二分法求方程的根48637

3.1.2用二分法

求方程的近似解上节回忆2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否有零点?(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线(2)f(a)·f(b)<0

思考：区间[a,b]上零点是否是唯一的？

函数在下列哪个区间内有零点?

()上节回忆C练习：思考：如何得到一个更小的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值，如何缩小零点所在的区间？

看商品，猜价格游戏规则：给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100~200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，这件商品就是你的了。这能提供求确定函数零点的思路吗?思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二……研讨新知我们已经知道,函数f(x)=在区间(2,3)内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？如果能够将零点的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.如何缩小零点所在的的范围？我来说通过取中点的方法缩小零点所在的的范围我要问我要说对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点c,计算f(c),如果f(c）=0，那么c就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……可得：方程x2-2x-1=0

一个根x1在区间(2,3)内，

另一个根x2在区间(-1,0)内问题3．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）?

xy1203y=x2-2x-1-1

由此可知：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.画出y=x2-2x-1的图象，如图四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论思考：如何进一步

有效缩小根所在的区间？学生活动讨论。数离形时少直观，形离数时难入微！

四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25--2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25由于2.375与2.4375的差的绝对值小于0.1,所求近似解为2.4375。1．简述上述求方程近似解的过程构建数学：x1∈(2,3)∵f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,2.5)∴f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5)∴f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5)∴f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.4375)∴f(2.375)<0,f(2.4375)>0∵f(2.5)=0.25>0∵f(2.25)=-0.4375<0∵f(2.375)=-0.2351<0∵f(2.4375)=0.105>0通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!∵

2.375与2.4375的近似值都是2.4,∴x1≈2.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论解：设f(x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点思考:

通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值?给这种方法起个名字？

精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.由于如图设函数的零点为

,则=2.375,=2.4375，...所以所以方程的近似解为对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二分法概念xy0ab问题5:

你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．3.计算；（1）若，则就是函数的零点；1.确定区间,验证,给定精确度;2.求区间的中点；（2）若，则令（此时零点）.（3）若，则令（此时零点）.4.判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复2～4.给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:012346578-6-2310214075142273列表尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解绘制函数图像

取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=

-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）

同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375，1.4375），由于

|1.375-1.4375|=0.0625<0.1

所以，原方程的近似解可取为1.4375四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论练习2:

下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0问题7:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？

1、函数y=f(x)在[a,b]上连续不断。2、

y=f(x)满足f(a)f(b)<0，则在(a,b)内必有零点思考题

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至多需要检查几个接点？四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论12345678910111213