高二数学演绎推理课件

2.1.2演绎推理学习目标：了解演绎推理的含义

掌握演绎推理的“三段论”形式合情推理归纳推理：由个别到一般，或由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊一般过程：从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想

观察与思考1.所有的金属都能导电,因为铜是金属,所以铜能导电.2.一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,因为y=tanx是三角函数,所以y=tanx是周期函数.这些推理是合情推理吗？1．演绎推理从

的原理出发，推出

情况下的结论的推理形式．它的特点是：由

的推理．它的特征是：当

都正确时，

必然正确．一般性某个特殊一般到特殊前提和推理形式结论2．三段论推理在推理中：“若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c”，这种推理规则叫三段论推理,是演绎推理的一般模式.它包括：(1) ——已知的一般性原理．（M是P)(2) ——所研究的特殊情况．(S是M)(3) ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(S是P)大前提小前提结论MSP若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。3.用集合的观点来理解:三段论推理的依据4.数学中的证明主要是通过_________来进行的演绎推理1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.因为铜是金属,2.一切奇数都不能被2整除,所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,3.三角函数都是周期函数,所以y=tanx是周期函数.因为y=tanx是三角函数,大前提小前提结论大前提小前提结论大前提小前提结论指出下列推理的大前提、小前提和结论。(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,例.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等..ADECMB在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900,所以△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形.M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.大前提小前提结论大前提小前提结论证明:注意：（1）书写时，若大前提是很明显的，可以省略（2）大前提一般都是定理、公理、性质等，而演绎推理常用在函数、立体几何、数列等问题中练习：1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数;(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.演绎推理的结论一定正确吗？[分析]即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能在题目中给出，也可能是已经学过的知识．[解析]

(1)每个菱形的对角线相互垂直 大前提正方形是菱形 小前提正方形的对角线相互垂直 结论(2)两个角是对顶角则两角相等 大前提∠1和∠2不相等 小前提∠1和∠2不是对顶角 结论四、合情推理与演绎推理的区别区别推理形式推理结论联系合情推理归纳推理类比推理由部分到整体、个别到一般的推理。由特殊到特殊的推理。结论不一定正确，有待进一步证明。演绎推理由一般到特殊的推理。在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。[例1]下列说法正确的个数是 (

)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关A．1

B．2

C．3

D．4[答案]

C[解析]

由演绎推理的概念可知说法①③④正确，②不正确，故应选C.下列几种推理过程是演绎推理的是 (

)A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质[答案]

A[解析]

C是类比推理，B与D均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B、C、D都不是演绎推理．而A是由一般到特殊的推理形式，故A是演绎推理.把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；[解析]

(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.[例3]指出下面推理中的错误．(1)因为自然数是整数， 大前提而－6是整数， 小前提所以－6是自然数． 结论(2)因为中国的大学分布于中国各地， 大前提而北京大学是中国的大学， 小前提所以北京大学分布于中国各地． 结论[分析]要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正确，只有当上面3条都正确时，结论才正确．[解析]

(1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误的．(2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学．下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以，四边形的内角和等于360°.(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：因为a＝csinA，b＝ccosA，所以a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A＋cos2A)＝c2.(4)设a＝b(a≠0，b≠0)．等式两边乘以a，得a2＝ab，两边减去b2，得a2－b2＝ab－b2，两边分解因式，得(a＋b)(a－b)＝b(a－b)，两边除以(a－b)，得a＋b＝b，以b代a，得2b＝b，两边除以b，得2＝1.[解析]

上述四个推理过程都是错误的．(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．因此原题的真实性仍无法断定．(3)本题的论题就是人们熟知的勾股定理．上述证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误．(4)所得结果显然是错误的，错误的原因在于以(a－b)除等式两边．因为a＝b，而a－b＝0，用0除等式两边，这是错误的.[例4]在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)．求证：ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．[分析]原题可用符号表示为(AB＝CD)且(BC＝AD)⇒▱ABCD.用演绎推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在假设前提(AB＝CD)且(BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论▱ABCD为真．[证明]

(1)连结AC(2)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．大前提如果△ABC和△CDA的三边对应相等小前提则这两个三角形全等．结论符号表示：(AB＝CD)且(BC＝DA)且(CA＝AC)⇒△ABC≌△CDA.(3)由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．大前提如果△ABC和△CDA全等，小前提则它们的对应角相等．结论用符号表示，就是△ABC≌△CAD⇒(∠1＝∠2)且(∠3＝∠4)且(∠B＝∠D)．(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(平行线判定定理)大前提直线AB，DC被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4小前提(已证)AB∥DC，BC∥AD.(AB∥DC)且(BC∥AD)结论(同理)(5)如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(平行四边形定义)大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提四边形ABCD为平行四边形结论符号表示为：AB∥DC且AD∥BC⇒ABCD为平行四边形．[点评]像上面这样详细地分析一个证明的步骤，对于养成严谨的推理习惯，发展抽象思维能力，是有一定积极作用的．但书写起来非常繁琐，一般可以从实际出发，省略大前提或小前提，采用简略的符号化写法．比如，本例的证明，通常可以这样给出：用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.[证明]

因为任意三角形三内角之和是180°大前提而直角三角形是三角形 小前提所以直角三角形三内角之和是180° 结论设直角三角形两个内角分别为A、B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°因为等量减等量差相等 大前提(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90° 小前提所以∠A＋∠B＝90° 结论[例5]

(2010·安徽理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．大前提小前提结论练习证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD.

指出上面证明过程中的错误.例：如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.CBAD答：小前提错，本题省略了大前提“在一个三角形中，大边对大角”，而