2023创新设计题组训练3-6

2024创新设计题组训练3-6第6讲正弦定理和余弦定理

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2024·绍兴模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝3ab，则C＝()．A．30°B．45°

C．60°D．120°

解析由a2－c2＋b2＝3ab，得cosC＝a2＋b2－c2

2ab＝

3ab

2ab＝

3

2，所以C＝30°.

答案A

2．(2024·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为

3

2，则BC

的长为()．

A.

3

2B.3

C．23D．2

解析S＝1

2×AB·ACsin60°＝

1

2×2×

3

2AC＝

3

2，所以AC＝1，所以BC

2＝AB2

＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.答案B

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π

6，C＝π

4，则△ABC的面积为()．A．23＋2B.3＋1

C．23－2D.3－1

解析由正弦定理

b

sinB＝

c

sinC及已知条件得c＝22，

又sinA＝sin(B＋C)＝1

2×

2

2＋

3

2×

2

2＝

2＋6

4.

从而S△ABC＝12bcsinA＝1

2×2×22×2＋64＝3＋1.答案B

4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()．

A．23

B．2C.2

D．1

解析由asinA＝bsinB，得asinA＝bsin2A，所以1sinA＝32sinAcosA，故cosA＝3

2，又A∈(0，π)，所以A＝π6，B＝π3，C＝π

2，c＝a2＋b2＝12＋(3)2＝2.答案B

5．(2024·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的外形为()．

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．不确定

解析由正弦定理及已知条件可知sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sin2A＝sinA，又0＜A＜π，sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝π2.答案A二、填空题

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．

解析由题意知，sinB＋cosB＝2，所以2sin??

???B＋π4＝2，所以B＝π4，根

据正弦定理可知asinA＝bsinB，可得2sinA＝2sinπ4，所以sinA＝1

2，又a＜b，故A

＝π6.答案π

6

7．(2024·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2

－b2)tanB＝3ac，则角B的值为________．

解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝

32，∴sinB＝32，∴B＝π3或2π

3.答案π3或2π

3

8．(2024·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝1

4，则sinB等于________．

解析由余弦定理，得c2

＝a2

＋b2

－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝1

4得sinC

＝154.由正弦定理bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝22×154＝15

4(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝15

4)．答案

154

三、解答题

9．(2024·宜山质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝1

2c＋bcosC.(1)求角B的大小；

(2)若S△ABC＝3，b＝13，求a＋c的值．解(1)由正弦定理，得sinA＝1

2sinC＋sinBcosC，又由于A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin(B＋C)，可得sinBcosC＋cosBsinC＝1

2sinC＋sinBcosC，即cosB＝12，又B∈(0，π)，所以B＝π

3.

(2)由于S△ABC＝3，所以12acsinπ

3＝3，所以ac＝4，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，

所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.

10．(2024·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．

解(1)由于a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得3sinA＝

26

sin2A，

所以2sinAcosAsinA＝263，故cosA＝63.

(2)由(1)知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝3

3.又由于∠B＝2∠A，

所以cosB＝2cos2A－1＝13，所以sinB＝1－cos2B＝22

3.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝53

9.所以c＝asinC

sinA＝5.

力量提升题组(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2024·温岭中学模拟)在锐角△ABC中，若BC＝2，sinA＝22

3，则AB→·AC→的最大值为()．

A.13

B.45C．1

D．3

解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×13＝4，由基本不等式可得4≥4

3bc，即bc≤3，所以AB→·AC→＝bccosA＝1

3bc≤1.答案C

2．(2024·青岛一中调研)在△ABC中，三边长a，b，c满意a3＋b3＝c3，那么△ABC的外形为

()．

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上均有可能

解析由题意可知c＞a，c＞b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即

c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.依据余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c

2

2ab＞0，所

以0＜C＜π

2，即三角形为锐角三角形．答案A二、填空题

3．(2024·浙江卷)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝1

3，则sin∠BAC＝________.

解析如图，令∠BAM＝β，∠BAC＝α，故|CM|＝|AM|sin(α－β)，

∵M为BC的中点，∴|BM|＝|AM|sin(α－β)．在△AMB中，由正弦定理知，

|AM|sinB＝|BM|sinβ，

即|AM|

sin?????

π2－α＝|AM|·sin(α－β)sinβ，

∵sinβ＝13，∴cosβ＝223，∴13＝cosα·?????223sinα－1

3cosα

＝223sinαcosα－1

3cos2α，整理得1＝22sinαcosα－cos2α，

所以22tanα－1tan2α＋1＝1，

解得tanα＝2，故sinα＝6

3.答案6

3三、解答题

4．(2024·长沙模拟)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满意bcosC＝(3a－c)cosB.(1)求cosB；

(2)若BC→·BA→＝4，b＝42，求边a，c的值．解(1)由正弦定理和bcosC＝(3a－c)cosB，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB，

化简，得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，

故sinA＝3sinAcosB，所以cosB＝13.(2)由于BC