八年级数学竞赛培优及答案 23 面积的计算

专题23面积的计算

阅读后思考

计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：

1.常见图形的面积公式；

2,等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；

3.等比定理：

（1）同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积

之比等于等于对应底之比.

（2）相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.

熟悉下列基本图形、基本结论：

例题与求解

【例1】如图，AABC内三个三角形的面积分别为5,8,10,四边形AEF。的面积为x,则X=.

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.

例1图

【例2】如图，在△ABC中，己知BO和CE分别是两边上的中线，并且BOJ_CE,BD=4,CE=6,

那么AABC的面积等于（）（全国初中数学联赛）

A.12B.14C.16D.18

解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△A8C与四边形BCDE面积存在一定的关系.

C

例2图

【例3】如图，依次延长四边形A8CD的边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,使第=募=弟=等

/\D£>CC£7DA

=m,右S叫边心EFG“=2SWia®ABCD)求m的值.

解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于

加的方程.

例3图

【例4】如图，P,。是矩形ABC。的边BC和CD延长线上的两点，%与CQ相交于点E,且/以。

-Z.QAD,求证：SSygABCD=5AAP2.

解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起

来，促使问题的转化.

【例5】如图，在RQA8C中，ZA=90°,AB=8,AC=6,若动点。从点B出发，沿线段区4运动

到点4为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点力作£>E〃8c交4c于点E,设动点£>运动的时间为X

秒，AE的长为y.

(1)求出y关于龙的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

(2)当尤为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)

解题思路：对于(1)利用△ADEs可得与x的关系式；对于(2)先写出S关于X的函数关系式，

再求最大值.

C

例5图

【例6】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP,BP,CP交BC,CA,AB于点。，E,F.

求证：⑴令+隹+隹i

磷+卷+*2

解题思路：过点A,P分别作8C的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系

起来，把翳转化为面积比，利用面积法证明.

例6图

能力训练

A级

2

1.如图，A8CQ中，AE：BE=\：2,5a4Ef=6cm,则右处的值为.（济南市中考试题）

2.如图，正六边形ABCQEF的边长为2小cm,P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为

3.如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PB=PC,△PBD的面积等于48,则4PBC的面积

为.（北京市竞赛试题）

4.如图，已知△BOF,△AOF,△BOD,△COE的面积分别为30,40,35,84,则4ABC的面积为.

（浙江省竞赛试题）

5.如图，已知4。是RSABC斜边BC上的高，DE是放△AOC斜边上的高，如果。C：AO=1：2,S^DCE

="，那么叉ABC等于（）（金华市中考试题）

A.4aB.9aC.16aD.25a

M

第6题图

6.如图，已知M是A2C。边AB的中点，CM交BD于点E,则图中阴影部分面积与ABC。的面

积之比为（）（山西省中考试题）

A-6B-4C-3D-12

2£

7.如图，在448<7中，。£〃80。£分别交48,4（7于点£>,£若叉皿?=254℃£，则2等于（）

*>△ABC

（浙江省宁波市中考试题）

A.（B.C.1D.《

8.如图，aABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于5c的矩形所截，A8被截成三等分，则

图中阴影部分面积面积为（）cn?.（广东省竞赛试题）

A.4B.2小C.3小D.4小

9.如图，平面上有两个边长相等的正方形A8CD和A5CO,且正方形AECO的顶点4在正方形

ABCD的中心，当正方形AB977绕4转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论

对吗？证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）

10.如图，设凸四边形48CD的一组对边A8,CD的中点分别为K,M求证：5四边柩ABCD=SAA&W+SADCK

A

K，M

第10题图

11.如图1,AB,CO是两条线段，M是AB的中点，SXDMC，SAOAC，SAOBC分别表示△。仞C，△DAC,

△力BC的面积，当48〃CO时，有SAM的。臂Sw......①.

(1)如图2,若图1中AB与8不平行时，①式是否成立？请说明理由.

(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点。H寸，问SADMC与SA〃C和有何相等关系？试证明

你的结论.(安徽省中考试题)

12.如图，在AABC中，ZACB=90°,乙48c=30。，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为0(0。

<0<180°),得到△A'B'C'.

(1)如图1,当4B〃CBH寸，设与CB相交于点。，证明：AAC。是等边三角形；

(2)如图2,连接42,85,设△AC4,和△BC5,的面积分别为叉AS和显^由求证:S-c#:S.BCB=1:3.

(3)如图3,设4c的中点为E,A0的中点为P,AC=a,连接EP,当0=时，EP长度最大，

最大值是.(安徽省中考试题)

B'

B'

图1图2B'图3

B级

I.如图，4在线段8G上，ABC。和。EFG都是正方形，面积分别为7cm?和1len?,则△€1£）£：的面

积等于.cm2.（武汉市竞赛试题）

2.如图，P为正方形ABC。内一点，E4=P8=10,并且P到CO边的距离也等于10,那么正方形

ABCD的面积是（北京市竞赛试题）

DFCE

3.如图，四边形ABC。中，点E,尸分别在3C,QC上，万=1，诙=2,若△A力尸的面积为“，四

rC

边形AECF的面积为〃则四边形ABCD的面积为（全国初中数学联赛试题）

A

第1题图第2题图第3题图第4题图

13

4.如图,图形A8CZ）中，AB〃C£>,AC和8。相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为了，△AOB

的面积为$,△OCD的面积为S2，则病+低=（山东省竞赛试题）

5.如图,分别延长△ABC的三边A8,BC,CA至4,B',C,使得4V=3A8,BB'=3BC,CC'=3AC,

=则於等于（

若5AABC1，).

A.18B.19C.24D.27

（山东省竞赛试题）

6.如图，若ABC。是2x2的正方形,E是AB的中点，F是3c的中点，AF与QE相交于点/,8。和AF

相交于点4,那么四边形的面积是（)

127D

A.3B.C.-卷

515

（江苏省竞赛试题）

第5题图第6题图第7题图

矩形A8CD中，E是5c上的一点，F是CZ）上的点，已知治ABE=SAA£>F=1SA8c少则尹空

7.如图,

°、4CEF

的值等于（)（北京市竞赛试题）

A.2B.3C.4D.5

8.(1)探究：如图1,在ABCO的形外分别作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形AOE,ZFAB

=ZEAD=90°,连接AC,EF.在图中找一个与△ME全等的三角形，并加以证明.

(2)应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2,连接EF,GH,IJ,KL,若

ABCO的面积为5,则图中阴影部分四个三角形的面积之和为.(长春市中考试题)

图1图2

9.如图，在梯形ABCO中，AD//BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰小月。??中，NQPR=

120°,底边QR=6cm,点B,C,Q,R在同一条直线/上，且C,。两点重合，如果等腰△PQR以lcm/s

的速度沿直线/箭头所示方向匀速运动，f秒时梯形ABC。与等腰△PQR重合部分的面积记为Sen?.

(1)当f=4时，求S的值；

(2)当4VE10时，求S与，的函数关系式，并求出S的最大值.(广州市中考试题)

10.有一根直尺的短边长为2cm,长边长为10cm,还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边

长为12cm,如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿

AB方向平移，如图2,设平移的长为xcm(0<x(10),直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的

面积Sen?.

(I)当x=0时，S=,当x=10时，S=；

(2)当0<x<4时，求S关于x的函数关系式；

(3)当4Vx<10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值.(徐州市中考试题)

图1图2

11.如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边8c保持不变的情况下，让顶点A

至底边8c的距离变小(仍保持三角形为等腰三角形)，这时S。8c。皿。的值变大、变小、还是不变?证

明你的结论.(全国初中数学联赛试题)

第11题图

12.(1)请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABC。分成面积相等的两部分；

(2)如图2,点M是矩形ABC。内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABC。分成

面枳相等的两部分；

(3)如图3,在平面直角坐标系中，直角梯形08C。是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，

其中力C〃。&0B=6,BC=4,CD=4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为

了方便驻区单位，准备过点尸修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线/将直角梯形

08CD分成面积相等的两部分.你认为直线/是否存在?若存在，求出直线/的表达式；若不存在，请说明

理由.(陕西省中考试题)

专题23面积的计算

例1.22提示：连接AF.

例2.选C提示：连接OE.

J3-1

例3.---------提示：连接G4,HB,EC,FD,AC,BD,则

2

S

AHAE=(^+DSAHM=(机+1)・mS^D,同理S&CG=机(〃？+DS^BCD，

故^/\HAE+S&CG=+1)*^ABCD,同理=+,

例4.提示：过E作E/〃8c交A8于R△AEF/■也△ADQ,XAAED^APEC,

,ADDEm

则n——=——，积ADCE=PCDE.

PCCE

3

例5.提示：(1)y=——x+6(0<x<4)

2

33

(2)S=—耳厂+6x=——(x—2)-+6,当x=2时，S段大值二6.

例6.(1)如图，分别过P,A作3c的垂线，垂足为4，A1.

贝Is△必c=QB。0"=空=a

SfcIfiCA4jMAD

同理四=心里，竺=闻也，

BESgBcCFSMBC

故PD+PE+PF_S^BPC+S4%8_]

A£>BECFS"j?c

PBPCcPDPEPF、-

m/、_P___D_____L_________L_______—a_(_________i__________L._______\—7

\L)----------------r-------十V十---------------r)一乙

ADBECFADBECF

4级

1.54cm2.18cM3.324.3155.C

6.C7.D8.C

9.提示：当正方形ABC。与正方形4£。。，的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的工；转

4

动后，两者重合面积仍为定值.

10.提示：过A、K、8分别作CQ的垂线.

11.(1)结论仍然成立，证明略.

(2)S&DMC

AC21

,,S03a

12.(1)略(2)△AC4^ABCB9V=_=_(3)120°,一

SABCBBC32

B级

G3〃1

1.V72.2563.一+-m

22

4.V30提示：SKltiABCD-{y[si+-Js^y

5.B6.C7.D8.(1)略⑵10

9.提示：(1)当f=4时，。与B重合，P与。重合,如图。，重合部分是△BDC,

SABOC=—X2X2-73=2\f3.

2

(2)①当仁也6时，如图从BQ=t~4,CR=6—4,

由△PQRsABQMs△CRN,

得§的_（驾2_e二）2SABQM_（一2）2―（占）

s.%）（24）’5峥5）（2/

-瓜-5)2+56

••S=SHPQR—SHBQLSHCRN'

2

当f=5时，S最大值=*后.

2

②当6<正10时，如图c,BR=10~t,BKLRK,且ZKRB=30。，所以8K=38/?=；(10—力，KR=^(10

-t),S=-BKKR=—(10-t)1.

28

当f=6时，S做大他=2石.

综合①②，当t=5时，S员大值=—V3.

2

图a图c

10.提示：(1)5=2cm2；S=2cm2.

(2)当0<烂4时，如图a,DG=AD=x,AE=EF=x+2,

。(EF+DG)xDE、-2

S=--------------------=2x+2cm.

2

(3)当4Vx<10时，应分两种情况进行讨论：