导数及微积分教案

姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间学科数学年级高三教材版本人教A版阶段观察期□：第〔4〕周维护期□本人课时统计第〔7、8〕课时共〔〕课时课题名称导数及其应用〔一轮复习〕课时方案2上课时间教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法〔涉及分类讨论〕教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察根本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2023年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：〔1〕考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；〔2〕13年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分根本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数，记作f’〔x〕或y’|。即f〔x〕==。说明：〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。〔2〕是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤〔可由学生来归纳〕：〔1〕求函数的增量=f〔x+〕－f〔x〕；〔2〕求平均变化率=；〔3〕取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是f’〔x〕。相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。3．常见函数的导出公式．〔１〕〔C为常数〕〔２〕〔３〕〔４〕〔5〕〔6〕4．两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：假设C为常数,那么.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法那么3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=〔v0〕。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法那么：y＇|=y＇|·u＇|5．导数的应用〔1〕一般地，设函数在某个区间可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；如果在某区间内恒有，那么为常数；〔2〕曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；〔3〕一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比拟，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6．定积分〔1〕概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi〔i＝1，2，…n〕作和式In＝(ξi)△x〔其中△x为小区间长度〕，把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。根本的积分公式：＝C；＝＋C〔m∈Q，m≠－1〕；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C〔表中C均为常数〕。〔2〕定积分的性质①〔k为常数〕；②；③〔其中a＜c＜b。〔3〕定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b〔a<b〕，x轴及一条曲线y＝f〔x〕(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)〔不妨设f1(x)≥f2(x)≥0〕，及直线x＝a，x＝b〔a<b〕围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。典例解析题型1：导数的根本运算例1．〔1〕求的导数；〔2〕求的导数；〔3〕求的导数；〔4〕求y=的导数；〔5〕求y＝的导数。解析：〔1〕,〔2〕先化简,〔3〕先使用三角公式进行化简.〔4〕y’==；〔5〕y＝－x＋５－y’＝３*〔x〕＇－x＇＋５＇－９〕＇＝３*－１＋０－９*〔－〕＝。点评：〔1〕求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少过失；〔2〕有的函数虽然外表形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以防止使用商的求导法那么，减少运算量。例2．写出由以下函数复合而成的函数：〔1〕y=cosu,u=1+〔2〕y=lnu,u=lnx解析：〔1〕y=cos(1+)；〔2〕y=ln(lnx)。点评：通过对y=〔3x-2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=..给出复合函数的求导法那么，并指导学生阅读法那么的证明。题型2：导数的几何意义例3．〔1〕〔06安徽卷〕假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔〕A．B．C．D．〔2〕〔06全国II〕过点〔－1，0〕作抛物线的切线，那么其中一条切线为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：〔1〕与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，应选A；〔2〕，设切点坐标为，那么切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点〔－1，0〕在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例4．〔1〕〔06湖北卷〕半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，假设将r看作(0，＋∞)上的变量，那么(r2)`＝2req\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,1)式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，假设将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于eq\o\ac(○,1)的式子：eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,2)式可以用语言表达为：。〔2〕〔06湖南卷〕曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。解析：〔1〕V球＝，又故eq\o\ac(○,2)式可填，用语言表达为“球的体积函数的导数等于球的外表积函数。〞；〔2〕曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值例5．〔1〕〔06江西卷〕对于R上可导的任意函数f〔x〕，假设满足〔x－1〕0，那么必有〔〕A．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕B.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕C．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕D.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕〔2〕〔06天津卷〕函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个〔3〕〔06全国卷I〕函数。〔Ⅰ〕设，讨论的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意恒有，求的取值范围。解析：〔1〕依题意，当x1时，f〔x〕0，函数f〔x〕在〔1，＋〕上是增函数；当x1时，f〔x〕0，f〔x〕在〔－，1〕上是减函数，故f〔x〕当x＝1时取得最小值，即有f〔0〕f〔1〕，f〔2〕f〔1〕，应选C；〔2〕函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。〔3〕：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=eq\f(ax2+2－a,(1－x)2)e－ax。(ⅰ)当a=2时,f'(x)=eq\f(2x2,(1－x)2)e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数；(ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.；(ⅲ)当a>2时,0<eq\f(a－2,a)<1,令f'(x)=0,解得x1=－eq\r(\f(a－2,a)),x2=eq\r(\f(a－2,a))；当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－eq\r(\f(a－2,a)))(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))(eq\r(\f(a－2,a)),1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－eq\r(\f(a－2,a))),(eq\r(\f(a－2,a)),1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))为减函数。(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；(ⅱ)当a>2时,取x0=eq\f(1,2)eq\r(\f(a－2,a))∈(0,1),那么由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1；(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有eq\f(1+x,1－x)>1且e－ax≥1，得：f(x)=eq\f(1+x,1－x)e－ax≥eq\f(1+x,1－x)>1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例6．〔1〕〔06浙江卷〕在区间上的最大值是〔〕(A)－2(B)0(C)2(D)4〔2〕〔06山东卷〕设函数f(x)=〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。解析：〔1〕，令可得x＝0或2〔2舍去〕，当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f〔x〕取得最大值为2。选C；〔2〕由得，令，解得。〔Ⅰ〕当时，，在上单调递增；当时，，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的根底知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型4：导数综合题例7．〔06广东卷〕设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(=1\*ROMANI)求点的坐标；(=2\*ROMANII)求动点的轨迹方程.解析：(Ⅰ)令解得；当时,，当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以,点A、B的坐标为。〔Ⅱ〕设，，，，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型5：导数实际应用题例8．〔06江苏卷〕请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥〔如右图所示〕。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的根底知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为xm,那么由题设可得正六棱锥底面边长为〔单位：m〕。于是底面正六边形的面积为〔单位：m2〕：。帐篷的体积为〔单位：m3〕：求导数，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。题型6：定积分例13．计算以下定积分的值；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕解析：〔1〕〔2〕因为，所以；〔3〕〔4〕〔5〕积分函数可以看成是半圆，因此利用定积分的几何意义，求半圆的面积就是此积分的值。变式引申：求的值。例14．〔1〕一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。〔2〕抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S到达最大值的a、b值，并求Smax．解析：〔1〕物体的速度。媒质阻力，其中k为比例常数，k>0。当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为：〔2〕依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．于是代入〔1〕式得：，；令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五．思维总结1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：〔1〕函数的极限；〔2〕导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；〔3〕计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2．我们应立足根底知识和根本方法的复习，以课此题目为主，以熟练技能，稳固概念为目标。课后作业函数与导数〔高考真题〕选择题：1.〔全国一1〕函数的定义域为〔〕A． B．C． D．2.〔全国一2〕汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是〔〕sstOA．stOstOstOB．C．D．3.〔全国一6〕假设函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么〔〕A． B． C． D．4.〔全国一7〕设曲线在点处的切线与直线垂直，那么〔〕A．2 B． C． D．5.〔全国一9〕设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为〔〕A． B．C． D．6.〔全国二3〕函数的图像关于〔〕A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称8.〔全国二4〕假设，那么〔〕A．<< B．<< C．<< D．<<9.〔北京卷2〕假设，，，那么〔〕A． B． C． D．10.〔北京卷3〕“函数存在反函数〞是“函数在上为增函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11.〔四川卷10〕设，其中，那么是偶函数的充要条件是()〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕12.〔四川卷11〕设定义在上的函数满足，假设，那么()〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕13.〔天津卷3〕函数〔〕的反函数是〔〕〔A〕〔〕〔B〕〔〕〔C〕〔〕〔D〕〔〕14.〔天津卷10〕设，假设对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕15.〔安徽卷7〕是方程至少有一个负数根的〔〕A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16.〔安徽卷9〕在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，假设，那么的值是〔〕A． B． C． D．17.〔安徽卷11〕假设函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，那么有〔〕A． B．C． D．18.〔山东卷3〕函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是〔〕19.〔山东卷4〕设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，那么a的值为〔〕(A)3(B)2(C)1(D)-120.〔江西卷3〕假设函数的值域是，那么函数的值域是〔〕A．B．C．D．21.〔江西卷6〕函数在区间内的图象是〔〕22.〔江西卷12〕函数，，假设对于任一实数，与至少有一个为正数，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．23.〔湖北卷4〕函数的定义域为〔〕A.B.C.D.24.〔湖北卷7〕假设上是减函数，那么的取值范围是〔〕A.B.C.D.25.〔湖南卷10〕设［x］表示不超过x的最大整数〔如［2］=2,［］=1〕,对于给定的nN*,定义x,那么当x时，函数的值域是()A. B.C. D. 26.〔陕西卷7〕函数，是的反函数，假设〔〕，那么的值为〔〕A． B．1 C．4 D．1027.〔陕西卷11〕定义在上的函数满足〔〕，，那么等于〔〕A．2 B．3 C．6 D．928.〔重庆卷4)函数y=的最大值为M,最小值为m,那么的值为〔〕(A) (B) (C) (D)29.〔重庆卷6)假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,那么以下说法一定正确的选项是〔〕(A)f(x)为奇函数 〔B〕f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数 〔D〕f(x)+1为偶函数 30.〔福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),假设f(a)=2,那么f(-a)的值为〔〕 31.〔福建卷12)函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如以下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是〔〕32.〔广东卷7〕设，假设函数，有大于零的极值点，那么〔〕A． B． C． D．33.〔辽宁卷6〕设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，那么点P横坐标的取值范围为〔〕A． B． C． D．34.〔辽宁卷12〕设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，那么满足的所有x之和为〔〕A． B． C． D．填空题：1.〔上海卷4〕假设函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2〔x＞0〕，那么f(4)＝2.〔上海卷8〕设函数f(x)是定义在R上的奇函数，假设当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，那么满足f(x)＞0的x的取值范围是3.〔上海卷11〕方程x2+eq\r(2)x－1＝0的解可视为函数y＝x+eq\r(2)的图像与函数y＝eq\f(1,x)的图像交点的横坐标，假设x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,eq\f(4,xi))〔i＝1,2,…,k〕均在直线y＝x的同侧，那么实数a的取值范围是4.〔全国二14〕设曲线在点处的切线与直线垂直，那么．2BCAyx1O345612342BCAyx1O345612346.〔北京卷13〕函数，对于上的任意，有如下条件：①； ②； ③．其中能使恒成立的条件序号是