多元函数微分学

多元函数微分学CalculusofFunctionsofSeveralVariables多元微分几何应用15多元微分在几何上的应用一、空间曲线的切线

(TangentLine)

与法平面（NormalPlane）1.曲线的参数方程空间直线参数方程若记直线又可记为2一般地，空间曲线为一连续映射的象：它可表示为向量式：32.空间曲线的切线和法平面设空间曲线在上可导,设为其上一点，空间曲线在点处的切线方程：即则在点的切向量4请看切向量的形成

5

对称式

向量式

参数式

光滑或分段光滑的空间曲线在其上任一点些法线共面。此平面称作曲线在点处的法平面。6空间曲线在点处的法平面方程：

点法式:

由以上可见，求空间曲线上一点处

的切线和法平面，关键在确定：

一点

在点的切向量

即7下如何求出切向量

曲线为参数式：

曲线

为两柱面交面式：问题的难点在曲线

所给形式不同的情况8根据多元隐函数求导法

曲线为一般曲面交面式：9例1求曲线在点处的切线与法平面方程。解为求曲线在的切向量，因10所以曲线在点的切向量于是在点的切线方程为：11而曲线在点的法平面为：即1.曲面的参数方程二、空间曲面的切平面与法线例3圆柱面的参数方程12所以圆柱面的参数方程或

13例4球面的参数方程标准球面的直角坐标方程以下来推导该球面的参数方程，如图

球面上任一点的向径：14于是得半径为R

的球面参数方程：15须注意：

交线(纬线)，得球面的曲线：而当固定

一族圆,为锥面与球面的16得球面的曲线：圆——是球面与射面的交线(经线)。例4

正螺面的参数方程。或一族以球心为圆心的大17到一条曲线：

,曲面参数方程的一般形式：成曲面S

上的参数曲线网，所有这样的曲线和曲线构而影射将

平面上的区域D

变成中的曲面

S.同样，一条曲线：182.曲面的切平面与法线

1920这说明是个确定了方向的向量,且为曲面在该点切平面的法向量。的切平面

由21过点，方向为的直线。

的法线

切平面方程

(点法式)

法线方程

(对称式)的切平面和法线，关键在确定：

由以上可见，要求空间曲面S上一点处

23曲面上一点

曲面在点的法向量

问题的难点在曲面S所给形式不同的情况下如何求出法向量曲面S

为参数式：24曲面S

为隐函数方程：可以视为参数，的参数式为25曲面S为显函数：由情况的切平面方程：

26试比较：

全微分的几何意义——27二元函数全微分的几何意义28例5求正螺面处的切平面和法线方程.解

先求出在已知点处曲面的法向量曲面点为29故正螺面在该点处的切平面和法线方程分别为：例630解下面用条件极值法求切点(x,y,z),记:点到设

Lagrange

函数为31代入第(4)个方程32(1)所求切平面有两个即(2)最远点最近点33作业—（5月17日）P.101--习题5.6(A)-N.1(3),2,3,6,10(4),

11*;N.17——21.选

(B)—N.1,3,4.

34三、曲率(Curvature)通常曲线的参数方程表示为：曲线的参数方程还有一种以其弧长s为自然参数的向量表示法：的三阶导数，且简单地讲，曲率是描述曲线上各点的弯曲程度的一个数量值。以下讨论曲线的曲率，总假设r有连续35度的弧两端点处切线的夹角因弯曲程度的试问以下两个圆，哪个圆的弯曲程度更大？经研究发现，对曲线上不同处，同样长不同而不同，如对上面的两个圆，有或36定义(曲率)对以弧长s为自然参数的空间曲线：上各点处的曲率定义为

以下的分析大家将了解的关系，同时将会认识到曲线以弧长s

为自然参数的好处。37命题

设上的单位向量值函数,又设则

证因都可视为单位向量,所以如图,向量38因此对任意固定的Q,故定理7.1设空间曲线

:为自然参数则的曲率为39证设一致的单位切向量,则由上述命题

等于1(命题)(证完)推论40证因利用及P.82-习题5.5(A).N.4故因而

将的结果代入上式

单位切向量41=0即其中还用到42对平面曲线若以x为参数，相应的曲率公式为请看书上例7.2至例7.4。43平面曲线上一点P处的曲率半径平面曲线的曲率半径和曲率圆(密切圆)平面曲线上一点P处的曲率圆圆