工程力学-材料力学-第11章动量定理(彭俊文)

第11章

动量定理11.1动量与冲量

1.动量质点动量是表征质点机械运动强度的一种度量，这个量不但与质点的速度有关，而且也与质点的惯性有关。因此质点的动量可由质点的质量与其速度的乘积来表示，即。动量是矢量，它的方向与质点的速度的方向一致。在计算时，可用其在直角坐标轴上的投影来表示，即（11-1）

质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即

（11-2）

式中的为质点系内的质点数，为质点系内第个质点的质量，为该质点的速度。例11-1三物块用绳相连如图11-1所示，其质量分别为，如绳的质量和变形忽略不计，且。求由此三物块组成的质点系的动量。

图11-1解：三个物体都可视为质点，且它们的速度大小都等于。由（11-2）有

采用其投影式有

其方向为

如质点系中任一质点的矢径为，其速度为，代入（11-2），则有

上式中的只与质点系的质量分布有关。令为质点系的质量，定义

（11-3）

为质点系的质量中心（简称质心）的矢径。

将（11-3）代入前一式，得

(11-4)

其中的为质点系质心C的速度。

式（11-4）表明，质点系的动量等于其质心的速度与其全部质量的乘积。

对于质量分布均匀的规则刚体，质心也就是几何中心，用（11-4）计算刚体的动量是非常方便的。

例11-2在图11-2中，椭圆规机构由均质的曲柄OA，规尺BD及滑块B和D组成。已知规尺长，质量为；两滑块的质量都是；曲柄长，质量为，并以匀角速度绕定轴O转动。求当曲柄OA与水平线OD成角度的瞬时，（1）曲柄OA的动量；（2）整个系统的动量。图11-2

解：（1）曲柄OA的质心在它的中点E，所以它的动量大小为

其方向和E点的速度一致，垂直于OA，如图（b）所示。

（2）整个机构分为曲柄OA，规尺BD，滑块B和D四部分，系统的动量为各部分动量的矢量和。可先求出各部分的动量后，再求矢量和。但是规尺和两个滑块构成的系统的质心在A点，因此可合起来计算，其大小为其方向同A点的速度方向一致，如图(b)所示。再将求得的动量计算矢量和，可知系统的动量大小为方向同A点和E点的速度方向一致。

2.冲量

力对物体作用的运动效应不仅取决于力的大小和方向，而且和该力所作用的时间有关，因此将力在一段时间间隔内的累积效应称为力的冲量。

如果作用力为常力，作用时间为，则力与时间的乘积即为力在时间间隔内的冲量，其表达式为

（11-5）

冲量是矢量，其方向同力的方向相同。如果作用力为变力，在无穷小的时间间隔内，力可以看作是常量，在内的冲量称为元冲量，即

于是在时间间隔内力的冲量为（11-6）

在具体计算时，常采用投影式。冲量在直角坐标轴上的投影为（11-7）

11.2动量定理1.质点的动量定理

设质点的质量为，速度为，作用力的合力为。牛顿第二定律可写为

（11-8）

即质点的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点上的力，这就是微分形式的质点的动量定理。式（11-8）也可写为（11-9）

即质点动量的微分，等于作用与质点上的力的元冲量。将（11-9）积分，积分的上、下限取时间由0到，速度由到得(11-10)

即质点的动量在任一时间内的变化，等于在同一时间内作用在该质点上的力的冲量，这就是积分形式的质点的动量定理。

2.质点系的动量定理设质点系有个质点，第个质点的质量为，速度为；外界物体对该质点作用的力表示为，称为外力，质点系内其它质点对该质点的作用力表示为，称为内力。由质点的动量定理有对于质点系内每一个质点都可写出这样一个方程，将这样的个方程相加，得

上式中的即质点系的动量；为作用于质点系上外力的矢量和（外力系的主矢）；由于质点系内各质点相互作用的内力总是大小相等、方向相反地成对出现，相互抵消，因此内力的矢量和（内力系的主矢）恒等于零，即于是上式简化为（11-11）

即质点系的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点系上所有外力的矢量和(外力的主矢)，这就是微分形式的质点系动量定理。在具体计算时，常采用其投影式。如投影到直角坐标轴上有（11-12）将（11-11）的两边同乘以，并在时间间隔到内积分，可得（11-13）

即质点系的动量在任一时间间隔内的变化，等于在同一时间间隔内作用在该质点系衫所有外力的冲量的矢量和，这就是积分形式的质点系动量定理，又称冲量定理。

将式（11-13）投影在直角坐标轴上有（11-14）

由质点系动量定理可见，质点系的内力不能改变质点系的动量。

质点系的动量定理不包含内力，适于求解质点系内部相互作用复杂或中间过程复杂的问题，如流体在管道中或叶片上的流动、射流对障碍面的压力及碰撞问题等。

例11-3设有一不可压缩的理想流体，即忽略内摩擦力的流体，在变截面管内作定常流动，即流体速度在管内的分布不随时间而变，流体的密度为，体积流量即单位时间内流经管道某截面的流体体积为；求管壁所受的动压力。

解：取管道中AB和CD任意两个截面中间的流体为一质点系（如图11-3），设经过时间，ABCD内的流体流至abcd位置，则动量的变化等于abcd内的流体动量与ABCD内的流体动量之差图11-3

由于流动是定常的，所以公共容积abCD内的流体在前后它的动量保持不变，故流体动量的变化等于CDcd内的流体动量与ABab内的流体动量之差。这两部分流体的质量都等于，因此若以、代表截面AB和CD处的流速，则在时间内动量的变化等于上式两端同除以，有

作用于质点系的外力有重力、管壁动反力和截面AB和CD处所受相邻流体的压力与。根据质点系的动量定理，可得这就是欧拉方程

则管壁动反力

而流体对管壁的动压力与大小相等、方向相反。

管壁动反力可分为两部分。一部分为流体的重力以及截面AB和CD处所受相邻流体的压力所引起的反力，以表示；一部分为流体流动时其动量的变化引起的附加反力，以表示。显然应为对于不可压缩的流体作定常流动时，密度和体积流量均为常量，且有

其中的和分别表示管中任意截面的面积和流速。因此，在已知流速（或流量）及曲管尺寸后，即可求出附加动反力。流体对管壁的附加动压力的大小等于此附加动反力，但方向相反。在应用前面的公式进行具体计算时，应取其投影式。例11-4已知液体在直角弯管ABCD中作稳定流动（如图11-4），流量为，密度为，AB端流入截面的直径为，另一端CD流出截面的直径为。求液体对管壁的附加动压力。

解：取ABCD一段液体为研究对象，设流出、流入的速度大小为和，则

建立图11-4图示坐标系，则附加动反力在、轴上的投影为这是管壁对研究对象的反力中的附加动反力，方向如图；作用在管壁上的附加动压力的大小与它相等，方向相反。例11-5电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为，转子质量为，如图11-5所示。设定子的质心位于转轴的中心，但由于制造误差，转子的质心到的距离为。已知转子匀速转动，角速度为。求基础的支座反力。

图11-5解：取电动机外壳与转子组成质点系，用质点系动量定理可不考虑使转子转动的内力；对质点系进行受力分析如图11-5。机壳不动，质点系的动量就是转子的动量，其大小为

方向如图

设时，铅垂，有。由动量定理微分形式的投影式得将代入上式，解出基础的反力为

电机不转时，基础只有向上的反力，可称为静反力；电机转动时的基础反力可称为动反力。动反力与静反力的差值是由于系统运动而产生的，可称为附加的动反力。此例中，由于转子偏心而引起的和方向的附加动反力都是谐变力，将引起电机和基础的振动。

3.质点系动量守恒定律

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，根据式（11-11）或（11-13），质点系的动量保持不变，即=恒矢量

如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则根据式（11-12）或（11-14），质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。例如则

=恒量

以上结论称为质点系动量守恒定律。

由质点系动量定理可知，只有作用于质点系上的外力才能改变质点系的动量。作用于质点系上的内力虽不能改变整个系统的动量，却能改变质点系内各部分的动量。例如炮弹发射前，将炮筒和炮弹看成一个质点系，此时的质点系动量为零；发射时，弹药爆炸产生的气体压力为内力，它使炮弹获得一个向前的动量，同时也使炮筒获得一同样大小的向后的动量。这就是反座现象。

例11-6平台车质量kg，可沿水平轨道运动。平台车上站有一人，质量kg，车与人以共同速度向右运动。如人相对于平台车以速度m/s向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力及摩擦，问平台车增加的速度为多少？

解：取平台车和人为研究对象，在不计阻力和摩擦情况下，系统水平方向不受外力的作用，因此系统沿水平方向动量守恒。人在跳出平台车前系统的动量在水平方向的投影为设在人跳离平台车后的瞬间，平台车的速度大小为，则平台车和人的动量在水平方向上的投影分别为

根据动量守恒条件，有

解得

所以平台车增加的速度大小为

在应用动量守恒方程时，应注意方程中所用的速度必须是绝对速度；要确定一个正方向，严格按动量投影的正负号去计算。

11.3质心运动定理1.质量中心设有个质点所组成的质点系，其中任一质点的质量为，矢径为，各质点的质量和是整个质点系的质量，由式（11-3）即所确定的几何点称为质点系的质量中心（简称质心）。

在具体计算时，利用上式的投影式，即

（11-15）

质心是质点系中特定的一个点，质点系运动，质心一般也在运动。由式（11-4），即可知，

如果把质点系的质量都集中于质心做为一个质点，那么此质点的动量就等于质点系的动量。若将式（11-15）中各式等号右边的分子与分母同乘以重力加速度g，就变成重心的坐标公式。可见，在均匀重力场内，质点系的质心与重心重合。但是应当注意，质心和重心是两个完全不同的概念。重心是质点系各质点所受的重力组成的平行力系的中心，物体离开重力场，重心失去意义；质心是表征质点系质量分布情况的一个几何点，与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在。对于由几个形状简单的刚体组成的质点系，可把每个刚体看成一个质点，质量位于其质心处，利用式（11-15）计算整个质点系质心的位置。

解：设时OA杆水平，则有。将系统看成是由3个质点组成，分别位于OA杆的中点，AB杆的中点和B点。由式（11-15），系统质心的坐标为例11-7图11-6的曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，滑块B沿轴滑动。若OA=AB=，OA及AB都为均质杆，质量都为，滑块B的质量为。试求此系统的质心运动方程、轨迹及此系统的动量。图11-6上式即系统质心C的运动方程。由上二式消去时间，得即质心C的运动轨迹为一椭圆，如图中虚线所示。应该指出，系统的质心一般不在某一物体上，而是空间的某一特定点。为求系统的动量，利用式（11-4）的投影式有系统的动量大小为

方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。此题也可逐个计算每个刚体的动量，然后在求其矢量和。2.质心运动定理

将式（11-4）两端对时间求一阶导数，并根据质点系的动量定理，则得（11-16）

上式表明：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和（外力系的主矢），这就是质心运动定理。

在形式上，质心运动定理和牛顿第二定律完全相同。可见，质点系质心这个几何点的运动犹如一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，而作用于其上的力等于作用在整个质点系上所有外力的矢量和。

在具体计算时，采用投影式，如质心运动定理在直角坐标轴和自然轴上的投影分别为（11-17）

（11-18）

质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，在理论上也有重要意义。运动学中指出平动刚体可抽象为一个点来研究，现在定理告诉我们这个点应是质心。当质点系尤其是刚体作一般运动时，其运动总可分解为随质心的平动和相对于质心的转动，应用质心运动定理如能求出质心的运动，也就确定了质点系或刚体的随质心的平动。质心运动定理对那些质心运动已知的质点系特别有用，因为定理中不包括内力，可直接去求作用于质点系上的未知外力；反之，若已知外力，则可求质心的运动规律

解：取OA杆为分析对象，作用于OA上的外力有O轴处的约束反力、和重力。OA杆均质，质心位于杆的中点C。C点具有切向加速度和法向加速度。大小分别为，。由质心运动定理在、轴上的投影式有例11-8重为、长为的均质杆OA绕定轴O转动，设在图示瞬时的角速度为，角加速度为，求此时轴O对杆的约束反力。图11-7解得：例11-9用质心运动定理求解例11-5。解：取电动机外壳与转子组成的质点系，其受力图如图11-5。在选定的坐标系下，定子的质心的坐标为，；转子的质心的坐标为，，由式（11-15）可知质点系的质心C的坐标为由，并将上两式对时间求二阶导数，可得质心C的加速度在坐标轴上的投影为

由质心运动定理，有解得3.质心运动守恒定律

由质心运动定理可知，若质点系不受外力作用，或作用于质点系的所有外力的主矢恒等于零，即，则=常矢量，这表明质心处于静止或作匀速直线运动。

如果所有作用于质点系的外力在轴上投影的代数和恒等于零，即，则=常量，这表明质心的横坐标不变或质心沿轴的运动是均匀的。以上结论，称为质心运动守恒定律。

对质点系在内力作用下求位移的问题，应用质心守恒条件求解很方便。例11-10图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。A的质量为B的质量