2021届高中数学综合、交汇习题集20

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第20篇

1.已知双曲线E的中心为原点，尸(3,0)是E的焦点，过尸的直线/E相交于A，B两点，且AB的中点

为N(—12,-15),则E的离心率为()

2225

2.(多选)已知函数/(x)=2*,g(x)=x2+rzx(其中aeR).对于不相等的实数%,々，设

m———―-~~—————・下列说法正确的是()

再一々X)-X2

A.对于任意不相等的实数X,%2,都有加〉0;

B.对于任意的a及任意不相等的实数x,,电，都有“〉0；

C.对于任意的a,存在不相等的实数匹，为，使得"2=〃；

D.对于任意的。，存在不相等的实数％,x2,使得机=一〃.

3.正四棱锥S-ABC。底面边长为2,高为1,E是边8C1的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总

保持PE-AC=O,则动点尸的轨迹的周长为.

4.己知数列｛4｝的前〃项和为7；,且2b”=T,+2,则数列｛“｝的通项公式为,数列｛%｝的前〃项

4-〃(〃为奇数)若使B恰为｛对｝中的奇数项，则所有正整数机组成的集合为

和为S,,,且a“=，

“(”为偶数)

5.一半径为/?的球的表面积为64兀，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的

最大值为.

6.(桂，2021届南宁两校联考)已知函数/(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是()

A.>=/(x)的图像关于点(〃0)中心对称B.y=/(X)的图像关于直线”=_对称

2

C./(X)的最大值为史D./(尤)既是奇函数，又是周期函数

2

7.若函数/(x)=a/+(2-a)x-lnr(aeR)在其定义域上有两个零点，则。的取值范围是()

A.(4(In2+1),+00)B.(0,4(1+In2)]

C.(-oo,0)U｛4(l+ln2)｝D.(0,4(ln2+l))

2

8.以。为中心，居，尸2为焦点的椭圆上存在一点M,满足2帆；*3*0*3“工则该椭圆的离心

率为.

9.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上.若该球的半径为4,A3QD是边长为2的正方形，且

ZPAB=9Q°,则当PA最长时，四棱锥P—A8CD的体积为.

inru4Uli]11

石“川一eA,就称A是伙伴关系集合，集合h4—彳'—1,0,一,；2,3｝■的所有非空子集中具有伙

xI23J

伴关系的集合的个数是（）

A.31B.7C.3D.1

11.已知命题"土^€[1,2],父一%“+1〉0"是真命题，则实数。的取值范围为（）

（51「5、「5、（5\

B.C.!-co,_1口.「巧

I,JL4）I4J14）

12.如图，正方体ABQD-AGG。的棱长为1，则下列四个命题正确的有（）

①直线BC与平面ABC。所成角等于:；②点C到平面ABCO的距离为了；③两条异面直线。C和

''4''T1

BC所成角为:；④三棱柱A4。-BBC外接球半径为/)

1411T

个B.2个C.3个D.4个

13.已知。=log23,h=log34,c=log45,贝！|()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

14.设等比数列｛氏｝满足q+%=20,a2+a4=\09则442a3…%的最大值为.

3

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第20篇参考答案

1、【答案】B

【详解】，，

%-一y=>>

设双曲线的标准方程为工-1(«°)，

a-及

2222

设A(x，y),8(%，%)，则有^1工［1，，口=)；

a2b1a2b2

两式作差得：£X=方-即乂一为：X)

~~cr-bx-xa(y+y)

2I2I2

VF(3,0),AB的中点为N(—12,—15),

-15-0-12/7246

・'-12-3__］545a^

c3

/.4h2-5a2,即4(c之一/)=5",/.4c2=9a2,得e=；=_.

a2

故选：B.

2.【答案】AD

【详解】

对于A,由指数函数的单调性可得/(九)在R上递增，即有〃2〉0,则A正确；

对于B,由二次函数的单调性可得g(X)在(-00,二0)递减，在(二“，+8)递增，则〃>0不恒成立，则B错误;

22

对于C,若机=〃,可得/(X,)-f(X2)=g(xt)-g(x2)，即为g(X1)-f(xt)=g(x2)-f(x2),

设/7(*)=*2+公-2，,贝(1应有/?(%))=/J(X2),

而h'(x)=2x+a-2*In2,当af-8,(x)小于0,h{x}单调递减，则C错误；

对于D,若机=一〃，可得fix,)-/(x2)=Tg(X|)-g(x2)］，即为f(x,)+g(X|)=/(%2)+g(x2)

设贻)=1+以+2*,则应有力(匹)=〃(々)，

而"(x)=2r+a+2Kln2,对于任意的a,/z(x)不恒大于0或小于0,

即/?(%)在定义域上有增有减，则D正确.

故选:AD.

3.【答案】JI+G

【详解】

如图所示，取SC，DC的中点M，F，则EF//BD,ME//SB,由线面判定定理可知：后尸〃平面S3。，

EM〃平面S8D,而而门所=后，所以平面S3。〃平面ME/,设。是底面正方形的中心，所以正四

棱锥S-ABCQ的高为OS,则OP=1,则有OPLAC,而3。人AC,BOnSO=。，所以AC_L平面

SBD,所以AC_L平面M£F,因为

PEAC^0＞所以有PELAC,则动点P在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF，

BD=VAD2+AB2=2^2，SB=SD=卜。-+(―BD)~=6,

1

则动点尸的轨迹的周长为/=-/

△MFE2&SDB及+6

故答案为：、泛+G

4.【答案】2"{2}

【详解】

解：由题意，当”=1时，2仇=(+2=么+2,解得仇=2,

当〃22时，由25=T„+2,可得2b**+2,

两式相减,可得2”,-2仇一尸仇,，得仇=2%,

二数列{〃,}是以2为首项,2为公比的等比数列,

:.b„=2D2"-'=2",nGN*；

[4(〃为奇数)[4(〃为奇数)

va=\，即an-1、，

也(〃为偶数)|2"(〃为偶数)

$2”,=(。|+%+…+%MT)+(“2+%+…+%")

°m(m-l),4(1-4™)

=3m+-------x(-2)+-------

21-4

4'角一4

=4〃？-m0+------，

3

5

4〃-4

S2tfl-i=S2f„一3二4加-m~+——

S3x4'"

.・.2=]+________________

52吁13机(4一加)+4'〃一4'

5

假设白2=4=4一％,人为正奇数,

吁I

3x4m

则3m(4-m)+4"'-4=3~k'

,、，4x+,-4

;f(x)=4x-x~+---------，%>0,

，4v+rln4

f(x)=4-2x+―-—,

,4川(I®16(In4

••/(x)=-2+------------->-2+------------>0>

八八

/0)=4_2》+84Al&in44,-2+_16_1n>40

•••/(x)在(0,+@上为增函数,

16-4

>4-1+=7>0,

3

16-4

>4-1+=7>0

3

同理S2.i>0,则3—女〉0，

，只有当〃z=2时，攵=1适合题意,

故所有正整数m组成的集合为｛2｝；

故答案为:2"；⑵.

5.【答案】640

【解析】由球体的表面积公式求出半径R,根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方

体的长、宽、高分别为"c即有储+〃=/、足+02=32,最后利用长方体的体积公式有

V^ahyl^+h2«利用基本不等式即可求其最大值

【详解】

由半径为R的球的表面积为64兀，知：4成2=64%,有R=4；

由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则。2+从=,2,/+〃+C2=4R2=64；

•*-cr+h~-32,而长方体体积v=abc=abNa°+b，

6

,V=ab工庐KS'"‘尸=64、历当且仅当”=b=4时等号成立

2

故答案为：6472

6.【答案】C

【解析】试题分析：对于A选项，只需考虑了(2;z-x)+/(x)=()即可，而

fQ兀-x)+f(x)=cos(2^-x)sin2(2^=-x)+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0,故A正确；

对于B选项，

只需考虑f(7r-x)=f(x)是否成立即可，

而f(7U-x)=cos(行•x)sin2(乃-x)=-cosx(-sin2x)=cosxsin2x=f(x)，故B正确；

对于。选项，

/(-x)=cos(-x)sin2(一九)=-cosxsin2x=-f(x),

故f(x)是奇函数，有/(2乃=cos(2乃+•%)sin2(2乃+•%)=cosxsin2x=/(x),故周期是2万，故D

正确；

对于C选项，

/(x)=cosxsin2x=cosx•2sinxcosx=2sinxcos2x=2sinx(l-sin2x)=-2sirr,x+2sinx,

令，=5诂%,/6［-1,1］,则丫=-2『+2人求导丫'=2-6产，令歹>0解得一"1</<立，故y=-2『+2f

在［一史,E］上单增，在［一1,一史)与(且,1］上单减，又当，=一1时y=0；又当，=6时),_M.

333339

故c错误.

7.【答案】A

【详解】

函数y=/(x)的定义域为(0,+2，f'(x)=2以+(2-a)—1=(21)3+1)

XX

(1)当时，对任意的x>0,ar+1>0,

若0cx<则f'(x)<0；若,则f'(x)>0.

22

7

此时，函数y=/(x)的单调递减区间为O,？，单调递增区间为%+8

当X.0*时，/(X)->+00;当xf+00时，/(x)f+8.

由于函数y=/(x)在其定义域上有两个零点，

则/j1]=]+In2-。<0,解得a〉40n2+1)；

(2)当a<0时，令/'(x)=0,可得x=,九=J•

17272-a

①若一1=),即当a=—2时，对任意的x>0,/'(x)W0恒成立,

a2

所以，函数y=/(x)在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；

②若一[〉L，即当—2<a<0时，

a2

令/'(x)<0，得0<x<l或x>—J；令/得1cxe-).

5"(1、(1彳arin

此时，函数y="x)的单调递减区间为10,2尸『口,+8),单调递增区间为[幺一〃

当x.0*时.，/(%)->+<»；当X->+00时-，/(A-)->-W.

则有]=1+In2—：=0或/一P=1—1—、=0,

若/fl]=]+ln2_a=0,则a=4(In2+1),舍去；

⑶4

若=1一)'LO,令/:一)，令g(7)=1+r—lnf,其中/>[

“、11I—1

g(f)=1==_.

tt

当「<r<l时，g'Q)<0,此时函数y=g(/)单调递减;

2

当/>1时，g'(f)>0,此时函数y=g(r)单调递增.

所以，S(0min=g(l)=2>0,则方程g(f)=O无解;

③若0<—J<L，即当a<—2时，

a2

令/'(x)<0,得0<x<—J或x>l；令/'(x)>。，得一1cx<1.

a2a2

8

(\\1,+s],单调递增区间为f-

此时，函数y=/(x)的单调递减区间为0,-和

2

V7

当X.0*时，/(X)->+00;当xf+00时，/(X)^-00.

则有f；]=l+ln2r=0或=

(1Aa

若/=l+ln2-=0,则a=4(ln2+l),舍去；

若//_：1=1一1_始4_1)1=0,令/=_)令g(f)=l+f_lnf,其中0</<]

I-I-J--

g，0)=l—J=；T<0,所以，函数y=g(f)在日间")]h上单调递减，

-----(~)

(1A3

所以，gQ)>g=+ln2〉。,此时方程g(f)=0无解.

⑶2

综上所述，实数。的取值范围是(4(In2+1),+8).

故选：A.

8.【答案】叵

5

【详解】

因斗Mf1j+|MFj=5郭/।=2a,因^_a-jl/0।a_,।=2c,

因为cosZMOF,=-cosZMOF1

叵

c2加

所以

-10-一

--一

a25

2525

故答案为：叵

5

9.【答案】8"

3

9

【解析】根据题意四棱锥补形为长方体得解

【详解】

如下图，因为NPAB=90。，故P点在与8A垂直的圆面。内运动,

易知，当P、。1、A三点共线时PA达到最长此时,

可将四棱锥补形为长方体A,B,CXP-ABCD,其体对角线为BP=2R=8,

22

底面边长为2的正方形，则高pD=y]pB-BD=2^4,

10.【答案】B

【解析】集合M=3,0112,31

i%丁）

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：

{-1}fl21fl3〕J_i12〕11口3〕门2।31J—112131

12J[3J[2J|33J[23JI23

故选B.

11.【答案】C

【详解】

解：命题“我）e[l,2],片―26（）+1〉0”是真命题，

即有2〃<%+JE[1，2]的最大值，

%

10

由y=x+［在［1,2］上单调递增，可得x=2取得最大值5,

x2

则，可得a<_,

24

m：C.

12【答案】C

【详解】

正方体ABC。—的棱长为1,

对于A,连接BC，交BG于点0,则CO1BC,,

由正方体的性质得AB1平面BCGB1,

/.ABLCO,又QA3IBC^B,.-.CO±平面ABC.D,,

7T

故直线3C与平面ABC。所成的角为NCBC=j故A正确；

''14

对于B,因为与。_1_平面ABC.D,,

点C到面的距离为8c长度的一半，

即a=也，故B正确；

2

对于C,因为BG//AR，所以异