高二数学回归分析

3.1回归分析的基本思想及其初步应用高二数学选修2-3

第三章统计案例

比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2

和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e，

(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=

(4)

2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。4、两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预报精度越高。（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：

然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。案例2

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73

相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464估计参数

解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93一元线性模型奇怪？93>66?模型不好？

y=bx2+a变换y=bt+a非线性关系线性关系方案2问题１选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3

产卵数气温问题2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函数模型方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。t问题２

变换y=bx+a非线性关系线性关系问题１如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC时，y≈44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为

对数变换：在中两边取常用对数得令，则就转换为z=bx+a.相关指数R2=0.98最好的模型是哪个?

产卵数气温产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98最好的模型是哪个?回归分析（二）则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。总结

对于给定的样本点两个含有未知参数的模型：其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程与其中和分别是参数a和b的估计值；（2）分别计算两个回归方程的残差平方和与（3）若则的效果比的好；反之，的效果不如的好。练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天

1

2

34

56繁殖个数y/个

6

12

25

49

95190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

（2）

描述解释变量与预报变量之间的关系；（3）

计算残差、相关指数R2.天数繁殖个数解：（1）散点图如右所示

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得则有6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190（3）即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.练习假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料。使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程的回归系数；（2）求残差平方和；（3）求相关系数；（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解：（1）由已知数据制成表格。12345合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690所以有；/daopiancisheng/7.html刀片刺网uxd30vzu后退着摆着手说：“小青姐，你，你听我说，这，这绝对不可以的！”一瞬间，小青彻底呆了！耿正眼看着小青递手帕的手就好像凝固了一样一动不动地伸着，而两行热泪却扑簌簌滚落下来，嘴里梦呓般地念叨着：“这是为什么？这是为什么啊？”此情此景，原本非常善良正直的耿正实在是于心不忍；但他又不可能，也不可以伸手接过来这块儿满含深情的鸳鸯手帕啊！两人就这样僵持了片刻后，小青还一直保持这个姿势不变，继续反复念叨同一句话，滚落下更多的眼泪耿正终于扑上前来，弯下腰把小青伸着的手臂推回去，然后双手抓住她的肩膀使劲地摇晃着，眼含泪水真诚地说：“小青姐，你是我的好姐姐。我从小没有姐姐，你待我就像是亲姐姐一样！可是，你说的这事情实在是不行啊！我不能接受你绣的手帕，不是因为你人不好，更不是因为你大我一岁，而是因为我在故乡已经有心上人了啊！”看到小青还是一言不发地呆坐在石头上淌眼泪，耿正只好也从怀里掏出来离家前一夜秀儿送给他的那块儿绣着一对燕子的乳白色丝绸手帕，对小青说：“她叫秀儿，我们从小一起长大，这块儿手帕是我离家之前她送给我的。记得她当时对我说，‘正哥哥你看，这一对燕子是俺背着娘绣的。你带上她，就好像俺们还没有分开！’。小青姐你说，我怎么可以辜负了她呢？”小青终于哭出了声：“我明白了，你喜欢这棵大槐树，喜欢坐在这块儿石头上，也是为了她？你刚才那样高兴，心里想的也全是她啊？”耿正点点头说：“是的，我的故乡也有这样的一棵大槐树，树下也有这样的几块儿大石头，我们小的时候经常坐在那些石头上玩儿”耿正的话还没有说完，小青突然站起来，跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了。“小青姐，你到哪里去啊？”耿正一把没有能够拉住她，吃惊地大喊一声，拔腿往前追去！105第三十七回小青误读慈母泪|（小青误读慈母泪，耍小聪明巧遮掩；故找借口独自行，要与耿正说分明。）乔氏的话还没有说完，院门儿“咣当”一声被打开了。人还没有进来，小青欢快的声音就传进屋里来了：“姆妈