复变函数第1讲x

复变函数与积分变换主讲教师:马佳佳木斯大学理学院1复变函数与积分变换

主要内容：

1.复变函数自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）.

主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映射等。

2.积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换.2序言

预备知识、参考书

主要用到高等数学的相关知识.1.西安交通大学复变函数

2.南京工学院积分变换

3.祝同江积分变换

4.钟玉泉复变函数论

学习进度、建议3序言复数的引入及其发展过程：

16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程x2+1=0时就会遇到－1开平方的问题。为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.4序言

复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：

1.微积分的发展；2.复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等.5序言复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.例如，著名的代数学基本定理，用复变函数理论来证明是非常简洁的.

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.6第一章复数与复变函数主要内容1、复数及其表示方法2、复数运算3、平面点集4、复变函数的连续性7注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；

(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.

§1复数及其四则运算1、复数的概念其中实部虚部共轭8

加、减：乘法：

注:2、复数的四则运算除法：9容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外，还经常用到以下性质：例如，设提示：10§2复数的表示法1.复平面

基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为复平面.11称向量的长度为复数z=x+iy

的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的度数称为复数z=x+iy

的辐角(z≠0).OxyxyqPz=x+iy|z|=r12显然把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.Arg

z=θ=θ0+2kπ，k为整数.13复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：还容易看出oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1142、

复数的三角表示根据上式称为复数的三角表示.Oxy可以得到3、

复数的指数表示由欧拉公式可以得到复数的指数表示式:154、复球面．zxy

o．NＰ．用如图所示的方法可建立复平面上的点ｚ与球面上的点ｐ（Ｎ除外）之间的一种一一对应的关系，即这样我们就可以用球面上的点来表示复数.

注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.16问题：球面上的北极Ｎ如何与复平面内的点对应？我们规定：１）复平面上有唯一的“无穷远点”与球面上北极Ｎ对应；２）复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为∞.

这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面.

把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面.对于∞来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为｜∞｜＝＋∞，对于其它复数z,则有｜z｜<+∞.17例1.下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程.1）2）解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，所以，1）表示圆周，3）

2）表示