2023年山西省康杰高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=（2sin您,cos9）出=（&cos”,2cos丝），函数/。）=〃石在区间［0,也］上恰有3个极值点，则正

22223

实数0的取值范围为（）

85、75、57、,7》

A・r）Br.C.rD.（二,2］

5242344

2.若函数y=2s山（2x+e）1|同＜?的图象经过点则函数/（x）=s讯2x—9）+cos（2x—9）图象的一条

对称轴的方程可以为（）

17兀

C.x=-----D.

24

14

3.已知正项等比数列｛%｝中，存在两项金,凡，使得弧・%=3%。6=2%+3。4，则一+一的最小值是（)

mn

379

234

4.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）

D.

书祝国

22

5.已知双曲线A-2r=1（a>0为>0）的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）

a~b~

A.y=土与XB.y=土任C.y=±^xD.y=±2x

TT3TT

6.已知函数/（x）=Acos（s+。）（A>0,（o>0,|^|<-）,将函数/（x）的图象向左平移一个单位长度，得到

24

函数g（x）的部分图象如图所示，则/（%）=;是虫■的（）

31212，3

B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知A48C为等腰直角三角形，A=5,BC=2垃，”为AABC所在平面内一点，且=与+（乙4,

则砺•凉=（）

7_51

A.272-4B.——C.D.——

222

8.设等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，若。4=5,Sg=81,则为）=（）

A.23B.25C.28D.29

9.设i为虚数单位，复数z=（a+i）（l—i）eR,则实数。的值是（）

A.1B.-1C.0D.2

10.若函数./"（x）=|lnR满足/（a）=/（。），且0<a<。，则”士211的最小值是（）

4。+2〃

3

A.0B.1C.-D.2V2

11.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

x-2y-2<0

12.若X、，满足约束条件x-y+lNO,则z=3x+2y的最大值为()

yWO

A.5B.9C.6D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线土-匕=1的右准线与渐近线的交点在抛物线丁=2内上，则实数，的值为.

412

14.设S“为数列｛q｝的前〃项和，若2s“=5勺-7,则4=一

15.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与之间

的概率为.

16.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a§,则a《=，as=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=2gsinxcosx_2cos?x+l.

(1)求函数“X)的单调递增区间；

(2)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足/(8)=2,a=8,C=5,求COSA.

18.(12分)在数列｛a“｝中，已知4=1,且叫用=(〃+l)a"+3”(〃+l),nGN*.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设—L,数列也｝的前八项和为7；,证明：-<Tn<­.

44+i43

19.(12分)在四棱锥P-ABCD中，ABJ.PA,48〃。9,48=,。。,424。是等边三角形，点M在棱PC上，

2

平面PAD_L平面ABCD.

p

（1）求证：平面PCD_L平面PAD；

（2）若=求直线AM与平面尸8。所成角的正弦值的最大值；

ANPMAN

（3）设直线AM与平面PQ相交于点N,若f=求F的值.

AMPCAM

20.（12分）已知不等式|2%-1|一卜+1|<2的解集为｛》|〃<》<匕｝.

（1）求实数。，。的值；

3abk

（2）已知.>y>z存在实数%使得-2,_丫）+4（尸2/二恒成立’求实数上的最大值.

21.（12分）如图，四棱锥P—中，四边形ABCD是矩形，AB^—AD,△PAO为正三角形，且平面Q4£>_L

2

平面ABC。，E、尸分别为PC、/归的中点.

（D证明：平面ADEE_L平面P8C；

（2）求二面角8—DE—C的余弦值.

22.（10分）如图，在四棱柱C-AB砂中，平面ABE/F平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形，AB//EF,

ZABE=90°,BE=EF=1，点”为8C的中点.

（I）求证：£¥//平面ACF

(H)求二面角E-BC-E的余弦值.

(IH)在线段EF上是否存在一点N,使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为卫，若存在求出EN的长，若不

21

存在说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

TT4万

先利用向量数量积和三角恒等变换求出f(x)=2sin(s+m)+l,函数在区间［0,；］上恰有3个极值点即为三个最

63

TTJT-TTkTT

值点，+4=2+解出，x^—+—,k&Z,再建立不等式求出人的范围，进而求得。的范围.

6236yty

【详解】

解：/(x)=6sincox+2cos=百sincox+cosa)x+1

JI

=2sin(tyx+-)+1

令69%+乙=己+攵乃,攵£Z,解得对称轴X=+£Z,/'(0)=2,

623tya>

又函数/(x)在区间［0,生］恰有3个极值点，只需^+―<—<—+—

33a>co33coco

75

解得〈1.

42

故选：B.

【点睛】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

⑴利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成丁=同出11(3+0)+，或y=Acos(m;+e)+，的形式;⑵根据

自变量的范围确定(ox+(p的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

2.B

【解析】

由点求得。的值，化简/（X）解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得/（X）的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

由题可知25山（2乂白+，|=0,|同＜1.0=一二

k12J26

所以/（x）=sin2x+^+cos2x+=V2sin^2x+-^+^=6sin2x+-j^^

人.5TT7101r

令2xd----=——卜k7i,kGZ,

122

47Ck兀］）

得x=----1---,keZ

242

.,377

令4=3,得X=-----

24

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

3.C

【解析】

由已知求出等比数列｛4｝的公比，进而求出租+〃=4,尝试用基本不等式，但根,〃£N“取不到等号，所以考虑直

接取mn的值代入比较即可.

【详解】

4=2%+3%,q?一24一3二0,.二夕=3或,=一］（舍）.

n+,,2

,/•%=3al,/.am・an—af•y~=9a；,m-\-n—4.

147

当"2=1,〃=3时一+一=一；

mn3

14s

当m=2,〃=2时一+-=二；

mn2

当加=3,〃=1时，-+-=^,所以最小值为Z.

mn33

故选:C.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.

4.C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项c是符合要求的.

考点：三视图

5.A

【解析】

根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出c=»,结合。2=4〃="+。2,得出/=3b2,即可求出双曲线的渐近

线方程.

【详解】

22

解：由双曲线鼻―#=1（。＞0力＞0）可知，焦点在X轴上，

则双曲线的渐近线方程为：y=±-x,

a

由于焦距是虚轴长的2倍，可得：c=2b,

：・c2=4b2=cr+b2，

即：a2=3b2r—=9

a3

所以双曲线的渐近线方程为：y^+—x.

3

故选:A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.

6.B

【解析】

先根据图象求出函数g（X）的解析式，再由平移知识得到/（X）的解析式,然后分别找出

/（X）=:和gf曰+21=走的等价条件，即可根据充分条件，必要条件的定义求出.

361212J3

【详解】

设g(x)=Asin(ft>x+〃),根据图象可知,

A=l,-T=--[|^7'=^-^cy=2

46{12

371

将函数g(x)的图象向右平移了个单位长度，得到函数，⑺的图象

、

.〃、(3zrsin2(x~—-7C

••/(x)=gx---cos2x--\.

I47\47I3

令6=，贝4sin。=—=>cos2。=1一Zsin?8=」,显然,cos2。=2Nsin6=—

63333

/(x)=I是gj土+2)=@的必要不充分条件.

312j3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式，三角函数的图形变换，二倍角公式的应用，充分条件,必要条件的定

义的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.

7.D

【解析】

以AB,AC分别为x轴和、，轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点”的坐标，进而求得而反而，由平面向

量的数量积可得答案.

【详解】

如图建系，则4(0,0),8(2,0),C(0,2),

*V

\由函=!0百+1画，易得则丽・苏

X>42V22)(22八22J2

AB

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运

算求解能力.

8.D

【解析】

由Sg=81可求生=9,再求公差，再求解即可.

【详解】

解：•.•{4}是等差数列

S9=9a5=81

••%=9,又：%=5,

公差为d=4,

«|0=2+6d=29,

故选：D

【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.

9.A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得”的值.

【详解】

复数z=(a+i)(l-

由复数乘法运算化简可得z=a+\+(\-a)i,

所以由复数定义可知1一。=0,

解得。=1,

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

10.A

【解析】

由/(。)=/。)推导出/2=,，且0<。<1，将所求代数式变形为色±^=22-——,利用基本不等式

77a4a+2b22a+b

求得2。+匕的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

函数/'(x)=|lnx|满足f^a)=f(b),.,.(ina)2=(lnb)2,即(lna-ln/?)(lna+lnZ?)=0,

•：Q<a<b,Ina<In/?,lna+ln》=0,即ln(a/?)=0=曲=1,

.1.l=ab>a2>则0<a<1,

由基本不等式得2a+0=2a+Lz2、2a-L=2血，当且仅当。=工时，等号成立.

aNa2

4/+/4_(2。+〃/-4々力-4_(2。+〃『-8_2。+。4

4a+2Z?2(2a+b)2(2a+b)22a+b

由于函数y=在区间［2立同上为增函数，

L4/72+-42\114

所以，当2a+b=2近时，今取得最小值工_：=0.

4a+2。22V2

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

11.D

【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由图可知月收入的极差为90—30=60,故选项A正确;

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确;

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为3(),故选项C正确，选项D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

12.C

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2y,找出直线在丁轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数

计算即可.

【详解】

x—2y—2<0

作出满足约束条件x-y+120的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.

y<0

Z

-

2

由z=3x+2y,得y二一:彳+不，平移直线丁=一;x+万，当直线y=经过点（2,0）时，该直线在），轴上

的截距最大，此时Z取最大值，

即zmax=3x24-2x0=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想

的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.一

2

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.

【详解】

解：双曲线二一二=1的右准线》=艺=3=1,渐近线旷=±百x，

412C4'

22

双曲线三一二=1的右准线与渐近线的交点（i,±G）,

412

交点在抛物线y2=2px上,

可得：3=2p,

3

解得p=/.

3

故答案为一.

2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.

【解析】

7

当〃=1时，由2s।=5%-7=24,解得当时，2S„=5«„-7,25,,.,=5«„_(-7,两式相减可得

2a.=54—5怎，即5a,i=3%,可得数列｛6,｝是等比数列再求通项公式.

【详解】

7

当〃=1时，2S]=5%-7=2%,即

当〃22时，2S.=5an-7,2S„_,=5an_t-7,

两式相减可得2a“=5。“,

即5a“_|=3an,

a5

即jn=

*3

7s

故数列｛《,｝是以I为首项，，为公比的等比数列，

所以""=/'

故答案为：1

【点睛】

本题考查数列的前〃项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.

1

15.-

3

【解析】

在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,

其中满足条件AB弦长介于R与6/?之间的弧长为-«27rR,

则AB弦的长度大于等于半径长度的概率pl?咚!.

2兀R-

故答案为：

16.164

【解析】

只需令x=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得44=C；+2C；+C；.

【详解】

令x=0,得”5=(0+1)3(0+2)2=4,

而(x+l)3(x+2)2=(x+l)3[(x+l)2+2(x+l)+l]=(x+l)5+2(x+l)4+(x+1)3；

则o»=C；+2C：+C；=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JI71,|

17.(1)一二十攵肛二十%"次wZ；(2)一

_63J7

【解析】

(D化简得到/(x)=2sin(2x-g],取一g+2版■42%一^4^+2必2eZ,解得答案.

16J2o2

(2)/⑻=2sin(2B)=2,解得8=(,根据余弦定理得到0=7,再用一次余弦定理解得答案.

【详解】

(1)/(x)=2^sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=2sin(2》一看).

^--+2k7v<2x--<—+2k7r,kGZ,解得%£—工+左肛2+左万,keZ.

262L63

(2)/(8)=2sin(2B-m=2,

因为BG(0,7),二23一巳£兀1\7t，故B=%

?，-6-

根据余弦定理：h2=a2+c2-2accosB=49»b=7.

b1+c2-a252+72-82]_

cosA=

2bc2x5x77

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

2

18.(1)an=3/7-In；(2)见解析.

【解析】

(1)由已知变形得到刍也-&=3,从而｛%｝是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可;

〃+1nn

(2)先求出数列｛包｝的通项，再利用裂项相消法求出7“即可.

【详解】

(1)由已知，&也="+3,即乌&一%=3,又3=1,则数列｛组｝是以1为首项3

〃+1nn+1n1n

为公差的等差数列，所以％=l+(〃-l)x3=3〃-2,即/=3〃2-2〃.

n

n(n+l)1111、

(2)因为q="(3〃-2),则2------------=------------------------=—(----------------------)

44+1(3〃-2)(3〃+1)33〃-23〃+1

所以小扣一+(;—)+…+(看-*)]乜4(1-看)《又

｛1一；^二｝是递增数列，所以综上，\<Tn<\.

3/1+1443

【点睛】

本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.

19.(1)证明见解析(2)仝二(3)——=-

19AM2

【解析】

(1)取AZ)中点为。，连接P。,由等边三角形性质可得P。，4),再由面面垂直的性质可得PO±OC,根据平行直线

的性质可得CDLPA，进而求证；

(2)以。为原点，过。作AB的平行线OF，分别以。4,OF,。尸分别为x轴,)'轴,z轴建立空间直角坐标系，设

AB=AD=2,由点”在棱PC上，可设OM=(1-t)OP+tOC=(-Z,4r,6(1T))Jw[0,l],即可得到AM，再求得平

面PBC的法向量，进而利用数量积求解;

(3)设40=2,。。=〃?,网=也=&,则丽=后无，前=女丽7,求得而7,俞，即可求得点N的坐标，再由

AMPC

DN与平面PBD的法向量垂直，进而求解.

【详解】

(1)证明:取AO中点为0,连接P0,

因为APAD是等边三角形，所以P0■1A。，

因为平面R4D1平面ABCD且相交于AO,所以尸。，平面ABCD,所以P0_LOC,

因为AB〃CD,AB_LP4,所以C。_LB4,

因为POAPA=?,在平面PAD内，所以CD_L平面P4O,

所以平面PC。，平面PAO.

(2)以。为原点，过。作AB的平行线OF，分别以。4,OF,OP分别为工轴,丁轴,z轴建立空间直角坐标系，设

W=AD=24!|A(l,0,0),B(l,2,0),C(—L4,0),p(0,0,b),

因为M在棱PC上，可设OM=(1-t)OP+tOC=(―r,4r,6(1—f)),rG[0,1],

所以而7=(t-1,4t,V3(l-r)),

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),因为反=(-2,2,0),PC=(-1,4,—百)，

心BC=。-2x+2y=0

所以一，即r+4尸血=。'令"i可得’y=l，即3=(1,1,6),

n-PC=0

z=A/3

设直线AM与平面P8C所成角为仇所以sin6=1c°s<丽,/；AM-n1_____

AMM*一+1)，

可知当r=L时,sin夕取最大值上典.

1019

(3)设A。=2,DC=加，则有p(0,0,百),。(_1,九0),得正=(_1,皿_百)，

ANPM___—►—►___.___•

设——二——二k，那么PM=kPC,AN=ZAM,所以尸M=(—k,mk,73k),

AMPC

所以M(-k,mk,布(1一k)).

因为A(l,0,0),所以而？=(-k加Q-k)),

因为丽=kAM,所以硒=(一二一七,加二,瓜Q—k)),

所以N(―匕—k+l,mk~,5/3^(1—ky).

又因为。(一1,0,0),8(1,£,0)所以丽=(_左2一%+2,如匕目4]_9)，

丽=(―1,0,—百)，丽=[2,g,。]，设平面POB的法向量为玩=Xz),

x=~\/3

-x-Gz=0

庆•丽=04也_[,4百]'

则一，即m，令x=-6\可得<y=------，即阳=73,------,1

m-DB=02xd——y=0m(加,

2z=1

因为N在平面PO6内,所以而J.海,所以加.比=0,

4C

所以一百(一42一%+2)+士•〃永2+限(1一%)=0,即23+左一1=0,

m

【点睛】

本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角，考查运算能力与空间想象能力.

2

20.(1)a=一一，方=4；(2)4

3

【解析】

(1)分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；

(1]、

(2)转化原不等式为：k<(x-y+y-z]——+——,利用均值不等式即得解.

(x-yy-z)

【详解】

(1)当X<—1时不等式可化为一(2x-l)+(x+l)<2=xe0

i2I

当一1«%(5时，不等式可化为一(2%—1)—(X+1)<2=>—§<X<5；

当时，不等式可化为2x—1—(%+1)<25<工<4：

综上不等式的解集为[―|，4]=>。=一|,8=4.

一一23ab、k

(2)由(1)有“=一彳，/?=4,-------;+-........-----------

32(x-y)4(y-z)x-z

11k

<=>-----1----->----,\/x>y>z

x-yy-zx-z

,/J111-x—yy-z

<^>k<(x—y+y—z)--------1--------=2H-------+----,

(x-yy-z)y-zx-y

/、

,,~x-yy-z

即442+——-+-——

Iy-zx-y)m.n

-x-yy-z,

而2+--+-->4

y-zx-y

x-yy-zx+z

当且仅当：一一,即x-y=y-z,即/=：^—时等号成立

y-zx-y2

：.k<4,综上实数上最大值为4.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

21.(1)见解析；(2)旺

4

【解析】

(1)取AD中点。，中点“，连接P。，OH,PH.设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.

通过证明OG，P〃,OG，EE,证得。G_L平面P8C,由此证得平面ADEF_L平面P8C.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面OEC和平面的法向量，计算出二面角B-OE—C的余弦值.

【详解】

(D取A。中点。，BC中点H,连接P。，OH,PH.

设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.

设AD=2,则48=百，P0=6：.OGLPH.

由已知ADLPO,AD_LOH,二平面PO”，AOJ_OG.

VEF//-BC//-AD,：.EF±OG,

=2=2

•••£Fc=G,JOG1平面P8C,

■:OGu平面ADEF，二平面ADEF_L平面PBC.

(2)由(1)及已知可得POL平面ABC。，建立如图所示的空间坐标系O—型，设4)=2,则尸(0,0,6,

、

c(6,1,0),0(0,1,0),3便,-1,0),E，诙=,DC=(A/3,0,0),丽=(_6,2,0,

,252

7~2,

&=0

73，令＞=百得而=(0,百,1卜

设平面DEC的法向量为加=(x,y,z),二〈出1

x——y+——z=0

I222

.1一百_n

设平面3DE的法向量为1=($,%，Z。)，；・(2A°2?02"一，令x0=2得3=(2,百,一1),

、-Go+2%=0

:.cos(m,而=—1=立，：二面角B-DE-C的余弦值为—.

'/2x2V244

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

22.(I)证明见解析；(II)里；(皿)线段EF上是存在一点N,|硒|=1-立