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文档简介
复变函数与积分变换主讲教师:马佳佳木斯大学理学院1复变函数与积分变换
主要内容:
1.复变函数自变量为复数的函数(在高等数学中,我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数,因而也称之为实变函数).
主要包含复数与复变函数;解析函数;复变函数的积分理论;级数理论;留数理论及其应用;共性映射等。
2.积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换.2序言
预备知识、参考书
主要用到高等数学的相关知识.1.西安交通大学复变函数
2.南京工学院积分变换
3.祝同江积分变换
4.钟玉泉复变函数论
学习进度、建议3序言复数的引入及其发展过程:
16世纪中叶,意大利人Cardan在解代数方程时,首先产生了负数开平方的思想.例如,解简单的方程x2+1=0时就会遇到-1开平方的问题。为了使负数开平方有意义,也就是要使上述方程有解,我们需要再一次扩大数系,于是就引进了虚数,使实数域扩大到复数域.然而,一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示,对复数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.4序言
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪,有两个主要原因促使了这种状况的改变:
1.微积分的发展;2.复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述,是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论,发现了复指数函数和三角函数间的关系,创立了复变函数论的积分理论等.5序言复变函数理论的重要意义十九世纪,复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass的巨大努力,已经形成了非常系统的理论,并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.例如,著名的代数学基本定理,用复变函数理论来证明是非常简洁的.
现在,复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用.比如,在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中,复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.6第一章复数与复变函数主要内容1、复数及其表示方法2、复数运算3、平面点集4、复变函数的连续性7注:(1)两个复数相等,是指二者实部、虚部分别相同;
(2)两个复数之间无法比较大小,除非都是实数.
§1复数及其四则运算1、复数的概念其中实部虚部共轭8
加、减:乘法:
注:2、复数的四则运算除法:9容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外,还经常用到以下性质:例如,设提示:10§2复数的表示法1.复平面
基于这样一种原因,我们把此时的坐标平面称为复平面.11称向量的长度为复数z=x+iy
的模或绝对值;以正实轴为始边,以为终边的角的度数称为复数z=x+iy
的辐角(z≠0).OxyxyqPz=x+iy|z|=r12显然把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值,记作θ0=argz.Arg
z=θ=θ0+2kπ,k为整数.13复数向量表示的重要意义:能够将代数问题化为几何问题,从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式:还容易看出oxy(z)
z1z2
z1+z2z2-z1142、
复数的三角表示根据上式称为复数的三角表示.Oxy可以得到3、
复数的指数表示由欧拉公式可以得到复数的指数表示式:154、复球面.zxy
o.NP.用如图所示的方法可建立复平面上的点z与球面上的点p(N除外)之间的一种一一对应的关系,即这样我们就可以用球面上的点来表示复数.
注:复数的各种表达式可以互相转换,在讨论具体问题时应灵活选用.16问题:球面上的北极N如何与复平面内的点对应?我们规定:1)复平面上有唯一的“无穷远点”与球面上北极N对应;2)复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,并把它记为∞.
这样,球面上的每一个点,就有唯一一个复数与它对应,这样的球面称为复球面.
把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或就称复平面.对于∞来说,实、虚部与辐角的概念无意义,其模为|∞|=+∞,对于其它复数z,则有|z|<+∞.17例1.下列方程各表示什么曲线?4)写出直线的复数形式方程.1)2)解:1)、2)的关键是知道复数模的几何意义,所以,1)表示圆周,3)
2)表示
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