第四章 能量方程

一维恒定总流的能量方程一、恒定元流的能量方程1.推导过程u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2取恒定元流上的1-1和2-2两断面间的流段进行分析：经过dt后,该段运动到1'-1'和2'-2'⑴动能定理：运动物体在某一时段内，动能的增量，等于作用在这个物体上全部外力所做的功之和。dV1-1'=dV2-2'=dV。则重量=

dV，dm=

dV/g设1-1'段流速为u1，2-2'段为u2，则动能的增量为：2)12段上所有外力作功的总和液体所受的外力有：重力、边界周围的液体压力和液体在流动过程中所受的摩擦阻力。1)1-1和2-2流段间的动能增量u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2液体不可压缩，⑵a.重力作功W1=

dV（z1-z2）若z1>z2则重力作正功；若z1<z2则重力作负功。b.压力作功断面1-1上的总压力为P1=p1dA1，移动距离为ds1，作正功，为p1dA1ds1断面2-2上的总压力为P2=p2dA2，移动距离为ds2，作负功，为-p2dA2ds2压力作功为：W2=p1dA1ds1-p2dA2ds2W2=p1dV

-p2dV=（p1-p2）dVdA1ds1=dA2ds2=dVu1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2c.摩擦阻力作功W3=-

dV

hw'

摩擦阻力对流体总是作负功，用-hw'表示摩擦阻力对单位重量液体所作的功，则：所有外力作功之和为：

W=W1+W2+W3

W=dV(z1-z2)+(p1-p2)dV-

dV

hw'

………③将②式、③式代入①式，得：除以整理得：………④不可压缩液体恒定元流的能量方程，又称伯诺力方程。反映了恒定流中沿流各点的位置高度z、压强p和流速u之间的变化规律。2.能量方程的物理意义和几何意义1)物理意义伯诺力方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不同的能量形式：z为单位重量液体的位置势能（位能）。u2/2g为单位重量液体的动能。p/

为单位重量液体的压能（压强势能）z+p/=该质点所具有的势能hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2过程中由于克服流动的阻力作功而消耗的机械能。这部分机械能转化为热能而损失，因此称为水头损失。单位重量机械能既转化又守恒的关系。2)几何意义恒定元流伯诺力方程的各项表示了某种高度，具有长度的量纲：z为元流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头，其量纲[z]=[L]p/

：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度，其量纲为[p/]=[MLT-2/L2]/［MLT-2/L3］=[L]z+p/+u2/2g=总机械能u2/2g：流速水头。即液体以速度u垂直向上喷射到空气中时所能达到的高度，量纲为[u2/2g]=[L/T]2/［L/T2］=[L]在水力学上称z+p/

为测压管水头;z+p/+u2/2g为总水头。二、恒定总流的能量方程单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式为：测管水头线z1ziz2总水头线由于dQ=u1dA1=u2dA2

得到总流两过水断面的总能量之间的关系为：可分别写成：---------------------------⑤上式包含三种类型的积分1、第一类积分为它是单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。为了确定这个积分需要知道总流过水断面上的平均势能或者找出总流过水断面上各点的分布规律，而这一分布规律与该断面上的流动状况有关。液体的流动可分为渐变流与急变流两类。渐变流（又称缓变流）是指诸流线接近于平行直线的流动。这就是说，各流线的曲率很小(即曲率半径很大)，而且流线间的夹角也很小。否则，就称为急变流。渐变流与急变流没有明确的界限、往往由工程需要的精度来决定。另外，渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流。渐变流过水断面具有下面两个性质：(1)渐变流过水断面近似为平面；(2)恒定渐变流过水断面上，动水压强的分布与静水压强的分布规律相同。现证明如下：在过水断面上、任意两相邻流线间取微小柱体，长为，底面积为。(如图示)。分析该柱体所受轴线方向的作用力：上下底面的压强:柱体自重沿轴线方向的投影

，其中：为重力与轴线的夹角；侧面上的动水压强以及侧面上的摩擦力趋于零；两底面上的摩擦力因与柱轴垂直故在轴线方向投影为零；在恒定渐变流条件下惯性力可略去不计。根据达朗伯原理，沿轴线方向的各作用力与惯性力之代数和等于零，注意到代入化简为积分得上式说明了恒定渐变流中同一过水断而上的动水压强按静压规律分布，但是对于不同的过水断面，上式中的常数一般是不同的。若所取过水断面处于均匀流和渐变流中，则断面动水压强符合静水压强分布规律。即：为常数有---------------------------⑥2、实际动能式中----------------⑦3、---------------------------⑧（动能修正系数）将⑥⑦⑧代入⑤。并注意到Q1=Q2=Q

再两边除以rQ,则三、能量（伯诺力）方程的几何表示——水头线总流伯诺力方程的量纲：显然其量纲：[z]=[L]Z：总流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头，其量纲[z]=[L]p/

：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度，其量纲为u2/2g：流速水头。量纲为显然：hw也具有长度的量纲z+p/

称为测压管水头，以Hp表示；z+p/+u2/2g称为总水头，以H表示。总水头与测压管水头之差等于流速水头。若总水头线是倾斜直线，则：若总水头线是曲线，水力坡度是变值，则：zipi/

测管水头线

iv2/2g总水头线hw1-i若流速不变，测管水头线与总水头线平行；流速沿程增大，总水头线与测管水头线之间的垂直距离沿程增大；流速变小，则垂直距离缩短。四、能量（伯诺力）方程的应用条件1.流体必须是恒定流，并且为不可压缩液体；2.作用于流体上的质量力只有重力，流体流动边界是静止的，除了流动损失的能量以外，在两个断面之间没有能量输入或输出；3.计算断面应为渐变流断面或均匀流断面；4.能量方程在推导过程中假定流量沿程不变。实际对于有流量分出或汇入的情况仍适用；若有能量输入或输出：5.必须选取一个基准面，为了方便，一般z0；6.方程两边的压强必须一致（取相对压强）。112233Q1Q3Q2Q1H11cc00d2A渐变流断面v0vc水箱的来流断面和收缩断面是渐变流断面渐变流断面上动水压强分布规律：水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不服从静水压强分布规律孔口出流收缩断面，其上流线近似平行，各点均与大气接触，压强约为大气压强。固体边界约束的渐变流过水断面，动水压强符合静水压强分布规律.11管道出口断面1-1是渐变流断面管道或明渠突然扩散和突然缩小附近为急变流突然缩小突然扩大ngaR水流流过凹曲面（立面转弯）

HaγH

λγHv21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线11s22334455ipi/γv0hwiH0

总水头线测压管水头线v022gH

uB=0，pB为最大值，点B称为驻点，此时，液流的动能全部变成压能。例1：无固体边界约束。图示为一跌水。已知a=4.0米，h=0.5米，V1=1.0米/秒，求水股2-2断面处的流速V2。ahV11122v2解：①选取基准面0-000②选计算断面1-1、2-2③计算点，即已知数最多的点，该点可代表断面其他点。总流的能量方程为：其中：z1=a+h，z2=0，p1=p2=0hw1-2=0，取

1=2=1.0代入：（米/秒）例2：①文丘里流量计：z1z21122d1d2hmhp1/

p2/

bQv由连续原理，恒定流中断面平均流速与过水断面面积成反比。喉道处断面缩小，流速增加，动能增加，而总势能只能减小，其减小值等于测压管水头差h，令：

1=2=1.0，有即：…………①测得：………②由连续性方程知：则单位动能增值为：……③z1z21122d1d2hmhp1/

p2/

bQv将②、③代入①得：则：其中为文丘里系数例3试证明图中所示的具有底坎的矩形断面渠道中的三种水流是否有可能发生．证：（a）以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程：整理得：假设这种水流可以发生必须＞与实际情况矛盾，故这种水流不可以发生。也可以比较两个断面上的总机械能的变化来判断（总机械能不可能增加）。（b）以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程：因为＞势能沿程减少又＜动能沿程增加只要总机械能沿流程减少．也就是说势能的减少能补偿动能的增加与水头损失之和，这种水流就有可能发生．总流伯努力方程应用的补充

总流伯努力方程是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩的，

但是对流速不很大，压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动的过程中密度变化很小，伯努力方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不