高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)-证明空间中的位置关系练习试题

课时提升作业(四十六)立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·天津模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交【解析】选B.因为n=-2a,所以a∥n,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直.【误区警示】本题易由a∥n,误以为l∥α,而误选A.2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解题提示】α∥β等价于其法向量平行.【解析】选C.因为α∥β,所以1-2=2-4=【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.因为α⊥β,所以n1⊥n2,即n1·n2=0,经验证可知,选项A正确.3.(2015·锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2 B.-2 C.2 D.±2【解析】选D.由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.4.(2015·珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=1A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,1B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D→=(-1,0,-1),AC→BD1→=(-1,-1,1),EF→=-13BD1从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1) B.2C.22,22,1【解析】选C.由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).则AM→=(x-2,x-2,1),BD→=(2,-2,0),BE→=(0,-则QUOTEn⊥BD→,n⊥BE→解得a=b,c=2b,令b=1,则又AM∥平面BDE,所以n·AM即2(x-2)+2=0,得x=22,所以M2二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=.【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a·b=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.(2015·兰州模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是.【解析】由已知得,AB→=(0,1,-1),AC→=(1,0,-1),设平面则QUOTEm⊥AB→,m⊥AC→得x=z,又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n,所以α∥β.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以B1E→=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以FB→只需FB→·B1E→答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG∥平面BEF.(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.【解析】(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E1,12,1,F因为EF→=-12,而AG→=-1,12,1,所以故AG又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.(2)设M(1,1,m),则DM→=(1,1,由DM→·EF→=0,所以-12+m=0⇒m=1所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.10.(2015·泰安模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证:CM∥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因为PC=2.所以BC=23,PB=4.所以D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,所以DP→=(0,-1,2),DA(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则QUOTEDP→·n=0,DA→·n=0,即-令y=2,得n=(-3,2,1).因为n·CM→=-3×32+2×0+1所以n⊥CM又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E,并连接BE,则E(3,2,1),BE→=(-因为PB=AB,所以BE⊥PA.又BE→·DA→=(-3,2,1)所以BE→⊥DA因为PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD,又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1⊥平面BAC.又因为AB=AC,BC=2AB,所以∠CAB=90°,即CA⊥AB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)A1B1→=(0,2,0),设平面AA1C的一个法向量为n=(x,y,z),则QUOTEn·A1A→=0,n·AC→取y=1,则n=(0,1,0).所以A1B1→=2n,即A1B(2)易知AB1→A1设平面A1C1C即x1令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以AB1→·m=0×1+2×所以AB1→⊥m.又AB1⊄平面所以AB1∥平面A1C1C(20分钟40分)1.(5分)平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A.12,-1,-1 C.(4,2,2) D.(-1,1,4)【解析】选D.由已知得AB→=(2,1,1),设平面α的法向量为n=(x,y,z),则QUOTEn·AB→=0,n·AC→=0,令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,(-1)×0+1×1+(-1)×4=-3≠0,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选D.对于选项A,因为12,-1,-1=12(1,-2,-2)=12BC→,所以选项A所对应的向量与平面2.(5分)(2015·太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1CA.斜交 B.平行C.垂直 D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=23所以Ma,N23所以MN→=又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1所以MN→·C1D1因为C1D1且MN⊄平面BB1C1C所以MN∥平面BB1C1C【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行 B.异面C.垂直 D.以上都不对【解析】选C.以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(22,0,0),M(2,2,0).所以PM→=(2,2,0)-(0,1,=(2,1,-3),AM→=(2,2,0)-(2=(-2,2,0),所以PM→·AM→=(2,1,-3)即PM→⊥AM3.(5分)(2015·成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选AB→,AD【解析】如图,设AB→=a,AD→a·b=c·b=0.MN→=AN→-AM→=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a),MN→·AD→=12(c-a)·b=12(c·b-a·b)=0,故AD⊥MN,故①正确;答案:①②③4.(12分)(2014·辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC.(2)求二面角E-BF-C的正弦值.【解析】(1)如图,以点B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则B0,0,0,A0,-1,3,D3从而E0,12所以EF→=32,0,-3因此EF→·BC→=所以EF→⊥BC(2)平面BFC的一个法向量为n1=0,0,1,设平面BEF的一个法向量为n2=x,y,z又BF→=32,1则由QUOTEn2·BF→=0,n2令z=1得x=1,y=-3,所以n2=1,-设二面角E-BF-C的大小为θ,则cosθ===15,所以sinθ=1-cos2θ=25,即所求二面角E-5.(13分)(能力挑战题)已知一个三角形的简易遮阳棚△ABC(如图),AC=BC=5,AB=6,其中A,B是地面上南北方向的两个定点,正西方向射出的太阳(用点O表示)光线OCD与地面成30°,△ABD为光照遮阳棚产生的阴影.若点Q为AB的中点.(1)求证:AB⊥QD.(2)试问:遮阳棚△ABC与地面所成的角为多大时,才能保证阴影△ABD的面积最大.(3)在(2)的条件下,在线段AC上是否存在一点M,使BM⊥平面ACD,若存在,求出λ=CM【解析】(1)因为AC=BC且AQ=BQ,所以AB⊥CQ,又AB⊥CD,所以AB⊥平面CQD,因为QD⊂平面CQD,所以AB⊥QD.(2)方法一:过点C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD,即∠CDQ=30°,由正弦定理得CQsin30°=又CQ=4,得QD=8sin∠QCD.当∠QCD=90°时,QD取最大值为8,阴影△ABD的面积最大值为24,此时∠CQD=60°,依题意∠CQD=60°就是遮阳棚△ABC与地面所成的角.方法二:过点C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD即∠CDQ=30°,过点H作射线Hx平行BA作为x轴正半轴,射线HD,射线HC分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,设∠CQD=θ,依题意得Q(0,-4cosθ,0),D(0,43sinθ,0),即QD=43sinθ+4cosθ=8sin(θ+30°),当∠CQD=θ=60°时,QD取最大值为8,阴影△ABD的面积最大值为24,依题意∠CQD=60°就是遮阳棚△ABC与地面所成的角.(3)方法一:由(2)知DC⊥CQ,又CD⊥AB,得DC⊥平面ABC,所以过点B在平面ABC内作BM⊥AC,得到DC⊥BM,所以BM⊥平面ACD,所以△ABC中AB×QC=AC×BM⇒BM=245所以Rt△BMA中得到AM=185,所以CM=7所以λ=CMAM=方法二:过点H作射线Hx平行BA作为x轴正半轴,射线HD、射线HC分别作为y轴正半轴、z