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第二讲复变函数1第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域2一、区域的概念1.邻域:说明32.去心邻域:说明43.内点:4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.55.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:

设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P

的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.6D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域7以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:8(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.9二、单连通域与多连通域1.连续曲线:平面曲线的复数表示:102.光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.113.简单曲线:

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).12换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界13课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭144.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域15

1.复变函数的定义

2.映射的概念§5复变函数16一、复变函数的定义1.复变函数的定义:172.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:184.复变函数与自变量之间的关系:例如,19二、映射的概念1.引入:202.映射的定义:21223.两个特殊的映射:23且是全同图形.2425根据复数的乘法公式可知,26(如下页图)27将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.28以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)294.反函数的定义:30根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.31解三、典型例题例1还是线段.32例1解33例1解仍是扇形域.34例2解35所以象的参数方程为36第六节复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性37一、函数的极限1.函数极限的定义:注意:382.极限计算的定理定理一证根据极限的定义(1)必要性.39(2)充分性.40[证毕]说明41定理二与实变函数的极限运算法则类似.42例1证(一)43根据定理一可知,证(二)4445例2证46根据定理一可知,47二、函数的连续性1.连续的定义:48定理三例如,49定理四50特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.51

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