空间直线与平面的几种解题方法

平面的根本性质总的来说，平面的根本性质包括三条公理和三条推论，如下：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。公理3经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面〔简称：不共线的三点确定一个面〕。推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线有且只有一个平面。2.斜二测画法用斜二测画法作空间几何体直观图的一般步骤：〔1〕画轴。画x、y、z三轴交原点O，使xOy＝45°xOz＝90°；〔2〕画底面。在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点；〔3〕画侧棱或横截面侧边.，使其平行于z轴；〔4〕成图。连接相应端点，去掉辅助线，将被遮挡局部改为虚线等。空间：一、线线〔相交、平行、异面〕二、线面线面平行：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平行。性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么它和交线平行。线面垂直：平面外一条直线和平面中的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直；推论：如果一条直线和一个平面a垂直，那么这条直线和所有与平面α平行的平面垂直；如果一条直线l和一个平面垂直，那么所有与直线l平行的直线都和这个平面垂直。三、面面面面平行①如果一平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两平面是平行的。②垂直于同一直线的两平面平行；③平行于同一平面的两平面平行。性质①两平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面平行②两个平行平面和第三个平面相交，那么交线平行；③一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面。三者之间的转化为解题的根本步骤：线线平行→线面平行→面面平行。线面平行：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行。如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。假设PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO面面垂直①两个平面所成的二面角是直二面角，那么两个平面垂直.②如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.性质:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.线面垂直：见例题解题关键：面面垂直与线面垂直的转化线面垂直转化为线线垂直线线垂直转化为线面垂直二面角的求法A：定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；B：垂线法：利用面的垂线〔垂线的夹角等于二面角或二面角的补角〕C：垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，那么与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。D：面积射影法：如图5，△ABC在半平面内,△ABC在平面内的射影为△A1B1C1那么二面角的大小.E：三垂线法：如图1，C是二面角的面内的一个点，于O，只需作OD⊥AB于D，连接CD，用三垂线定理可证明∠CDO就是所求二面角的平面角。F：平行线法：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。空间中的角主要包括两条异面直线所成的角〔平移直线〕、直线与平面所成的角〔做垂线解三角形〕和二面角等。图1P图5lCBA图4B1AA1BlEF如图6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿对角线BD将折起,使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O,且O在DC上.〔1〕求证:PD⊥PC；〔2〕求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；

如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.DAM图6ECBC1A1B1HG异面直线夹角的求法平移法转化为平面角点面距离1.体积法如图〔1〕四边形ABCD是梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝1/2，求点A到平面SDC的距离。2.转化法〔转化为过这个点的面的平行线上的任一个点到面的距离〕如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且,求点D到平面ACE的距离.异面直线的距离①直接法：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大；②转化法：线线距→线面距;线线距→线面距→点面距;线线距→面面距③转