2022年 广东省中考数学常考压轴试题及答案解析

【精编】最新广东省中考数学压轴题

(含答案)

一.(中考压轴题)(8分)如图，4V是。必的直径，渺〃x轴，AB

交。加于点C.

(1)若点力(0,6),N(0,2),/ABN=30°,求点〃的坐标;

(2)若〃为线段脑的中点，求证：直线口是。"的切线.

二.(中考压轴题)(9分)如图，已知抛物线尸-1+公+。与一直

线相交于4(1,0)、CC-2,3)两点，与y轴交于点儿其顶点为

D.

(1)求抛物线及直线力。的函数关系式；

(2)若尸是抛物线上位于直线力。上方的一个动点，求△加&的面积

的最大值及此时点尸的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点幽使物的周长最小.若存在，请

求出物点的坐标和△//的周长的最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

三.（中考压轴题）（8分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长

600A?的普通公路，另一条是全长480痴的高速公路，某客车在高速

公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲

地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求

该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.

四.(中考压轴题)(8分)如图，4V是。"的直径，八初/x轴，AB

交。"于点C.

(1)若点力(0,6),N(0,2),BC=6,求/力脉的度数;

(2)若〃为线段,协的中点，求证：直线切是。〃的切线.

五.(中考压轴题)(9分)如图所示，已知抛物线«#0)

与一次函数的图象相交于4(-1,-1),77(2,-4)两

点，点户是抛物线上不与几夕重合的一个动点，点0是y轴上的一

个动点.

(1)请直接写出a,k,力的值及关于x的不等式a*VAx-2的解

集；

(2)当点尸在直线力方上方时，请求出△序方面积的最大值并求出

此时点月的坐标；

(3)是否存在以RQ,A,〃为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请直接写出R0的坐标；若不存在，请说明理由.

六.（中考压轴题）如图，矩形4比7?中，AB=4,BC=6,E是EC边

的中点，点P在线段49上，过〃作4U四于凡设川=人

备用图

（1）求证：工PFAs4ABE；

（2）当点尸在线段）〃上运动时，设用=筋是否存在实数x,使

得以点RF,少为顶点的三角形也与△/应相似？若存在，请求出

x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以〃为圆心，如为半径的。〃与线段）后只有一个公

共点时，请直接写出x满足的条件：

七.(中考压轴题)已知，抛物线y=ax+ax+b(a#0)与直线y=

2x+勿有一个公共点"(1,0),且a<6.

(1)求。与a的关系式和抛物线的顶点〃坐标(用a的代数式表

示)；

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为M求△。眦的面积与a的

关系式；

(3)a--1时，，直线y--2x与抛物线在第二象限交于点G,点

G、〃关于原点对称，现将线段M沿y轴向上平移1个单位(t>0),

若线段与抛物线有两个不同的公共点，试求方的取值范围.

答案

•【分析】(1)在Rt△/眈中，求出49即可解决问题;

(2)连接加；/纥.只要证明乙机刀=90°即可；

【解答】解：(1)，.•力的坐标为(0,6),N(0,2),

力笈430°,ZANB=90°,

:.AB=2AN=8,

由勾股定理可知：NB=7AB2-AN2=W3，

：.B(473,2).

(2)连接加；NC

•.3》是。〃的直径，

：.ZACN=^°,

：.ZNCB=90°,

在Rt/XMZ中，〃为/历的中点，

：.CD=^NB=ND,

:./CND=/NCD,

'：MC=MN,

:./MCN=/MNC,

*：/MNC'/CND=9S,

:./Mg/NCD=9G°,

即MCkCD.

二.直线切是。"的切线.

【点评】本题考查圆的切线的判定、坐标与图形的性质、勾股定理

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

二.【分析】(1)根据点4。的坐标，利用待定系数法即可求出抛

物线及直线的函数关系式；

(2)过点尸作轴交x轴于点色交直线亦于点凡过点。

作&〃y轴交x轴于点。，设点〃的坐标为(x,-/-2^+3)(-

2VxVl),则点£的坐标为(x,0)，点方的坐标为(x,-x+1),

进而可得出"的值，由点。的坐标可得出点0的坐标，进而可得

出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S3~於+3,

再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；

(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用

配方法可找出抛物线的对称轴，由点C,N的坐标可得出点4N关

于抛物线的对称轴对称，令直线力。与抛物线的对称轴的交点为点

M,则此时周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标

特征求出点必的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周

长公式求出△4VV周长的最小值即可得出结论.

【解答】解：(1)将/(1,0),C(-2,3)代入尸-x+bx+c,

得：

［一直：，，解得：2,

(-4-2b+c=3Ic-3

.•.抛物线的函数关系式为y=-x-2^+3；

设直线力。的函数关系式为y=/a¥+〃(/#0),

将4(1,0),。(-2,3)代入y=/z?x+〃，得：

fc0q，解得：

|L-2m+n=3(n=l

二.直线4。的函数关系式为y=-x+1.

(2)过点尸作轴交x轴于点色交直线4C于点色过点。

作&〃y轴交x轴于点Q,如图1所示.

设点尸的坐标为(筋-x-2^+3)(-2Vx<l),则点后的坐标

为(x,0),点尸的坐标为Qx,-x+1),

:、PE=-x-2x+3,EF=-x+1,

EF=PE-EF=-x-2x+3-(-x+1)=-%-x+2.

•••点。的坐标为(-2,3),

.•.点0的坐标为(-2,0),

."0=1-(-2)=3,

SAAPC—PF=--^X-yA+3=-(A+y)2+等.

ZZZZZo

-1<0,

.•.当x=-，时，的面积取最大值，最大值为《，此时点P

Zo

的坐标为(-,，当).

(3)当x=0时一，y=-x-2^+3=3,

.•.点4的坐标为（0,3）.

Vy=-x-2x+3=-（x+1）2+4,

.•.抛物线的对称轴为直线x=-1.

二•点。的坐标为（-2,3）,

...点C4关于抛物线的对称轴对称.

令直线4。与抛物线的对称轴的交点为点M,如图2所示.

•••点C"关于抛物线的对称轴对称，

：.MN=CM,

：.AM^MN=AMyMC=AC,

二.此时△4W周长取最小值.

当X--1时一，y=-x+1=2,

此时点物的坐标为（-1,2）.

\•点/的坐标为（1,0）,点。的坐标为（-2,3）,点/V的坐标

为（0,3）,

22=

AC=VS2+32=3V2,AN=V3+l

C^=A^^AN=AC+AN=3yf2^410.

在对称轴上存在一点/（-1,2）,使△加财的周长最小，丛ANM

周长的最小值为3&+屈i.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求

二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上

点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的

关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线

AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△砒二-

-1^+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短

找出点必的位置.

三.【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从4地

道〃的速度=客车由普通公路的速度+45,列出方程，解出检验并作

答.

【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通

公路需2x小时，

根据题意得：矍+45=螫，

2xx

解得x=4

经检验，x=4原方程的根，

答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时.

【点评】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合

适的等量关系是解决问题的关键.根据速度=路程+时间列出相关

的等式，解答即可.

四.【分析】(1)得出4K力反利用直角三角形的性质解答即可；

(2)连接加；NC.只要证明/掰力=90°即可；

【解答】解：(1)的坐标为(0,6),N(0,2),

：.AN=A,

：.AM=MC=2,

•.3"是。物的直径，

：.ZACN=ZBCN=9Q°,

:AACNSABNC,

,:BC=6,

：.AC=2,

：.AB=2AN=8,

：.ZABN=3Q°,

(2)连接加；NC

•.3"是。物的直径，

：.ZACN=9Q°,

\ZNCB=90°,

在RtZX/O中，〃为脑的中点,

CD=^NB=ND,

：.ZCND=ZNCD,

'：MC=MN,

：.AMCN=/MNC,

'：/MNCMCND=W,

:./M卧/NCD=9G,

即MCVCD.

二.直线切是。"的切线.

【点评】本题考查圆的切线的判定、直角三角形的性质等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

五.【分析】(1)根据待定系数法得出a,k,b的值，进而得出不

等式的解集即可；

(2)过点4作y轴的平行线，过点方作x轴的平行线，两者交于

点、C,连接PC.根据三角形的面积公式解答即可；

(3)根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可.

【解答】解：(1)把4(-1,-1),代入y=a*中，可得：&=

-L

把力(-1,-1),B(2,-4)代入尸Ax+6中，可得：

[2k+b=-4

解得:信，

所以a=-l,k=-1,b=-2,

关于x的不等式ax'<kx-2的解集是x<-1或x>2,

(2)过点力作y轴的平行线，过点〃作x轴的平行线，两者交于

点C.

'：A(-1,-1),夕(2,-4),

"(-1,-4),AC=BC=3,

设点〃的横坐标为m,则点〃的纵坐标为-in.

过点〃作2c于D,作PE1BC于反则〃(-1,-/),£(勿,

-4),

：.PD=nA\,PE=-m+4.

••S^APB-S^APC^S^BPC-S4ABe

=yAC-PD+yBC-PE-yAC-BC

1191

=yX3(mH)+yX3(-m^+4)-yX3X3

_32/小q

3_

4<0,nF——J—4，-

'2X(^-)，

二.当"时，S-PB的值最大.

2

.••当IIF|■时，-11)2=得，S^APB--1-in+yirr1-3=3-^->

即△阳8面积的最大值为够，此时点尸的坐标为(第4)

oZ4

(3)存在三组符合条件的点，

当以RQ,A,方为顶点的四边形是平行四边形时，

'：AP=BQ,AQ=BP,/(-l,-1),2?(2,-4),

可得坐标如下：

①〃的横坐标为-3,代入二次函数表达式，

解得：P(-3,-9),Q(0,-12)；

②户'的横坐标为3,代入二次函数表达式，

解得：P"(3,-9),Q"(0,-6)；

③P的横坐标为1,代入二次函数表达式，

解得：尸(1,-1),Q(0,-4).

故：户的坐标为（-3,-9）或（3,-9）或（1,-1）,

0的坐标为：0（0,-12）或（0,-6）或（0,-4）.

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的

综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合

起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的

关系.

六.【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个

角对应相等，从而证明三角形相似；

（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考

虑：①当N必F=N及山时，则得到四边形/曲为矩形，从而求得

x的值；②当/期=/力旗时，再结合（1）中的结论，得到等腰

XAPE.再根据等腰三角形的三线合一得到分是/少的中点，运用勾

股定理和相似三角形的性质进行求解.

（3）首先计算圆〃与线段相切时，x的值，在画出圆〃过月时，

半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确

定x的取值范围.

【解答】（1）证明：•••矩形/比〃

：.ZABE=9Q°,AD//BC,

：.ZPAF=ZAEB,

又,：PFLAE,

：.ZPFA=90°=/ABE,

:.MPFAS^ABE.

(2)解：分二种情况：

①若△473s4ABE,如图1,则/PEF=/EAB,

：.PE//AB,

四边形ABEP为矩形,

:.PA=EB=3,即x=3.•••

②若则/郎=//龙，

'：AD//BC

：.ZPAF=ZAEB,

:./PEF=/PAF.

：.PE=PA.

,：PFLAE,

.•.点1为4的中点,

Rt△/庞中，AB=4,BE=3,

：.AE=5,

：.EF=^AE=^,

'：XPFEsXABE,

.PEEF

,,AE=BE，

_5

xJ,

可话

：.PE=^-,即广华.

bb

...满足条件的X的值为3或答.…

(3)如图3,当。〃与相切时，设切点为G,连接〃G,

：AP=x,

:.PD-DG=6-x,

/DAG=/AEB,/AGD=/B=9G°,

:.△AGMMEBA,

.ADDG

,,AE=AB，

.6=6-x

••可—丁

当。〃过点£时，如图4,。〃与线段有两个公共点，连接应，此

时PD=DE=5,

AP=x=^）-5=1,

...当以〃为圆心，如为半径的。〃与线段/月只有一个公共点时，x

满足的条件：x=1•或OWxVl；

故答案为：x=£或OWxVl.…（12分）

5

图4

【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角

形的判定和性质.特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切,

也可以相交，但其中一个交点在线段外.

七.【分析】(1)把必点坐标代入抛物线解析式可得到8与a的关

系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点〃的坐标；

(2)把点"(1,0)代入直线解析式可先求得力的值，联立直线

与抛物线解析式，消去力可得到关于x的一元二次方程，可求得

另一交点N的坐标，根据判断aVO,确定〃、欣N的位置，

画图1,根据面积和可得△2眦的面积即可；

(3)先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程

组可求得当与抛物线只有一个公共点时，力的值，再确定当线

段一个端点在抛物线上时，方的值，可得：线段组与抛物线有两

个不同的公共点时”的取值范围.

【解答】解：(1)..,抛物线尸aV+ax+〃有一个公共点物(1,0),

a+a+6=0,即b—-2a,

y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+4)J-•，

抛物线顶点〃的坐标为(-右-号)；

(2)•.•直线y=2x+/经过点〃(1,0),

.,.0=2X1+勿，解得勿=-2,

'.y=2x-2,

,fy=2x-2

则2，

y=ax+ax-2a

得a*+(a-2)x-2a+2