高等代数课件(北大三版)第七章 线性变换

第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。---华罗庚（1910－1985）惠州学院数学系7.1线性映射一、内容分布

7.1.1线性映射的定义、例.

7.1.2线性变换的象与核.二、教学目的:1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）．

2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核．三、重点难点:

判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核．惠州学院数学系7.1.1线性映射的定义、例

设F是一个数域，V和W是F上向量空间.

定义1

设σ是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称σ是V到W的一个线性映射：①对于任意②对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：③对于任意和任意惠州学院数学系在②中取，对③进行数学归纳，可以得到：（1）（2）例1

对于的每一向量定义

σ是到的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射.例2

令H是中经过原点的一个平面.对于的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质，是到的一个线性映射.惠州学院数学系例3

令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的每一向量规定：

是一个m×1矩阵，即是空间的一个向量，σ是到的一个线性映射.惠州学院数学系例4

令V和W是数域F

上向量空间.对于V的每一向量ξ令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射.例5

令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意定义容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似.特别，取k=1，那么对于每一都有这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么σ就是V

到V的零映射.惠州学院数学系例6

取定F的一个n元数列对于的每一向量规定

容易验证，σ是到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或上一个线性型.例7

对于F[x]的每一多项式f（x），令它的导数

与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射.惠州学院数学系例8

令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一规定

仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C[a,b]到自身的一个线性映射.惠州学院数学系7.1.2线性变换的象与核定义2

设σ是向量空间V到W的一个线性映射,(1)如果那么叫做

在σ之下的象.(2)设那么叫做在σ

之下的原象.定理7.1.1

设V和W是数域F上向量空间，而

是一个线性映射，那么V的任意子空间在σ之下的象是W的一个子空间，而W的任意子空间在σ之下的原象是V的一个子空间.惠州学院数学系特别，向量空间V在σ之下的象是W的一个子空间，叫做σ的象,记为即另外，W的零子空间{0}在σ之下的原象是V的一个子空间，叫做σ的核，记为即惠州学院数学系定理7.1.2

设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么(i)σ是满射(ii)σ是单射证明论断(i)是显然的,我们只证论断(ii)如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反过来设ker(σ)={0}.

如果那么从而所以即σ是单射.惠州学院数学系如果线性映射有逆映射，那么是W到V的一个线性映射.

建议同学给出证明.惠州学院数学系7.2线性变换的运算

一、内容分布7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式.三、重点难点:

会做运算.惠州学院数学系7.2.1加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设定义:

加法:

数乘:,那么是V的一个线性变换.可以证明:和都是V的一个线性变换.令，那么对于任意和任意证明

惠州学院数学系所以是V的一个线性变换令，那么对于任意和任意所以kσ是V的一个线性变换.惠州学院数学系线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意,以下等式成立:(1)(2)令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意有：(3)设σ的负变换－σ指的是V到V的映射容易验证，－σ也是V的线性变换，并且（4）惠州学院数学系线性变换的数乘满足下列算律：这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.定理7.2.1

L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.惠州学院数学系7.2.2线性变换的积

设容易证明合成映射也是V上的线性变换，即我们也把合成映射叫做σ与τ的积，并且简记作στ

。除上面的性质外，还有：对于任意成立。惠州学院数学系证明我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设我们有因而（9）成立。惠州学院数学系7.2.3线性变换的多项式

线性变换的乘法满足结合律：

对于任意都有因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂

这里n是正整数。我们再定义这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。惠州学院数学系进一步，设是F上一个多项式，而以σ代替x，以

代替，得到V的一个线性变换这个线性变换叫做当时f(x)的值，并且记作（1）因为对于任意

我们也可将简记作，这时可以写惠州学院数学系（2）带入法：如果并且那么根据L(V)中运算所满足的性质,我们有惠州学院数学系7.3线性变换和矩阵

一、内容分布

7.3.1线性变换的矩阵

7.3.2坐标变换

7.3.3矩阵唯一确定线性变换

7.3.4线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵二、教学目的:

1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．

2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标．

3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。三、重点难点:

线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。惠州学院数学系7.3.1线性变换的矩阵

现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基令………惠州学院数学系设N阶矩阵A叫做线性变换σ关于基的矩阵.上面的表达常常写出更方便的形式:(1)惠州学院数学系7.3.2坐标变换设V是数域F上一个n维向量空间,是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是而σ(ξ)的坐标是问:和

之间有什么关系?设惠州学院数学系因为σ是线性变换，所以（2）将（1）代入（2）得惠州学院数学系最后，等式表明，的坐标所组成的列是综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1

令V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基

的矩阵是惠州学院数学系如果V中向量ξ关于这个基的坐标是，而σ(ξ)的坐标是，那么惠州学院数学系例1

在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令σ是将的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是的一个线性变换.我们有所以σ关于基的矩阵是设，它关于基的坐标是,而的坐标是.那么惠州学院数学系7.3.3矩阵唯一确定线性变换

引理7.3.2

设V是数域F上一个n维向量空间，

是V的一个基，那么对于V中任意

n个向量，有且仅有

V的一个线性变换σ，使得:证

设是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ：惠州学院数学系我们证明，σ是V的一个线性变换。设那么于是设那么惠州学院数学系这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条件：如果τ是V的一个线性变换，且那么对于任意从而■惠州学院数学系定理7.3.3

设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基，对于V的每一个线性变换σ，令σ关于基的矩阵A与它对应，这样就得到V的全体线性变换所成的集合L（V）到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射，并且如果,而，则

(3)

(4)证

设线性变换σ关于基的矩阵是A。那么是的一个映射。惠州学院数学系是F上任意一个n阶矩阵。令由引理7.3.2，存在唯一的使反过来，设显然σ关于基的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是的双射.惠州学院数学系设我们有由于σ是线性变换,所以因此所以στ关于基的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。□惠州学院数学系推论7.3.4

设数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是.证设σ可逆。令关于所取定的基的矩阵是B。由（7），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I.所以AB=I.同理BA=I.所以惠州学院数学系注意到（5），可以看出同理所以σ有逆，而□反过来，设而A可逆。由定理7.3.3，有

于是我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:

1.

取定n维向量空间V的一个基之后,在映射:

之下,(作为线性空间)惠州学院数学系研究一个抽象的线性变换σ,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.

2.

我们知道,数域F上一个n维向量空间V同构于,V上的线性变换转化为上一个具体的变换:也就是说,线性变换都具有上述形式.惠州学院数学系7.3.4线性变换在不同基下的矩阵

——相似矩阵

定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式

成立，那么就说B与A相似，记作：.n阶矩阵的相似关系具有下列性质：1.自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为2.对称性：如果，那么；

因为由惠州学院数学系3.传递性：如果且那么事实上，由得设线性变换σ关于基的矩阵是A,σ关于基的矩阵是B,由基

到基的过渡矩阵T,即:惠州学院数学系定理7.3.4

在上述假设下,有:即:

线性变换在不同基下的矩阵是相似的.反过来,一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵.

证明留做练习惠州学院数学系7.4不变子空间一、内容分布

7.4.1定义与基本例子

7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简

7.4.3进一步的例子二、教学目的

1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法．

2．会求给定线性变换的一些不变子空间．三、重点难点

验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。惠州学院数学系7.4.1定义与基本例子

令V是数域F上一个向量空间,σ是V的一个线性变换.定义

V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变,如果.如果子空间W在σ之下不变，那么W就叫做σ的一个不变子空间.注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指,

即:

并不能说:

惠州学院数学系例1

V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.例2

令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)的像Im(σ)之下不变.例3

V的任意子空间在任意位似变换之下不变.

例4

令σ是中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角θ的旋转，那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.惠州学院数学系例5

令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，是求导数运对于每一自然数n，令表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间.那么在σ不变.设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变换，称为σ在W上的限制，并且记作这样，对于任意

然而如果那么没有意义。惠州学院数学系7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简

设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基再补充成V的一个基由于W在σ之下不变，所以仍在W内，因而可以由W的基线性表示。我们有：惠州学院数学系因此，σ关于这个基的矩阵有形状而A中左下方的O表示一个零矩阵.这里是关于W的基的矩阵，惠州学院数学系由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V的基，可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的直和：那么选取

的一个基和的一个基

凑成V的一个基当都在σ之下不变时，容易看出，σ关于这样选取的基的矩阵是这里是一个r阶矩阵,它是关于基惠州学院数学系一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间

的直和，并且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有形状这里关于所取的

的基的矩阵.的矩阵，而是n–r阶矩阵，它是关于基

的矩阵。惠州学院数学系例6

令σ

是例4所给出的的线性变换.显然是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在σ

之下不变.取L的一个非零向量，取

H的两个彼此正交的单位长度向量那么是的一个基，而σ关于这个基的矩阵是惠州学院数学系7.4.3进一步的例子例7

如果，那么证：1.任取2.任取惠州学院数学系例8

如果，那么对任何证：，那么例9

判定下列子空间在给定的σ下是否为不变子空间（1）惠州学院数学系（2）（3）（4）解

(1)是.(2)否.(3)是.(4)否.惠州学院数学系例10

σ是V上一个线性变换，W是生成的子空间：.则.证：

必要性：W中不变子空间，充分性：如果是包含的最小子空间，惠州学院数学系例11

设σ是V上的线性变换，α是V上的非零向量，且线性无关，但线性相关.那么是包含α的最小不变子空间.证

(1)

线性表出,因此

这样，的生成元在σ下的象全部属于.所以是一个σ不变子空间惠州学院数学系（2）对任何包含α的不变子空间W，

故，

即包含W的一个最小子空间.例12

设是V的一给基,σ在下的矩阵为求包含的最小子空间.惠州学院数学系解算的坐标为（用“()”表示取坐标）中线性无关惠州学院数学系的坐标排成的行列式为：惠州学院数学系因此是包含的最小子空间.

注意到与是等价向量组，因此惠州学院数学系一.内容分布

7.5.1引例

7.5.2矩阵特征值和特征向量的定义

7.5.3特征值和特征向量的计算方法

7.5.4矩阵特征值和特征向量的性质小结二.教学目的

1.理解特征值和特征向量的概念

2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法

3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质三.重点难点矩阵的特征值和特征向量的求法及性质7.5.1引例在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.

它们之间的关系为

写成矩阵形式，就是是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位).

例发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设

是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)，

若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为

和惠州学院数学系记

，，，即(2)式可写成

设当前的

，则

即

，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发

展水平。由上例我们发现，矩阵A乘以向量恰好等于的4倍，倍数4及向量即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.惠州学院数学系7.5.2特征值和特征向量的定义定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中的一个数，如果存在V中非零向量α，使得

那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量.例

因

解:所以4是

的一个特征值，

是A的属于4的特征向量.又

故

也是A的属于4的特征向量.注1：α是A的属于λ的特征向量，则，cα也是A的属于λ的特征向量

惠州学院数学系练习1(1)如果向量是矩阵的特征向量，

则k=__________(2)设，下列向量中可以成为A的

特征向量的是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.惠州学院数学系7.5.3特征值和特征向量的计算方法使λ是A的特征值

有非零解

注2：

λ是A的特征值

λ是方程

的根.α是A属于λ的特征向量

且是

的非零解。

注3：α是A属于λ的特征向量

是的非零解。

惠州学院数学系定义2：

称为A的特征多项式。

称为A的特征方程，

称为A的特征矩阵。

惠州学院数学系例1设，求A的全部特征值、特征的量。

解：A的特征多项式为A的特征值为对于解由于得基础解系A的对应于的全部特征向量为即惠州学院数学系对于

解

即由于

得基础解系A的对应于的全部特征向量为惠州学院数学系注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：

一类为一类为问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？惠州学院数学系求A的全部特征值和特征向量的方法：1.计算特征多项式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.对于A的每一个特征值

，求相应的齐次线性方程组

（不全为零）例2：求矩阵

的特征值和特征向量。

的一个基础解系

，则A的属于

的全部特征向量为惠州学院数学系解

A的特征多项式

A的特征值为

，对于

，解

得基础解系:惠州学院数学系A的属于特征值1的全部特征向量为

对于

，解

得基础解为

A的属于特征值–1的全部特征向量为

惠州学院数学系7.5.4特征向量和特征值的性质性质1

有相同的特征值

分析：要证

有相同的特征值

只须证

注意到

性质3

A的主对角线上的元素的和称为A的迹，记作

，则

性质2A的属于不同特征值的特征向量线性无关。惠州学院数学系注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=0惠州学院数学系练习：求

的特征值，特征向量。

解：

A的特征多项式为所以A的特征值为

对于

，解

对于

，解

故A的属于特征值1的全部特征向量为

故A的属于特征值4的全部特征向量为

惠州学院数学系小结1、定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中的一个数，如果存在V中非零向量α，使得

那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量.2、

λ是A的特征值

λ是方程

的根.3、α是A属于λ的特征向量

是的非零解。

4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1.计算特征多项式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.对于A的每一个特征值

，求相应的齐次线性方程组

（不全为零）的一个基础解系

，则A的属于

的全部特征向量为5、3个性质。惠州学院数学系作业：P2961、（i）（iii）思考题：矩阵A的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？惠州学院数学系7.6可以对角化矩阵

一、内容分布

7.6.1什么是可对角化

7.6.2本征向量的线性关系

7.6.3可对角化的判定

7.6.4矩阵对角化的方法及步骤二、教学目的

1．掌握可对角化的定义与判断．

2．熟练掌握矩阵对角化的方法步骤．三、重点难点

可对角化的判断与计算。惠州学院数学系7.6.1什么是可对角化

设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶逆矩阵T，使得具有对角形式（1）则说矩阵A可以对角化.我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵.矩阵A可以对角化对应到线性变换就是:惠州学院数学系设σ是数域F上维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式(1),那么说，σ可以对角化.很容易证明,σ可以对角化的充分必要条件是σ有n个线性无关的本征向量.这n个线性无关的本征向量显然构成V的基.因此，我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下σ有n个线性无关的本征向量.惠州学院数学系7.6.2本征向量的线性关系

定理7.6.1

令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果分别是σ的属于互不相同的特征根的特征向量，那么线性无关.证我们对n用数学归纳法来证明这个定理当n=1时，定理成立。因为本征向量不等于零。设n>1并且假设对于n－1来说定理成立。现在设是σ的两两不同的本征值，是属于本征值的本征向量：惠州学院数学系如果等式成立，那么以乘（3）的两端得另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有（5）式减（4）式得根据归纳法假设，线性无关，所以惠州学院数学系但两两不同，所以代入（3），因为所以这就证明了

线性无关。□推论7.6.2

设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，是σ的互不相同的本征值。又设

是属于本征值的线性无关的本征向量,

那么向量线性无关.证

先注意这样一个事实：σ的属于同一本征值λ的本征向量的非零线性组合仍是σ的属于λ的一个本征向量。惠州学院数学系由上面所说的事实，如果某一，则是σ的属于本征值的本征向量。因为互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有

即令则现在设存在F中的数使得惠州学院数学系然而线性无关，所以即线性无关。□惠州学院数学系7.6.3可对角化的判定定理7.6.3

令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使σ就关于这个基的矩阵是对角形式.证

这时σ的特征多项式在F[x]内可以分解为线性因式的乘积：且两两不同。对于每一个选取一个本征向量由定理7.6.1,线性无关，因而构成V的一个基,σ关于这个基的矩阵是惠州学院数学系将上面的定理转化成矩阵的语言,就是:

定理7.6.4

令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T，使惠州学院数学系注意：推论7.6.4的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件。下面将给出一个n阶矩阵对角化的