中考数学专题复习 第二十二讲 与圆有关的位置关系

第二十二讲与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔____;点P在圆上⇔____;点P在圆内⇔____.d>rd=rd<r2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定_____圆.3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___________的交点.一个垂直平分线二、直线与圆的位置关系1.三种位置关系:_____、_____、_____.2.切线的定义、性质与判定:(1)定义:和圆有_____公共点的直线.(2)性质:圆的切线_______过切点的直径.(3)判定:经过半径的外端,并且_____于这条半径的直线是圆的切线.相交相切相离唯一垂直于垂直3.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_____,这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角.相等平分三、三角形的内切圆1.定义:与三角形各边都_____的圆.2.三角形的内心:三角形_______的圆心,是三角形三条_________的交点.相切内切圆角平分线【自我诊断】(打“√”或“×”)1.当一个点到圆心的距离等于半径时,这个点一定在圆上,反之圆上的点到圆心的距离一定等于半径.()2.当直线与圆有唯一公共点时,圆心到这条直线的距离等于半径.()√√3.在Rt△ABC中,∠A=30°,直角边AC=6cm,以C为圆心,3cm为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是相交.()4.垂直于切线的直线必经过切点.()××5.从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等.()6.任意三角形都有唯一一个外接圆和一个内切圆.()√√考点一直线与圆位置关系的判断【示范题1】(2017·枣庄中考)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()【思路点拨】利用勾股定理求出各格点到点A的距离,结合点与圆的位置关系,即可得出结论.【自主解答】选B.给各点标上字母,如图所示.时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.【答题关键指导】判断直线与圆位置关系的两种方法1.用直线与圆交点的个数来判断.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.【变式训练】(2017·百色中考)以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与☉O相交,则b的取值范围是()A.0≤b<2 B.-2≤b≤2C.-2<b<2 D.-2<b<2

【解析】选D.当直线y=-x+b与圆相切,且函数经过第一、二、四象限时,如图,在y=-x+b中,令x=0时,y=b,则与y轴的交点是(0,b),当y=0时,x=b,则A的交点是(b,0),则OA=OB,即△OAB是等腰直角三角形.连接圆心O和切点C.则OC=2.则OB=OC=2,即b=2;同理,当直线y=-x+b与圆相切,且函数经过第二、三、四象限时,b=-2.则若直线y=-x+b与☉O相交,则b的取值范围是-2<b<2.考点二切线的性质与判定

【考情分析】切线的性质与判定是中考命题的热点,两者单独考查或者综合考查,常常结合直角三角形、勾股定理、相似三角形等进行命题,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.命题角度1:切线的性质【示范题2】(2017·东营中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交☉O于点F.(1)求证:DE⊥AC.(2)若DE+EA=8,☉O的半径为10,求AF的长度.【思路点拨】(1)欲证明DE⊥AC,只需推知OD∥AC即可.(2)过点O作OH⊥AF于点H,构建矩形ODEH,设AH=x.则由矩形的性质推知:AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知:x2+(x-2)2=102,通过解方程得到AH的长度,结合OH⊥AF,得到AF=2AH=2×8=16.【自主解答】(1)∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切线,OD是半径,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.设AH=x.∵DE+EA=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2,即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).∴AH=8.∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.命题角度2:切线的判定【示范题3】(2017·德州中考)如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的☉O交AB于点E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.【思路点拨】(1)连接OE,CE.利用圆周角定理及等腰三角形的性质证明∠OED=90°,证得答案.(2)先证明△BEC∽△BCA,再利用相似三角形的性质证明.【自主解答】(1)如图所示,连接OE,CE.∵AC是☉O的直径,∴∠AEC=∠BEC=90°.∵D是BC的中点,∴ED=BC=DC.∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.∵∠ACD=90°,∴∠OED=90°,即OE⊥DE.又∵E是☉O上一点,∴DE是☉O的切线.(2)由(1)知∠BEC=90°.在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角,∴△BEC∽△BCA.∴即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x.又∵BC=6,∴62=2x·3x.∴x=,即AE=.命题角度3:切线的性质和判定的综合应用【示范题4】(2017·济宁中考)如图,已知☉O的直径AB=10,弦AC=8,D是的中点,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)求AE的长.【思路点拨】(1)连接OD,由D为弧BC的中点,得到两条弧相等,进而得到两个同位角相等,确定出OD与AE平行,利用两直线平行同旁内角互补得到OD与OE垂直,即可得证.(2)过O作OF垂直于AC,利用垂径定理得到F为AC中点,再由四边形OFED为矩形,求出FE的长,由AF+EF求出AE的长即可.【自主解答】(1)连接OD,∵D为的中点,∴∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切线.(2)过点O作OF⊥AC于点F,∵AC=8,∴AF=CF=AC=×8=4,∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四边形OFED是矩形,∴FE=OD=AB.∵AB=10,∴FE=5,∴AE=AF+FE=4+5=9.命题角度4:切线长定理【示范题5】(2015·新疆中考)一个圆球放置在V形架中如图(1),图(2)是它的平面示意图,CA与CB都是☉O的切线,切点分别是A,B,如果☉O的半径为2cm且AB=6cm,求∠ACB的度数.【思路点拨】连接OC交AB于点D,利用切线长定理,等腰三角形的性质求得线段BD的长度,解直角△BOD,得到∠BOC的度数,再利用切线的性质求出∠ACB的度数.【自主解答】连接OC交AB于点D,∵CA与CB都是☉O的切线,切点分别是A,B,∴OB⊥BC,且OC垂直平分AB,∴DB=AB=3cm,∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°,∴∠BCO=30°,∴∠ACB=2∠BCO=60°.【答题关键指导】1.若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有切点,连半径,证垂直.2.若未知直线与圆的交点,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无切点,作垂线,证相等.【变式训练】1.(2017·连云港中考)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为________.【解析】连接OB,设☉O的半径长为r,∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°;在Rt△ABO中,OB2+AB2=OA2,∴r2+122=(r+8)2,解得r=5.

答案:52.(2017·怀化中考)如图,已知BC是☉O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD.(1)求证:△ACD∽△BAD.(2)求证:AD是☉O的切线.【证明】(1)∵AB=AD,∴∠B=∠D,∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B,∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.(2)连接OA,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠CAD,∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,∴OA⊥AD,∴AD是☉O的切线.考点三三角形的外接圆或内切圆【示范题6】(2017·武汉中考)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为()

【自主解答】选C.如图,AB=7,BC=5,AC=8,设内切圆的半径长为r,切点为G,E,F,作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理可知:AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=4,∵BC·AD=(AB+BC+AC)·r,∴【答题关键指导】三角形外心的性质(1)三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2)三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.【变式训练】1.(2017·广州中考)如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的()A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点【解析】选B.内心到三角形三边距离相等,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.2.(2017·眉山中考)如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为()A.114° B.122° C.123° D.132°【解析】选C.因为点I是内心,所以∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,因此∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180