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文档简介
初中数学正弦综合强化练习1
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.如图,AMC的顶点是正方形网格的格点,则sinB的值为()
3
2.在放AABC中,/C=90o,AB=2,BC=-,贝UsinB的值是().
2
n4将
L.----\-)♦---
4.如图,在心AACB中,NC=90°,sinB=0.5,若AC=6,则8c的长为()
A.8B.12C.6方D.126
5.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()
Vio
B.rVz*----
510
6.如图,在4x5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△A8C的顶点都在这
些小正方形的顶点上,那么sin/ACB的值为().
7.在RAABC中,zC=90°,〃、b、c分别是乙4、乙B、4c的对边,贝U()
.Aa一4a八.门b—八a
A.sinA=—B.cosA=—C.sinn=—D.tann=—
bccb
8.如图,在R/A45C中,CD是斜边AB上的高,ZAr45。,则下列比值中不等于
sinA的是()
A,0BDCBcCD
nB.----C.D.----
ACCB~ABCB
二、填空题
9.如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、8c为边在线段AB的同侧
作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,贝ljsin/CEG=
10.如图,在△ABC中,点D在边BC上,AD1AC,ZBAD=ZC,BD=2,CD=
6,那么tanC=
11.如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①,②,③,④四块后,拼接成如图2不
重叠、无缝隙的正方形A8CQ,则图2中cosa的值为,图1中EF的长为
图1
图2
12.如图,若点A的坐标为(1,6),则sin/1
13.如图,在矩形ABCO中,点E在边上,△8EC与AFEC关于直线EC对称,点
B的对称点尸在边AO上,G为CD中点,连结BG分别与CE,b交于M,N两点,若
BM=BE,MG=1,则BN的长为,sinNAFE的值为.
aFD
14.如图,已知在MAABC中,ZACB=90°,AC=1,AB=2,贝iJsinB的值是
15.如图,RhABC中,ZACB=90°,。是AC上一点,连接BO,将AABC沿BD翻
4
折,点C落在A3边的点C'处,连接CC'.若45=15,sinA=-,则CC长.
A
D
B
16.在AABC中,ZC=90°,若tanA=g,则sinB=
三、解答题
17.如图,四边形A8CC中,对角线AC,8。有交点,且/4BC+NAOC=90。.点、E
与点C在B。同侧,连接BE,CE,DE,若△ABDsACBE.
⑴求证:DC1CE;
(2)若若=[8。=20,5/8=怖5.8£'
求ABDE的面积
oCo10
18.如图1,四边形ABCO内接于OO,BD为直径,人。上存在点E,满足
AE=CD,连结BE并延长交C。的延长线于点F,BE与AD交于点G.
图1
(1)若NDBC=a,请用含a的代数式表列4GB.
(2)如图2,连结C£,CE=BG.求证;EF=DG.
(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,AD=2.
①若tan/A£>8=3,求/GO的周长.
2
②求CG的最小值.
3
19.如图,在Rtz^ABC中,ABAC=90°,4力是BC边上的局,若sinNC4D=g,
BC=25,求AC的长.
20.如图,AA8C中,AC=BC,点/是AABC的内心,点。在边8c上,以点。为圆
心,。8长为半径的圆恰好经过点/,连接C/,BI.
(1)求证:C7是。。的切线;
⑵若AC=BC=5,AB=6,求sinNAB/值.
21.如图,点。是AABC的边AB上一点,。。与边AC相切于点E,与边BC、48分
别相交于点。、F,且DE=EF.
(1)求证:ZC=9O°;
(2)当BC=3,sinA=|时,求AF的长.
22.在RtZXABC中,NC=90。,ZB=25°,6=10,解这个直角三角形(结果保留小
数点后一位).(参考数据:sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47)
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
根据勾股定理列式求出AB,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
【详解】
解:由勾股定理得,AB=yj32+32=3\[2>
故选:B.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦
为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
2.C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AC的长,然后根据正弦的定义即可求解.
【详解】
解:根据勾股定理可得:4C=〃层-BC?=J?-(尹=?,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值,求出AC的长,正确理解正弦的定义是解题关键.
3.B
【解析】
【分析】
根据网格的特点,找到8点所在网格的顶点。,连接30,通过勾股定理的逆定理判断
是直角三角形,进而根据正弦的定义求得sinA的值.
【详解】
答案第1页,共22页
如图,连接B。,
c
根据网格的特点可知:
AD=飞联+展=2垃,AB=y)f4号=M,BD=S+f=叵,
:.AD2+BD2=\O,AB2=10,
■■■△ABO是直角三角形,
.-.ZA£>B=90o,
BD拉方
/.sinA=
710-5
故选B
【点睛】
本题考查了求一角的正弦,网格中证明三角形是直角三角形,勾股定理以及勾股定理的逆
定理的应用,证明是△43。是直角三角形解题的关键.
4.C
【解析】
【分析】
利用正弦的定义得出AB的长,再用勾股定理求出BC.
【详解】
AC
W:VsinB==0.5,
AB
AAB=2AC,
VAC=6,
答案第2页,共22页
.".AB=12,
BC=-JAB2-AC2~6-\/3,
故选C.
【点睛】
本题考查了正弦的定义,以及勾股定理,解题的关键是先求出AB的长.
5.B
【解析】
【分析】
先利用勾股定理得出DC,AC、AD的长,根据勾股定理的逆定理可得NCDA=90。,再利
用锐角三角函数关系求出答案.
【详解】
解:如图所示,取格点D,连接DC,
由网格可得出DC=-y2<AC—\f]Q,AD=25/2>
:•诋2+(262=(«J)2,
,DC2+AD2=AC2,
则:ZCDA=90°,
好.ADCV2V5
故sinA=----=—?==——.
ACV105
本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数,根据网格特点
构造直角三角形是关键.
6.D
【解析】
【分析】
答案第3页,共22页
过点A作于点£>,在RtZXACD中,利用勾股定理求得线段AC的长,再按照正弦
函数的定义计算即可.
【详解】
解:如图,过点A作AD-LBC于点。,则NADC=90。,
AC=ylAD2+CD2=5>
・・sinNAC5=——,
AC5
故选:D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.
7.C
【解析】
【分析】
根据Rt^ABC中,cosB,tanB,sinA的定义,进行判断.
【详解】
,.,Rt^ABC中,sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,
ccca
.,.选项C正确,选项A、B、D错误,
故选C.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形.
8.D
【解析】
【分析】
利用锐角三角函数定义判断即可.
答案第4页,共22页
【详解】
在MAA8C中,sinA=—,
AB
CD
在Rt^ACD中,sinA=——,
AC
•/ZA+ZB=90°,ZB+ZBCD=90°,
:.ZA=ZBCD,
在RtABCD中,sin/BCD=sinA=,
BC
故选:D.
【点睛】
此题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
9.旦
5
【解析】
【分析】
连接CG,设BC=〃?,由正方形的性质可以求得/ECG=90。,及CE、CG的长;然后由勾
股定理求出EG的长,便可解答:
【详解】
解:连接CG,如图:
••・四边形ACE»E、8C/G是正方形,
:.ZDCE=NFCG=45。,
.-.ZECG=90°,
由AC=28C,设BC=m,则AC=2〃z,
:.CE=&AC=2近m,CG=&BC=Om,
:.EG=>JCE2+CG2=yfidm,
CG_yflm_
AsinZCEG=
EGyflOm5
答案第5页,共22页
故答案为:
【点睛】
本题考查了正方形的性质,勾股定理,正弦三角函数:结合正方形的性质添加辅助线构造
直角三角形是解题关键.
10.g
【解析】
【分析】
证明AABDs^CBA,得出空=黑=当,求出AB=4,由三角函数定义即可得出答
ACBCAB
案.
【详解】
解:・・・BD=2,CD=6,
・・・BC=BD+CD=8,
VZB=ZB,ZBAD=ZC,
AAABD^ACBA,
.ADABBD
••瓦一拓―A8,
/.AB2=BDXBC=2X8=16,
,AB=4,
VAD±AC,
.ADAB4\
..tanC===-=—
ACBCS2
故答案为:
【点睛】
本题考查锐角三角函数、相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质为解题
关键.
11.乎6-372
【解析】
【分析】
由等积法解得正方形的边长,再利用勾股定理解得图④的直角边F"的长,在图2中,利
答案第6页,共22页
用正弦的定义解得sinNQOC=苓|=乎,接着利用勾股定理解得QC=次,QD=30,据
此解得cosa的值,最后利用跖=6-HQ-EW解答即可.
【详解】
解:矩形的面积为:2x6=12
正方形的边长DC=>/12=273
如图I,
FG=26
QHG=2
:.FH=y/FG2-HG2=J(2A/3)2-22=2及
如图2,
HC9
:.sinZHDC=—=—f=
DC26
Qsin/QOC=^|=手
答案第7页,共22页
设QC=7IX,£>Q=3X
QC2+DC2=DQ2
.♦.3/+12=9/
,欠=&或%=-血(舍去)
QC=#3=3应
QC瓜_6
coscr=
QD^^/2~~
:.HQ=DQ-DH=3近一DH=30-FH=3叵-2叵=&
EF=6-^2-FH=6-y/2-2y/2=6-3y/2
故答案为:]叵,6—35/2.
【点睛】
本题考查正方形与矩形、图形的拼接,涉及勾股定理、正弦、余弦等知识,是重要考点,
掌握相关知识是解题关键.
12.2
2
【解析】
【分析】
根据勾股定理,可得OA的长,根据正弦是对边比斜边,可得答案.
【详解】
如图,由勾股定理,得:0A=而再寿=2.sinZl=—=^,故答案为也.
OA22
【解析】
【分析】
由△8EC与AFEC关于直线EC对称,矩形48CD,证明ABEC名AFEC,再证明
答案第8页,共22页
△BCN%CFD,可得BN=CD,再求解CD=2,即可得BN的长;先证明AAFESACBG,
ApPP
可得:—,设8M=x,则BE=BM=EE=x,8G=x+l,AE=2-x,再列方程,求解
CGBG
x,即可得到答案.
【详解】
解:=△BEC与△FEC关于直线EC对称,矩形A8CR
“BEC%FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,
?.NEBC=/EFC=90°,/BEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,
・・•BM=BE,
/BEM=/BME,
・•.NFEC=/BME,
・•・EFHMN,
/BNC=NEFC=90。,
.・.NBNC=NFDC=90。,
vZBCD=90°,
・•.ZNBC+ZBCN=90°=4BCN+/DCF,
.・./NBC=/DCF,
:ABCNACFD,
:.BN=CD,
・.・矩形ABC。,
AB"CD,AD//BC,
/BEM=/GCM,
・・・/BEM=ZBME=/CMG,MG=1,G为CD的中点,
・•・4GMe=4GCM、
.\CG=MG=\,CD=2,
:.BN=2.
如图,・.BM=BE=FE,MN〃EF,四边形ABC。都是矩形,
・•.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=ZABG,
・・・ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+NCBG,
ZAFE=ZCBG,
答案第9页,共22页
.,.△AFESACBG,
.AEEF
'~CG~~BG"
设BM=%则BE=BM=FE=x,BG=x+l,4E=2—x,
.2-x_x
1x+1
解得:x=±V2,
经检验:x=±0是原方程的根,但x=-&不合题意,舍去,
AE=2-立,EF=0,
,-.sinZAFE=—=^^?=V2-1.
EF0
故答案为:2,y/2—\.
【点睛】
本题考查的是矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三
角函数的应用,分式方程的解法,掌握以上知识是解题的关键.
14-4
【解析】
【分析】
在直角三角形中,锐角8的正弦=锐角8的对边:直角三角形的斜边,根据定义直接可得答
案.
【详解】
解:ZAC3=9O0,AC=1,A8=2,
••.sinU,
AB2
故答案为:y
答案第10页,共22页
【点睛】
本题考查的是锐角的正弦的含义,掌握锐角的正弦的定义是解题的关键.
"12而
13.-----
5
【解析】
【分析】
先利用正弦值、勾股定理求出3c=12,AC=9,再根据翻折的性质、勾股定理求出A。、
CD、BO的长,然后根据等面积法求出。C的长,由此即可得出答案.
【详解】
如图,设8。与CC的交点为点0,
4
•.•在RhABC中,ZACB=90°,AB=\5,sinA=-,
BC4,BC4
——=-,n即r一=一,
AB5155
解得3c=12,
/.AC=^AB2-BC2=9-
由翻折的性质得:BC'=BC=n,C'D=CD,ZBC'D=ZACB=9()。,
.•.AC=AB-BC'=15-12=3,
设A£)=x,则C'£)=C£>=AC-A£)=9-x,
在中,AC'2+CD2=AD2,即3?+(9-x)2=/,
解得x=5,
AD=5,CD=4,
在MABC。中,BD=4BC、C£>2=4屈,
又;BC'=BC,C'D=CD,
是CC'的垂直平分线,
:.BD1CC',CC'=2OC,
;.SR38=;BCCD=;BDOC,Bp|xl2x4=1x4V10OC,
解得oc=5叵,
5
:.CC'=2OC=^^-,
5
答案第II页,共22页
故答案为:喑,
BC
【点睛】
本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点,
熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键.
16.迈
5
【解析】
【详解】
分析:直接根据题意表示出三角形的各边,进而利用锐角三角函数关系得出答案.
ZC=90°,tanA=—,
2
"BOx,则AC=2x,故AB二逐x,
.RAC2x275
则sinB=——=-j=-=---.
AB6*5
故答案为侦.
5
点睛:此题主要考查了锐角三角函数关系,正确表示各边长是解题关键.
17.(1)见解析
⑵160百
【解析】
【分析】
答案第12页,共22页
(1)由△ABDsACBE得NBCE=NBAD,由四边形内角和为360。及周角为360°,即可
求得ZOCE=90°,从而可得结论成立;
(2)过点A作AFLCD于点尸,过点。作。G,BE于点G.由△ABOs^CBE,可求得
BE的长,及黑j由S”二SQE可得。=/从而可得*=;,进而可得
Cno1oCrioAD2
ZADC=30°,故可得/Q8G=NABC=60°,在吊AQBG中,利用三角函数知识即可求得
OG的长,从而可求得ABOE的面积.
(1)
AABDs^CBE
:.NBCE=NBAD
•四边形ABC。的内角和为360°,ZABC+ZADC=90°
AZBAD+ZBCD=360°-(/A8C+NAOC)=270°
:.NBCE+NBCD=270°
VZBCE+ZBCD+ZDCE=360°
/.ZDCE=90°
即DCVCE
⑵
过点A作AFLCQ于点F,过点。作OGLBE于点G,如图
;△ABDsMBE
.ABBDAD5
ZABD=ZCBE
ooCE_8
Z.B£=-BD=-x20=32
55~AD~5
c—』s
乙AC。一770^CDE
16
C-CD.AF
\ACD_25
S<DELCD.CE16
2
.5
*CE~16
.AFCE58
>.-——x-
CEAD165
即竺=J
AD2
U:AF.LCD
答案第13页,共22页
・・sinN/ADC=--二一
AD2
・・・NAOC=30°
ZABC+ZADC=90°
:.ZABC=60°
•・•ZABD=ZCBE
:.ZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBE
即/O8G=NA8C=60°
在/?/△DBG中,DG=BD.sinNDBG=20x
,S研=工BE.DG=-x32xloV3=16()73
22
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,锐角三角函数,四边形内角和,图形的面积等知识,根据
面积作垂线、熟练应用这些知识是关键.
18.(1)ZAGB=90°-a;(2)见解析:(3)①之幼;②石
2
【解析】
【分析】
(1)利用圆周角定理求得/84。=90。,再根据4E=CO,求得NA8G=NO8C=a,即
可得到答案;
(2)由/BEC=ZB£)C=90°-a,得至UN3EC=NAGB,从而推出NCEF=N8GD,证得
答案第14页,共22页
^CFE^BDG(ASA),由此得到结论;
(3)①连结DE.利用已知求出==证得D4=CE,得到BG=AO=2,
2
利用MAABG中,根据正弦求出NAGB=60o,AG=g8G=l,求出EF的长,再利用
RrZXDEG中,NEGD=60°,求出EG及OE,再利用勾股定理求出OF即可得到答案;
②过点C作C//L8尸于4,证明A8A£>四ACH/(A4S),得至ljm=4),证明
△BHCs^CHF,得至1」名=驾,设GH=x,得至ljC”:=2(2—x),利用勾股定理得到
CHFH
CG2=GH2+CH2,求得CG2=d+2(27)=(x—lf+3,利用函数的最值解答即可.
【详解】
解:(1)・・・8。为00的直径,
・・・ZBAD=90°,
•・•AE=CD,
:.ZABG=NDBC=a,
ZAGB=90°-a.
(2)・・・8。为O。的直径,
・・・ZBCD=90°,
JZBEC=ZBDC=90。-a,
:.NBEC=ZAGB,
ZCEF=180。一/BEC/BGD=180。一ZAGB,
/.ZCEF=ZBGD.
又,:CE=BG/ECF=ZGBD,
J△CFE%BDG(ASA),
.•・EF=DG.
(3)①如图,连结OE.
答案第15页,共22页
:8。为的直径,
・・・ZA=ZBED=90°.
在R&BO中,tanZADB=—AD=2,
2f
AB=—AD=>/3.
2
;AE=C。,
:♦AE+DE=CD+DEf
即D4=CE,
:.AD=CE.
♦:CE=BG,
:.BG=AD=2.
・・•在放"6G中,sinZAGB=—=—,
BG2
:.ZAGB=60°,AG=-BG=\,
2
:.EF=DG=AD-AG=\,
・・•在MZXOEG中,ZEGD=60°,
.•・EG=-DG=-,DE=—DG=—.
2222
在及VFEO中,DF=ylEF2+DE2,
2
:.FG+DG+DF=^^~,
2
•♦.△PGL>的周长为豆史.
2
②如图,过点C作C”_L8/于H.
答案第16页,共22页
Y^BDG^CFE,
:.BD=CF,ZCFH=ABDA.
VZ5A£>=ZCWF=90°,
・・..BAZ泾△"尸(A4S).
:.FH=AD,
♦:AD=BG,
:.FH=BG.
*/ZBCF=90°,
:・/BCH+/HCF=900.
YNBCH+ZHBC=90°,
:.NHCF=4HBC,
■:ZBHC=NCHF=9Q0,
:・J3HCs/HF,
.BHCH
设G〃=x,
:.BH=2-x,
AC/72=2(2-x).
在&△GHC中,CG2=GH、CH2,
・•・CG2=f+2(2-x)=(x-+3,
当x=l时,CG?的最小值为3,
,CG的最小值为6.
答案第17页,共22页
【点睛】
此题考查圆周角的定理,弧、弦和圆心角定理,全等三角形的判定及性质,勾股定理,三
角函数,相似三角形的判定,函数的最值问题,是一道综合的几何题型,综合掌握各知识
点是解题的关键.
19.AC=15
【解析】
【分析】
由题意,根据等角的余角相等得到NC4D=N3,则sinNB=g===,即可求出AC的长
度.
【详解】
解:根据题意,
VZBAC=90°,是边上的高,
AZBA£)+ZC4£>=90°,ZBA£)+ZB=90°,
:.ZCAD=ZB,
3
/.sinZB=sinZ.CAD=—,
在RtZVIBC中,Z&4C=90°,
..“ACAC3
..sinZn===—,
BC255
・•・AC=15.
【点睛】
本题考查了三角函数,等角的余角相等,解题的关键是掌握所学的知识,正确的得到
ZC4D=ZB,从而进行解题.
20.(1)证明见解析
(2)sinNAB/=t
【解析】
【分析】
(1)连接O/,延长C7交AB于点O.由三角形内心为角平分线的交点结合等腰三角形“三
线合一,,的性质可知8/平分/ABC,CDLAB.从而可得出ZA8/=NOW,再根据等边对
等角,得出NO/B=NOB/,即ZAB/=NO/B,由此可证明A8//O/,即得出C£>_LO/,即
答案第18页,共22页
可判断C7是。。的切线;
(2)由等腰三角形“三线合一”的性质可知">=80==3.在RsBCD中,利用勾股
2
定理可求出8=4.设O8=x,则O/=x,OC=BC-OB=5-x.易证VCO/:VC3O,
即得出旦=婆,代入数据,即可求出x的值.从而可得。/和0C的长,进而在RrVOC/
BDBC
中,利用勾股定理可求出C/的长,得出£>/的长.最后在即V8Z力中,再次利用勾股定理
可求出8/的长,再利用正弦的定义计算即可解答.
(1)
如图,连接0/,延长C/交A8于点D
,点/是4ABC的内心,AC=BC,
二8/平分ZA8C,CDA.AB,
:.NABI=ZOBI.
:0B=01,
:.ZOIB=ZOBI,
:.ZABI=NOIB,
,AB//OI,
,CDrOI,
是。。的切线;
(2)
,点/是小ABC的内心,AC=BC,
Z.AD^BD=-AB=3.
2
.•.在R/A8C£>中,CD=>jBC2-BD2=4-
设O8=x,则O/=x,OC=BC-OB=5-x.
答案第19页,共22页
,/AB//OI,
/.VCOZ:NCBD,
.01OCx5-x
••=,Ran|J=,
BDBC35
解得:x=
O
.〜15。1525
..(//=—,C7G=5-----=
88
.•.在RVOC/中,CI=>]OC2-OI2=5
2
53
・・・DI=CD-CI=4--=-
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