第13章-能量原理

§13-1可能内力与可能位移§13-2应变能与余能应变能§13-3势能驻值原理§13-4势能原理与位移法§13-5势能原理与矩阵位移法§13-6势能驻值原理§13-7余能原理与方法§13-8分区混合能量驻值原理§13-9卡氏定理和克罗蒂-恩格塞定理§13-10势能和余能偏导数定理§13-11分区混合能量偏导数定理§13-12小结第13章能量原理§13-1可能内力与可能位移静力可能内力：平衡内力几何可能位移：协调位移两套右手坐标系(如图)：整体坐标〔x，y〕—建立结点联结条件和边界条件时采用；局部坐标〔s，n〕—建立杆件微分方程时采用，s轴为杆件的轴线。1.静力方程各杆的平衡微分方程杆端的静力边界条件结点的静力联结条件〔1〕杆件的平衡微分方程：采用局部坐标分析杆件微段ds的平衡可得：FN、FQ、M为截面的轴力、剪力、弯矩；p、q、m为轴向、横向、力偶荷载的集度。〔2〕杆端的静力边界条件：采用整体坐标杆件结构中：杆端的静力边界条件为（在沿x方向为自由的杆端处）（在沿y方向为自由的杆端处）（在沿θ方向为自由的杆端处）FPx、FPy、FPθ分别为在杆端给定的集中荷载分量。〔3〕结点的静力联结条件刚结点J处有杆件①、②相交，结点J的静力联结条件为：刚结点J处静力可能内力：满足全部静力条件的内力。可能内力与真实内力的关系为：静定结构：静力条件的解是唯一的，静力可能内力只有一种，可能内力就是真实内力。超静定结构：静力条件的解不是唯一的，静力可能内力有无穷多种，只有其中一种是真实内力。静力可能内力表达为：3.静力可能应变：应用物理条件由静力可能内力导出的应变。4.几何方程：杆件的广义应变：ε—轴线应变γ—截面平均切应变κ—曲率〔1〕杆件的应变位移关系：采用局部坐标，分析微段ds的变形忽略切应变，γ=0，则〔2〕杆端的位移边界条件：采用整体坐标系。（在沿x方向有支承的杆端处）（在沿y方向有支承的杆端处）（在沿θ方向有支承的杆端处）〔3〕结点的位移联结条件(如图)刚结点J处uxJ、uyJ、θJ为结点J处各杆端的公共位移—结点位移几何可能位移：结构中能满足全部位移边界条件和位移联结条件的位移。超静定结构：多余约束截断处的位移要连续和协调，即：——超静定结构可能位移存在的条件即变形协调条件静定结构：没有多余约束，对任意给定的应变，满足位移边界(联结)条件的可能位移总是存在的。6.几何可能应变：对存在的几何可能位移进行微分而导出的应变。结构的可能位移可表达为Δi是位移法的根本未知量，结构的可能位移有无穷多种；真实的位移是其中之一，由位移法典型方程解出的。1.弹性杆件的物理方程：线弹性情况刚度形式柔度形式2.杆件的应变能密度vε：杆件单位杆长的应变能。拉伸应变能密度剪切应变能密度弯曲应变能密度将(a)代入得§13-2应变能与应变余能3.杆件结构的应变能：杆件e的应变能为：杆件结构的应变能为：用位移表示为：对薄杆，可忽略剪切变形：4.杆件的应变余能密度vc：杆件单位杆长的应变余能。拉伸应变余能密度剪切应变余能密度弯曲应变余能密度图(a)、(b)为FN与ε的关系曲线，vεn表示曲线与横坐标轴之间的面积，vCn表示曲线与纵坐标轴之间的面积。即对FNε来说，vεn和vCn互为余数。将(b)代入得5.杆件结构的应变余能VC杆件e的应变余能杆件结构的应变余能VC对于线弹性情况将(b)式代入得：6.具有初应变时的情况设杆件具有初应变：ε0、γ0、κ0内力引起的应变：ε、γ、κ初应变对应变能没影响，对应变余能密度和应变余能的影响为：总应变为线弹性情况7.用能量密度偏导数表示的物理方程〔1〕刚度形式的物理方程：用vε的偏导数表示有〔2〕柔度形式的物理方程：用vC的偏导数表示有将(c)式代入即得线性物理方程将(d)式代入即得线性物理方程如有初应变将(e)式代入即得线性物理方程8.vε与vC的区别，Vε与VC的区别没有初应变、材料为线弹性：vε与vC在数值上相等。〔1〕有初应变时，vε与vC在数值上不相等；〔2〕材料为非线弹性时，vε与vC在数值上不相等；〔3〕vε是应变的函数，vC是内力的函数；〔4〕应变能Vε由结构应变分布函数确定，在位移法、势能法中应用；应变余能VC由结构内力分布函数确定，在力法、余能法中应用。例13-1图(a)为一线弹性对称横桁架。考虑对称变形：结点B只有竖向位移，没有水平位移。试求各杆的应变及桁架的应变能。解〔1〕杆AiB的应变，如图(b)。设：AiB的杆长为li，截面面积为Ai得AiB杆的伸长量AiB杆的轴向应变〔2〕桁架的应变能AiB杆的应变能为桁架的应变能为例13-2一线弹性等截面薄梁AB，梁两端发生的位移如图。试求梁的曲率κ和弯曲应变能Vε。解〔1〕梁的挠曲线和曲率梁挠曲线微分方程为：解为由位移边界条件确定待定常数求得挠曲线方程为式中〔2〕梁的弯曲应变能梁的曲率为：即得注意：Vε是杆端位移的二次函数，叠加原理不成立。例13-3如图线性弹性悬臂梁AB在自由端作用荷载，其初始曲率为κ0。试求梁的应变与能VC。解：任一截面x处的弯矩为应变余能(只考虑弯曲应变余能)求得势能驻值原理与位移法对应；余能驻值原理与力法对应。弹性结构小位移的平衡问题：能量的驻值是极小值。1.结构的势能EPVε—结构在可能位移状态下的应变能。对于刚架，只考虑弯曲应变能，用挠度v表示为：VP—结构的荷载势能：FP在其广义位移D上所作虚功总和的负值。结构的势能用位移表示为§13-3势能驻值原理2.势能驻值原理：用以下图式表示在位移为可能位移的前提下相应的内力为可能内力相应的势能为驻值假设结构的位移满足几何条件，其相应的内力又满足静力条件，那么此位移就是结构的真实位移。势能原理又可表述为：在所有可能位移中，真实位移使势能为驻值；反之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。3.基于势能原理的解法：以能量形式表示的位移法。〔1〕考虑几何条件：确定结构各种几何可能位移状态，含待定的位移参数Δi—位移法的根本未知量；〔2〕考虑物理条件：求出在可能位移状态下结构的势能EP；〔3〕应用势能驻值条件：求出根本位移参数Δi，以能量形式表示的静力方程—位移法的根本方程。例13-4试用势能原理解图示桁架的位移和内力。设材料为线性弹性，各杆截面A相同。解〔1〕确定几何可能位移：结构对称变形结点D的竖向位移Δ—根本位移参数各杆的伸长量和应变可求得：〔2〕结构的势能势能〔3〕势能驻值条件〔4〕求内力例13-5试用势能原理求图示刚架的位移和内力。解：忽略横梁的轴向变形，柱顶的水平位移Δ为根本未知量。柱端剪力为柱的应变能为刚架的应变能是各柱应变能的和刚架的势能为势能驻值条件求得1.位移法计算步骤的回忆（1）Δi为基本未知量，位移法基本体系的各杆挠度为：（2）引入物理条件，由位移导出相应内力，各杆弯矩为：（3）引入平衡条件，建立位移法基本方程：写成矩阵形式刚度系数自由项§13-4势能原理与位移法令图(b)中的力系在图(a)中的变形上作功，得同理，可导出k21、k11、k22。应用功的互等定理，图(c)的力系在图的变形上作的功等于图(a)的力系在图(c)

的变形上作的功，得：同理，可导出其他自由项。2.由势能原理推导位移法根本方程〔1〕求应变能Vε〔2〕求荷载势能VP〔3〕应用势能驻值条件得即由例13-6试用势能原理求图(a)所示连续梁的内力，设EI=常数。解：根本未知量为Δ1。〔1〕求应变能Vε，如图(b)。〔2〕求荷载势能VP，图(b)中由Δ1=1引起沿FP的挠度为：即〔3〕应用势能驻值条件由得求内力略3.最小势能原理：在所有可能位移中，真实位移使势能为极小值；反之，使势能为极小值的可能位移就是真实位移。数学表示式为是位移法基本未知量的真实解，是的任一非零增量。注意：本节结论只适用于弹性结构小位移平衡问题。即〔1〕荷载势能VP是位移参数Δi的一次式；〔2〕势能驻值条件是关于Δi的非齐次线性方程组，有唯一解；〔3〕满足势能驻值条件的解使势能为极小值。1.由应变能导出刚度矩阵：讨论杆件单元e。单元杆端位移向量为单元的应变能为单元杆端力向量为应用卡氏第一定理得即单元刚度方程单元刚度阵§13-5势能原理与矩阵位移法〔1〕局部坐标系中的单元应变能和单元刚度矩阵单元端点位移向量为由杆端位移引起的杆内任一点位移为N1、N2、N3、N4为形状函数〔见教材式(13-52)〕。单元的应变能写成矩阵形式〔2〕整体坐标系中的单元应变能和单元刚度矩阵局部和整体坐标系下杆端位移向量的关系应变能为标量可得〔3〕整体结构的应变能Vε和整体刚度矩阵K即得2.由荷载势能导出等效结点荷载向量等效定义：荷载势能与等效结点荷载势能彼此相等。即：实际荷载→荷载势能→等效结点荷载（1）局部坐标系中的单元荷载势能和单元等效结点荷载一般薄杆单元，轴向、横向和力偶荷载集度为p、q、m。那么：将位移表达式代入得（2）整体坐标系中的单元荷载势能和单元等效结点荷载荷载势能是标量因可得即（3）整体结构的荷载势能和整体结构的等效结点荷载单元荷载贡献向量：按单元定位向量重新排列与Δ同阶。可写为即余能驻值原理〔余能原理〕中，荷载和支座位移是给定量。1.超静定结构的余能ECVC是超静定结构在可能内力状态下的应变余能：VCd是结构的支座位移余能：§13-6余能驻值原理2.余能驻值原理：可图示为在内力为可能内力的前提下相应的应变为几何可能应变相应的余能为驻值假设超静定结构的内力满足静力条件，其相应的应变又满足变形协调条件，那么此内力就是结构的真实内力。余能驻值原理又可表述为：在所有可能内力中，真实内力使余能为驻值；反之，使余能为驻值的可能内力就是真实内力。3.基于余能原理的解法—余能法〔1〕考虑静力条件：确定超静定结构各种静力可能内力状态，含待定的内力参数Xi—力法的根本未知量；〔2〕考虑物理条件：求出在可能内力状态下超静定结构的余能EC；〔3〕应用余能驻值条件：求出根本内力参数Xi，以能量形式表示的几何条件—力法的根本方程。例13-7试用余能驻值原理解图(a)所示超静定体系，设材料为线性弹性，各杆截面A相同。并与例13-4比较。解〔1〕确定静定可能内力如图(b)〔2〕求超静定结构的余能，VCd=0那么（3）应用余能驻值条件〔4〕求内力得例13-8图(a)所示一等截面梁AB，材料为线性弹性。试用余能原理求此梁由于温度变化和支座位移而产生的内力。解〔1〕确定静力可能内力，由图(b)、(c)得（2）求结构余能EC，α为材料线胀系数，h为梁截面高度，初始曲率为：（3）应用余能驻值条件由余能原理推导力法根本方程设结构为n次超静定，多余力为根本未知量根本体系的内力可表示为〔1〕应变余能VC用X表示§13-7余能原理与力法〔3〕应用余能驻值条件求X得支座反力〔2〕支座位移余能VCd用X表示例13-9试用余能驻值原理计算图(a)所示超静定梁，并说明在力法中可采用不同的基本结构分别计算和MP。解：取根本结构如图(b)，作MP图。原结构静定可能内力取基本结构如图(c)，作图。得即解得梁的M图如图(d)。例13-10图(a)为一等截面圆形无铰拱，承受均布水压力q。试用驻值原理求其内力。解：按弹性中心法取根本结构如图(b)，力法基本方程简化为求荷载作用下的内力时取根本结构如图(c)即求得解〔驻值原理验证略〕2.最小余能原理：适用于超静定弹性结构小位移的平衡问题。在所有可能内力中，真实内力使余能为极小值；反之，使余能为极小值的可能内力就是真实内力。数学表示式为X是多余力的真实解，dX

是X的任一非零增量。混合能量Em定义为：(EP)b—势能区(b区)的势能；(EC)a—余能区(a区)的余能；EJ—两区交接处的附加能量分区混合能量原理：设结构已分为势能区和余能区。在所有的分区混合可能状态中，真实状态使分区混合能量Em为驻值；反之，使Em为驻值的分区混合可能状态就是真实状态。1.基于分区混合能量原理的解法〔1〕确定结构的各种分区混合可能状态。a区的待定内力参数X、b区的待定位移参数Δ—根本未知量；〔2〕写出Em。〔3〕应用分区混合能量驻值条件。§13-8分区混合能量驻值原理例13-11试用分区混合原理计算图示刚架。解：取半边结构计算如图(a)。〔1〕分区混合可能状态：B以上为a区，B以下为b区，如图(b)。〔2〕分区混合能量Em为在交接处B（3）应用分区混合能量驻值条件得混合法基本方程解得2.由分区混合能量原理推导分区混合法根本方程〔1〕a区余能用X1表示：〔2〕b区势能用Δ2表示：（3）交接处J，b区在J点的位移为

a区在J点相应约束力为（4）应用分区混合能量驻值条件得1卡氏第一定理：设弹性结构的应变能Vε表示为n个独立变量位移Δ1，Δ2，…，Δn的函数，与位移Δi相应的约束力记为Fi〔i=1，2，…，n〕，除n个约束力Fi外，结构上没有荷载作用，那么：设只考虑弯曲应变能图(a)所示结构的应变能为虚设位移如图(b)，曲率κ的增量为令图(a)中的力系在图(b)中的虚位移上作虚功，虚功方程为：解得将Vε代入得§13-9卡氏定理和克罗蒂–恩格塞定理例13-12试用卡氏第一定理求图示结构两端竖向反力及两端反力矩。解：Vε是独立变量位移ΔA、ΔB、θA、θB的函数，那么：由卡氏第一定理例13-13图(a)所示桁架发生对称变形时只有结点B的竖向位移Δ。试用卡氏第一定理求当结点B产生竖向位移Δ时在该点所需施加的竖向力FyB。解：桁架的应变能Vε为由卡氏第一定理假设对称桁架在B点有竖向荷载FyB作用，那么桁架在B点产生的位移克罗蒂–恩格塞定理：设弹性结构的应变余能VC表示为n个独立变量力X1，X2，…，Xn的函数，且支座位移为零，Di是与Xi相应的位移，那么：只考虑弯曲应变余能，那么图(a)所示结构虚设力系如图(b)，弯矩的增量令图(b)的虚设力系在图(a)的变形上作虚功，虚功方程为：将VC代入得卡氏第二定理：设结构为线性弹性，而且没有初应变。此时，应变能Vε与应变余能VC相等，那么例13-14试求图示结构B点的转角θB和挠度wB。解：梁的应变余能为：由卡氏第二定理4.讨论〔1〕两组、三项能量偏导数定理归结为三个公式：〔2〕三个能量偏导数定理，代表变形体虚功原理的两种应用方式〔3〕卡氏第一定理与单位支座位移法是相通的。克罗蒂-恩格塞定理、卡氏第二定理与单位荷载法是相通的。〔4〕卡氏第一定理可以推广为势能偏导数定理；克罗蒂-恩格塞定理可以推广为余能偏导数定理。1.势能偏导数定理〔1〕势能偏导数定理的表述：设结构有n个支座位移Δi为独立变量位移，其余支座位移及荷载均为给定常量，结构的势能EP表示为Δ1，Δ2，…，Δn的函数，那么：〔2〕势能偏导数公式的推导图(a)所示结构的势能虚设位移如图(b)令图(a)的力系在图(b)的虚位移上作虚功，虚功方程为：得将EP代入§13-10势能和余能偏导数定理2.由势能偏导数定理得出的推论〔1〕由势能偏导数定理导出单位位移法：将势能表示为令表示Δi=1引起的拉伸应变、剪切应变、曲率和与荷载相应的位移。可得〔2〕由势能偏导数定理导出势能驻值原理在位移法根本体系中，对应结构的n个自由度Δ1，Δ2，…，Δn，增设了n个附加约束。这些附加约束的约束力F1，F2，…，Fn可由势能偏导数求出：用位移法分析原结构时，附加约束实际上并不存在，因而约束力Fi均为零。即〔3〕由势能偏导数定理导出卡氏第一定理设结构除有变量位移Δi及约束力Fi〔i=1，2，…，n〕外，再没有其他的荷载作用。此时，EP=Vε，可得：3.余能偏导数定理〔1〕余能偏导数定理的表述：设结构有n个独立变量荷载或独立变量Xi，其余支座位移及荷载均为给定常量，结构的余能EC表示为X1，X2，…，Xn的函数，那么：〔适用于静定和超静定结构〕〔2〕余能偏导数公式的推导图(a)所示结构余能为变量Xi的函数：虚设力系如图(b)：令图(b)的虚设力系在图(a)的变形状态上作虚功，虚功方程为：得将EC代入4.由余能偏导数定理得出的推论〔1〕由余能偏导数定理导出单位荷载法令表示Xi=1引起的轴力、剪力、弯矩和支座反力，可得：〔2〕由余能偏导数定理导出余能驻值原理在