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文档简介

初中数学正弦综合强化练习1

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.如图,AMC的顶点是正方形网格的格点,则sinB的值为()

3

2.在放AABC中,/C=90o,AB=2,BC=-,贝UsinB的值是().

2

n4将

L.----\-)♦---

4.如图,在心AACB中,NC=90°,sinB=0.5,若AC=6,则8c的长为()

A.8B.12C.6方D.126

5.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()

Vio

B.rVz*----

510

6.如图,在4x5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△A8C的顶点都在这

些小正方形的顶点上,那么sin/ACB的值为().

7.在RAABC中,zC=90°,〃、b、c分别是乙4、乙B、4c的对边,贝U()

.Aa一4a八.门b—八a

A.sinA=—B.cosA=—C.sinn=—D.tann=—

bccb

8.如图,在R/A45C中,CD是斜边AB上的高,ZAr45。,则下列比值中不等于

sinA的是()

A,0BDCBcCD

nB.----C.D.----

ACCB~ABCB

二、填空题

9.如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、8c为边在线段AB的同侧

作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,贝ljsin/CEG=

10.如图,在△ABC中,点D在边BC上,AD1AC,ZBAD=ZC,BD=2,CD=

6,那么tanC=

11.如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①,②,③,④四块后,拼接成如图2不

重叠、无缝隙的正方形A8CQ,则图2中cosa的值为,图1中EF的长为

图1

图2

12.如图,若点A的坐标为(1,6),则sin/1

13.如图,在矩形ABCO中,点E在边上,△8EC与AFEC关于直线EC对称,点

B的对称点尸在边AO上,G为CD中点,连结BG分别与CE,b交于M,N两点,若

BM=BE,MG=1,则BN的长为,sinNAFE的值为.

aFD

14.如图,已知在MAABC中,ZACB=90°,AC=1,AB=2,贝iJsinB的值是

15.如图,RhABC中,ZACB=90°,。是AC上一点,连接BO,将AABC沿BD翻

4

折,点C落在A3边的点C'处,连接CC'.若45=15,sinA=-,则CC长.

A

D

B

16.在AABC中,ZC=90°,若tanA=g,则sinB=

三、解答题

17.如图,四边形A8CC中,对角线AC,8。有交点,且/4BC+NAOC=90。.点、E

与点C在B。同侧,连接BE,CE,DE,若△ABDsACBE.

⑴求证:DC1CE;

(2)若若=[8。=20,5/8=怖5.8£'

求ABDE的面积

oCo10

18.如图1,四边形ABCO内接于OO,BD为直径,人。上存在点E,满足

AE=CD,连结BE并延长交C。的延长线于点F,BE与AD交于点G.

图1

(1)若NDBC=a,请用含a的代数式表列4GB.

(2)如图2,连结C£,CE=BG.求证;EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,AD=2.

①若tan/A£>8=3,求/GO的周长.

2

②求CG的最小值.

3

19.如图,在Rtz^ABC中,ABAC=90°,4力是BC边上的局,若sinNC4D=g,

BC=25,求AC的长.

20.如图,AA8C中,AC=BC,点/是AABC的内心,点。在边8c上,以点。为圆

心,。8长为半径的圆恰好经过点/,连接C/,BI.

(1)求证:C7是。。的切线;

⑵若AC=BC=5,AB=6,求sinNAB/值.

21.如图,点。是AABC的边AB上一点,。。与边AC相切于点E,与边BC、48分

别相交于点。、F,且DE=EF.

(1)求证:ZC=9O°;

(2)当BC=3,sinA=|时,求AF的长.

22.在RtZXABC中,NC=90。,ZB=25°,6=10,解这个直角三角形(结果保留小

数点后一位).(参考数据:sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47)

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根据勾股定理列式求出AB,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

【详解】

解:由勾股定理得,AB=yj32+32=3\[2>

故选:B.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦

为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

2.C

【解析】

【分析】

首先根据勾股定理求得AC的长,然后根据正弦的定义即可求解.

【详解】

解:根据勾股定理可得:4C=〃层-BC?=J?-(尹=?,

故选:C.

【点睛】

本题主要考查了求一个角的正弦值,求出AC的长,正确理解正弦的定义是解题关键.

3.B

【解析】

【分析】

根据网格的特点,找到8点所在网格的顶点。,连接30,通过勾股定理的逆定理判断

是直角三角形,进而根据正弦的定义求得sinA的值.

【详解】

答案第1页,共22页

如图,连接B。,

c

根据网格的特点可知:

AD=飞联+展=2垃,AB=y)f4号=M,BD=S+f=叵,

:.AD2+BD2=\O,AB2=10,

■■■△ABO是直角三角形,

.-.ZA£>B=90o,

BD拉方

/.sinA=

710-5

故选B

【点睛】

本题考查了求一角的正弦,网格中证明三角形是直角三角形,勾股定理以及勾股定理的逆

定理的应用,证明是△43。是直角三角形解题的关键.

4.C

【解析】

【分析】

利用正弦的定义得出AB的长,再用勾股定理求出BC.

【详解】

AC

W:VsinB==0.5,

AB

AAB=2AC,

VAC=6,

答案第2页,共22页

.".AB=12,

BC=-JAB2-AC2~6-\/3,

故选C.

【点睛】

本题考查了正弦的定义,以及勾股定理,解题的关键是先求出AB的长.

5.B

【解析】

【分析】

先利用勾股定理得出DC,AC、AD的长,根据勾股定理的逆定理可得NCDA=90。,再利

用锐角三角函数关系求出答案.

【详解】

解:如图所示,取格点D,连接DC,

由网格可得出DC=-y2<AC—\f]Q,AD=25/2>

:•诋2+(262=(«J)2,

,DC2+AD2=AC2,

则:ZCDA=90°,

好.ADCV2V5

故sinA=----=—?==——.

ACV105

本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数,根据网格特点

构造直角三角形是关键.

6.D

【解析】

【分析】

答案第3页,共22页

过点A作于点£>,在RtZXACD中,利用勾股定理求得线段AC的长,再按照正弦

函数的定义计算即可.

【详解】

解:如图,过点A作AD-LBC于点。,则NADC=90。,

AC=ylAD2+CD2=5>

・・sinNAC5=——,

AC5

故选:D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.

7.C

【解析】

【分析】

根据Rt^ABC中,cosB,tanB,sinA的定义,进行判断.

【详解】

,.,Rt^ABC中,sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,

ccca

.,.选项C正确,选项A、B、D错误,

故选C.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形.

8.D

【解析】

【分析】

利用锐角三角函数定义判断即可.

答案第4页,共22页

【详解】

在MAA8C中,sinA=—,

AB

CD

在Rt^ACD中,sinA=——,

AC

•/ZA+ZB=90°,ZB+ZBCD=90°,

:.ZA=ZBCD,

在RtABCD中,sin/BCD=sinA=,

BC

故选:D.

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

9.旦

5

【解析】

【分析】

连接CG,设BC=〃?,由正方形的性质可以求得/ECG=90。,及CE、CG的长;然后由勾

股定理求出EG的长,便可解答:

【详解】

解:连接CG,如图:

••・四边形ACE»E、8C/G是正方形,

:.ZDCE=NFCG=45。,

.-.ZECG=90°,

由AC=28C,设BC=m,则AC=2〃z,

:.CE=&AC=2近m,CG=&BC=Om,

:.EG=>JCE2+CG2=yfidm,

CG_yflm_

AsinZCEG=

EGyflOm5

答案第5页,共22页

故答案为:

【点睛】

本题考查了正方形的性质,勾股定理,正弦三角函数:结合正方形的性质添加辅助线构造

直角三角形是解题关键.

10.g

【解析】

【分析】

证明AABDs^CBA,得出空=黑=当,求出AB=4,由三角函数定义即可得出答

ACBCAB

案.

【详解】

解:・・・BD=2,CD=6,

・・・BC=BD+CD=8,

VZB=ZB,ZBAD=ZC,

AAABD^ACBA,

.ADABBD

••瓦一拓―A8,

/.AB2=BDXBC=2X8=16,

,AB=4,

VAD±AC,

.ADAB4\

..tanC===-=—

ACBCS2

故答案为:

【点睛】

本题考查锐角三角函数、相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质为解题

关键.

11.乎6-372

【解析】

【分析】

由等积法解得正方形的边长,再利用勾股定理解得图④的直角边F"的长,在图2中,利

答案第6页,共22页

用正弦的定义解得sinNQOC=苓|=乎,接着利用勾股定理解得QC=次,QD=30,据

此解得cosa的值,最后利用跖=6-HQ-EW解答即可.

【详解】

解:矩形的面积为:2x6=12

正方形的边长DC=>/12=273

如图I,

FG=26

QHG=2

:.FH=y/FG2-HG2=J(2A/3)2-22=2及

如图2,

HC9

:.sinZHDC=—=—f=

DC26

Qsin/QOC=^|=手

答案第7页,共22页

设QC=7IX,£>Q=3X

QC2+DC2=DQ2

.♦.3/+12=9/

,欠=&或%=-血(舍去)

QC=#3=3应

QC瓜_6

coscr=

QD^^/2~~

:.HQ=DQ-DH=3近一DH=30-FH=3叵-2叵=&

EF=6-^2-FH=6-y/2-2y/2=6-3y/2

故答案为:]叵,6—35/2.

【点睛】

本题考查正方形与矩形、图形的拼接,涉及勾股定理、正弦、余弦等知识,是重要考点,

掌握相关知识是解题关键.

12.2

2

【解析】

【分析】

根据勾股定理,可得OA的长,根据正弦是对边比斜边,可得答案.

【详解】

如图,由勾股定理,得:0A=而再寿=2.sinZl=—=^,故答案为也.

OA22

【解析】

【分析】

由△8EC与AFEC关于直线EC对称,矩形48CD,证明ABEC名AFEC,再证明

答案第8页,共22页

△BCN%CFD,可得BN=CD,再求解CD=2,即可得BN的长;先证明AAFESACBG,

ApPP

可得:—,设8M=x,则BE=BM=EE=x,8G=x+l,AE=2-x,再列方程,求解

CGBG

x,即可得到答案.

【详解】

解:=△BEC与△FEC关于直线EC对称,矩形A8CR

“BEC%FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

?.NEBC=/EFC=90°,/BEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,

・・•BM=BE,

/BEM=/BME,

・•.NFEC=/BME,

・•・EFHMN,

/BNC=NEFC=90。,

.・.NBNC=NFDC=90。,

vZBCD=90°,

・•.ZNBC+ZBCN=90°=4BCN+/DCF,

.・./NBC=/DCF,

:ABCNACFD,

:.BN=CD,

・.・矩形ABC。,

AB"CD,AD//BC,

/BEM=/GCM,

・・・/BEM=ZBME=/CMG,MG=1,G为CD的中点,

・•・4GMe=4GCM、

.\CG=MG=\,CD=2,

:.BN=2.

如图,・.BM=BE=FE,MN〃EF,四边形ABC。都是矩形,

・•.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=ZABG,

・・・ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+NCBG,

ZAFE=ZCBG,

答案第9页,共22页

.,.△AFESACBG,

.AEEF

'~CG~~BG"

设BM=%则BE=BM=FE=x,BG=x+l,4E=2—x,

.2-x_x

1x+1

解得:x=±V2,

经检验:x=±0是原方程的根,但x=-&不合题意,舍去,

AE=2-立,EF=0,

,-.sinZAFE=—=^^?=V2-1.

EF0

故答案为:2,y/2—\.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三

角函数的应用,分式方程的解法,掌握以上知识是解题的关键.

14-4

【解析】

【分析】

在直角三角形中,锐角8的正弦=锐角8的对边:直角三角形的斜边,根据定义直接可得答

案.

【详解】

解:ZAC3=9O0,AC=1,A8=2,

••.sinU,

AB2

故答案为:y

答案第10页,共22页

【点睛】

本题考查的是锐角的正弦的含义,掌握锐角的正弦的定义是解题的关键.

"12而

13.-----

5

【解析】

【分析】

先利用正弦值、勾股定理求出3c=12,AC=9,再根据翻折的性质、勾股定理求出A。、

CD、BO的长,然后根据等面积法求出。C的长,由此即可得出答案.

【详解】

如图,设8。与CC的交点为点0,

4

•.•在RhABC中,ZACB=90°,AB=\5,sinA=-,

BC4,BC4

——=-,n即r一=一,

AB5155

解得3c=12,

/.AC=^AB2-BC2=9-

由翻折的性质得:BC'=BC=n,C'D=CD,ZBC'D=ZACB=9()。,

.•.AC=AB-BC'=15-12=3,

设A£)=x,则C'£)=C£>=AC-A£)=9-x,

在中,AC'2+CD2=AD2,即3?+(9-x)2=/,

解得x=5,

AD=5,CD=4,

在MABC。中,BD=4BC、C£>2=4屈,

又;BC'=BC,C'D=CD,

是CC'的垂直平分线,

:.BD1CC',CC'=2OC,

;.SR38=;BCCD=;BDOC,Bp|xl2x4=1x4V10OC,

解得oc=5叵,

5

:.CC'=2OC=^^-,

5

答案第II页,共22页

故答案为:喑,

BC

【点睛】

本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点,

熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键.

16.迈

5

【解析】

【详解】

分析:直接根据题意表示出三角形的各边,进而利用锐角三角函数关系得出答案.

ZC=90°,tanA=—,

2

"BOx,则AC=2x,故AB二逐x,

.RAC2x275

则sinB=——=-j=-=---.

AB6*5

故答案为侦.

5

点睛:此题主要考查了锐角三角函数关系,正确表示各边长是解题关键.

17.(1)见解析

⑵160百

【解析】

【分析】

答案第12页,共22页

(1)由△ABDsACBE得NBCE=NBAD,由四边形内角和为360。及周角为360°,即可

求得ZOCE=90°,从而可得结论成立;

(2)过点A作AFLCD于点尸,过点。作。G,BE于点G.由△ABOs^CBE,可求得

BE的长,及黑j由S”二SQE可得。=/从而可得*=;,进而可得

Cno1oCrioAD2

ZADC=30°,故可得/Q8G=NABC=60°,在吊AQBG中,利用三角函数知识即可求得

OG的长,从而可求得ABOE的面积.

(1)

AABDs^CBE

:.NBCE=NBAD

•四边形ABC。的内角和为360°,ZABC+ZADC=90°

AZBAD+ZBCD=360°-(/A8C+NAOC)=270°

:.NBCE+NBCD=270°

VZBCE+ZBCD+ZDCE=360°

/.ZDCE=90°

即DCVCE

过点A作AFLCQ于点F,过点。作OGLBE于点G,如图

;△ABDsMBE

.ABBDAD5

ZABD=ZCBE

ooCE_8

Z.B£=-BD=-x20=32

55~AD~5

c—』s

乙AC。一770^CDE

16

C-CD.AF

\ACD_25

S<DELCD.CE16

2

.5

*CE~16

.AFCE58

>.-——x-

CEAD165

即竺=J

AD2

U:AF.LCD

答案第13页,共22页

・・sinN/ADC=--二一

AD2

・・・NAOC=30°

ZABC+ZADC=90°

:.ZABC=60°

•・•ZABD=ZCBE

:.ZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBE

即/O8G=NA8C=60°

在/?/△DBG中,DG=BD.sinNDBG=20x

,S研=工BE.DG=-x32xloV3=16()73

22

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质,锐角三角函数,四边形内角和,图形的面积等知识,根据

面积作垂线、熟练应用这些知识是关键.

18.(1)ZAGB=90°-a;(2)见解析:(3)①之幼;②石

2

【解析】

【分析】

(1)利用圆周角定理求得/84。=90。,再根据4E=CO,求得NA8G=NO8C=a,即

可得到答案;

(2)由/BEC=ZB£)C=90°-a,得至UN3EC=NAGB,从而推出NCEF=N8GD,证得

答案第14页,共22页

^CFE^BDG(ASA),由此得到结论;

(3)①连结DE.利用已知求出==证得D4=CE,得到BG=AO=2,

2

利用MAABG中,根据正弦求出NAGB=60o,AG=g8G=l,求出EF的长,再利用

RrZXDEG中,NEGD=60°,求出EG及OE,再利用勾股定理求出OF即可得到答案;

②过点C作C//L8尸于4,证明A8A£>四ACH/(A4S),得至ljm=4),证明

△BHCs^CHF,得至1」名=驾,设GH=x,得至ljC”:=2(2—x),利用勾股定理得到

CHFH

CG2=GH2+CH2,求得CG2=d+2(27)=(x—lf+3,利用函数的最值解答即可.

【详解】

解:(1)・・・8。为00的直径,

・・・ZBAD=90°,

•・•AE=CD,

:.ZABG=NDBC=a,

ZAGB=90°-a.

(2)・・・8。为O。的直径,

・・・ZBCD=90°,

JZBEC=ZBDC=90。-a,

:.NBEC=ZAGB,

ZCEF=180。一/BEC/BGD=180。一ZAGB,

/.ZCEF=ZBGD.

又,:CE=BG/ECF=ZGBD,

J△CFE%BDG(ASA),

.•・EF=DG.

(3)①如图,连结OE.

答案第15页,共22页

:8。为的直径,

・・・ZA=ZBED=90°.

在R&BO中,tanZADB=—AD=2,

2f

AB=—AD=>/3.

2

;AE=C。,

:♦AE+DE=CD+DEf

即D4=CE,

:.AD=CE.

♦:CE=BG,

:.BG=AD=2.

・・•在放"6G中,sinZAGB=—=—,

BG2

:.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

:.EF=DG=AD-AG=\,

・・•在MZXOEG中,ZEGD=60°,

.•・EG=-DG=-,DE=—DG=—.

2222

在及VFEO中,DF=ylEF2+DE2,

2

:.FG+DG+DF=^^~,

2

•♦.△PGL>的周长为豆史.

2

②如图,过点C作C”_L8/于H.

答案第16页,共22页

Y^BDG^CFE,

:.BD=CF,ZCFH=ABDA.

VZ5A£>=ZCWF=90°,

・・..BAZ泾△"尸(A4S).

:.FH=AD,

♦:AD=BG,

:.FH=BG.

*/ZBCF=90°,

:・/BCH+/HCF=900.

YNBCH+ZHBC=90°,

:.NHCF=4HBC,

■:ZBHC=NCHF=9Q0,

:・J3HCs/HF,

.BHCH

设G〃=x,

:.BH=2-x,

AC/72=2(2-x).

在&△GHC中,CG2=GH、CH2,

・•・CG2=f+2(2-x)=(x-+3,

当x=l时,CG?的最小值为3,

,CG的最小值为6.

答案第17页,共22页

【点睛】

此题考查圆周角的定理,弧、弦和圆心角定理,全等三角形的判定及性质,勾股定理,三

角函数,相似三角形的判定,函数的最值问题,是一道综合的几何题型,综合掌握各知识

点是解题的关键.

19.AC=15

【解析】

【分析】

由题意,根据等角的余角相等得到NC4D=N3,则sinNB=g===,即可求出AC的长

度.

【详解】

解:根据题意,

VZBAC=90°,是边上的高,

AZBA£)+ZC4£>=90°,ZBA£)+ZB=90°,

:.ZCAD=ZB,

3

/.sinZB=sinZ.CAD=—,

在RtZVIBC中,Z&4C=90°,

..“ACAC3

..sinZn===—,

BC255

・•・AC=15.

【点睛】

本题考查了三角函数,等角的余角相等,解题的关键是掌握所学的知识,正确的得到

ZC4D=ZB,从而进行解题.

20.(1)证明见解析

(2)sinNAB/=t

【解析】

【分析】

(1)连接O/,延长C7交AB于点O.由三角形内心为角平分线的交点结合等腰三角形“三

线合一,,的性质可知8/平分/ABC,CDLAB.从而可得出ZA8/=NOW,再根据等边对

等角,得出NO/B=NOB/,即ZAB/=NO/B,由此可证明A8//O/,即得出C£>_LO/,即

答案第18页,共22页

可判断C7是。。的切线;

(2)由等腰三角形“三线合一”的性质可知">=80==3.在RsBCD中,利用勾股

2

定理可求出8=4.设O8=x,则O/=x,OC=BC-OB=5-x.易证VCO/:VC3O,

即得出旦=婆,代入数据,即可求出x的值.从而可得。/和0C的长,进而在RrVOC/

BDBC

中,利用勾股定理可求出C/的长,得出£>/的长.最后在即V8Z力中,再次利用勾股定理

可求出8/的长,再利用正弦的定义计算即可解答.

(1)

如图,连接0/,延长C/交A8于点D

,点/是4ABC的内心,AC=BC,

二8/平分ZA8C,CDA.AB,

:.NABI=ZOBI.

:0B=01,

:.ZOIB=ZOBI,

:.ZABI=NOIB,

,AB//OI,

,CDrOI,

是。。的切线;

(2)

,点/是小ABC的内心,AC=BC,

Z.AD^BD=-AB=3.

2

.•.在R/A8C£>中,CD=>jBC2-BD2=4-

设O8=x,则O/=x,OC=BC-OB=5-x.

答案第19页,共22页

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BDBC35

解得:x=

O

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88

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2

53

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