,AO⊥BC,AO∩SO=O,由此可得BC⊥平面SAO,所以SA⊥BC.又SA⊥BE,BE∩BC=B,所以SA⊥平面SBC,故正三棱锥S-ABC的各侧面全等且均是等腰直角三角形.连接OB,则∠SBO为SB与底面ABC所成的角.设SA=a,则AB=2a,BO=63a,所以cos∠SBO=63.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.7.(2015·天津模拟)已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是个.【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.答案:28.(2015·成都模拟)设P是60°的二面角α-l-β内一点,PA⊥α,PB⊥β,A,B分别为垂足,PA=2,PB=4,则AB的长是.【解析】如图所示,PA与PB确定平面γ,设平面γ与l交于点E,则BE⊥l,AE⊥l,所以∠BEA即为二面角的平面角,所以∠BEA=60°,从而∠BPA=120°,在△BAP中,由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠BPA=4+16+8=28.所以AB=27.答案:27三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·唐山模拟)如图所示,△ABC和△BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=23,(1)证明:DE⊥BC.(2)求三棱锥D-ABE的体积.【解析】(1)取BC的中点为F,连接AF,EF,BD,因为△BCE是正三角形,所以EF⊥BC,又平面ABC⊥平面BCE,且交线为BC,所以EF⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,所以BC⊥平面DAFE,又DE⊂平面DAFE,故DE⊥BC.(2)由(1)知EF∥AD,所以有VD-ABE=VE-DAB=VF-DAB=VD-ABF,而S△ABF=12BF·AF=3所以VD-ABF=13S△ABF·即VD-ABE=1.10.(2015·广州模拟)如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上一动点.(1)求证:平面PAC⊥平面NEF.(2)若PC∥平面MEF,试求PM∶MA的值.(3)当M是PA中点时,求二面角M-EF-N的余弦值.【解析】(1)连接BD,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又因为BD⊥AC,AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,又因为E,F分别是BC,CD的中点,所以EF∥BD,所以EF⊥平面PAC,又EF⊂平面NEF,所以平面PAC⊥平面NEF.(2)连接OM,因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,所以PC∥OM,所以PMPA=OCAC=14(3)因为EF⊥平面PAC,OM⊂平面PAC,所以EF⊥OM,在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,所以NO⊥EF,所以∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角,因为点M是PA的中点,所以AM=NC=2,所以在矩形MNCA中,可求得MN=AC=42,NO=6,MO=22,在△MON中,由余弦定理可求得cos∠MON=MO2+O所以二面角M-EF-N的余弦值为-3333【加固训练】(2015·太原模拟)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为925(1)求证:平面ABD⊥平面CBD.(2)若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积.【解析】(1)在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,OA=4,所以OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×925=32,在△所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以VA-MCD=VB-MCD=1216S△BCD·(20分钟40分)1.(5分)(2015·杭州模拟)已知l,m为不同的直线,α,β为不同的平面,如果l⊂α,且m⊂β,那么下列命题中不正确的是()A.“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B.“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C.“m∥α”是“l∥m”的充要条件D.“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件【解析】选C.对于A中命题由“l⊥β”可得“α⊥β”,但反之不一定,故A中命题正确;对于B中命题,“l⊥m”不一定有“l⊥β”,但反之成立,故B中命题正确;对于C中命题,因为m∥α⇒l∥m或l与m为异面直线,所以“m∥α”l∥m,故C错误;对于D中命题,“l⊥m”“α⊥β”,反之亦然,故D中命题正确.【加固训练】(2015·太原模拟)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中不正确的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊂β,则α⊥βC.若m⊥β,m⊥α,则α∥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n【解析】选D.选项A是线面垂直的性质定理;选项B是两个平面垂直的判定定理;选项C是两个平面平行的判定方法之一;选项D中,若m∥α,α∩β=n,则只能得到m,n没有公共点,于是m∥n或m,n异面.2.(5分)(2014·沈阳模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是.【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断.【解析】连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又VP-AD1C=因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B1DF.【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1即2a3a-x=整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a4.(12分)(2015·日照模拟)在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知BC=1,∠BCC1=π3(1)求证C1B⊥平面ABC.(2)设E是CC1的中点,求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小.【解析】(1)因为BC=1,∠BCC1=π3,CC1=2,所以BC1=3,BC2+BC12=CC12,所以BC1⊥BC.因为AB⊥侧面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以BC1(2)由AB⊥侧面BB1C1C,AB⊂平面ABC1,得平面BCC1B1⊥平面ABC1,过E作BC1的垂线交BC1于F,则EF⊥平面ABC1.连接AF,则∠EAF为所求的角.因为BC⊥BC1,EF⊥BC1,所以BC∥EF.因为E为C1C的中点,所以F为C1B的中点,EF=12.又因为AE=AB2+BE2=AB25.(13分)(能力挑战题)如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.(1)求证:平面DAF⊥平面CBF.(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小.(3)当AD的长为何值时,二面角D-FE-B的大小为60°.【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以CB⊥平面ABEF.因为AF⊂平面ABEF,所以AF⊥CB,又因为AB为圆O的直径,所以AF⊥BF,所以AF⊥平面CBF.因为AF⊂平面ADF,所以平面DAF⊥平面CBF.(2)根据(1)的证明,有AF⊥平面CBF,所以FB为AB在平面CBF上的射影,所以∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角,因为AB∥EF,所以四边形ABEF为等腰梯形,过点F作FH⊥AB,交A