初中数学试题：二次函数之图形及图形运动压轴题

二次函数之图形及图形运动压轴题

一、单选题

1.如图，二次函数丁=；/一2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点力与点C

关于x轴对称，点尸从A点出发向点。运动，点Q在。8上，且NPCQ=45。，则封闭

图形OPCQ（阴影部分）面积的变化情况是（）

A.一直变大B.始终不变C.先增大后减少D.先减少后增大

2.已知正AABC的边长为2,E,F,G分别是AB,BC,CA上的点，且AE=BF=CG,

设AEFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是（）

二、填空题

3.若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数

的图象为标准抛物线.如图，自左至右的一组二次函数的图象力，Ti,心……是标准抛

物线，且顶点都在直线广立x上，力与x轴交于点4（2,0）,止（止在4右侧），乃与

3

x轴交于点A2,4,与x轴交于点A3,4,……，则抛物线7；的函数表达式为.

33,3

4.如图，直线y=-：x+3与x轴交于点A，与）'轴交于点8,抛物线y=--x2+-x+c

484

经过A8两点，与x轴的另一个交点为C,点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交

直线AB于点。，设点P的横坐为加，PQ与。。的比值为

（1）c=；

s

（2）当y取最大值时，《理=.

5.如图，将长度为1的线段分为X，〉两段，再将长度为X的线段弯成半圆周AC8,将

长度为V的线段折成矩形ABDE三条边（BD,DE,EA）,构成闭“曲边形"ACBDEA,

则该曲边形面积的最大值为.

y

6.图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点3是抛物线

的顶点，AB=9,EF=2瓜点A是£尸的中点，当高脚杯中装满液体时，液面

CD=4日此时最大深度（液面到最低点的距离）为12,将高脚杯绕点尸缓缓倾斜

倒出部分液体，当N£7H=30"时停止，此时液面为GO,则液面GO到平面/的距离

是；此时杯体内液体的最大深度为.

2

图1图2

7.如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点0是坐标原点,点A的坐标是(0,6),

点C在x轴上，点。(10,1)在边BC上，将沿AO折叠，得到△AE。，若抛物

线y=or?-12ox+34a+1(aH0且a为常数)的顶点落在小£>£的内部(不含边界),

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形。48c的边长为2,/AOC=60。，点。为AB边

上的一点，经过。，4,。三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E,连结AE交8c于点

F,当时，CE的长为

三、解答题

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=0^+加+3与y轴交于点A,与x轴交于

点B和点C(3,0),且图象过点D(2,3),连结AD,点P是线段AD上一个动点,

过点P作y轴平行线分别交抛物线和x轴于点E,F.连结AE,过点F作FG〃AE交

AD的延长线于点G.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)若tan/G=一,求点E的坐标；

4

(3)当△AFG是直角三角形时，求DG的长.

10.如图，二次函数y=。/+以+。的图象经过A,B,C三点，顶点为。，已知点

8的坐标是(1,0),OA=OC=3OB.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若E是线段AO上的一个动点(E与A、。不重合)，过点E作平行于V轴的直

线交抛物线于点F,求线段EE长度的最大值；

(3)将1中的函数图象平移后，表达式变为＞=。＜：2+2/加+1,若这个函数在一3VXW1

时的最大值为3,求优的值.

11.在平面直角坐标系xOy中，设点P(xi,yi),Q(x2,y?)是图形W上的任意两点.

定义图形W的测度面积：若|xi-X2|的最大值为m,|yi-yal的最大值为n,则S=mn为

图形W的测度面积.

例如，若图形w是半径为1的。O,当P,Q分别是。。与x轴的交点时，如图1,|X|

-X1取得最大值，且最大值m=2；当P,Q分别是。。与y轴的交点时，如图2,|y,-

y2|取得最大值，且最大值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4

4

(1)若图形w是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.

①如图3,当点A,B在坐标轴上时，它的测度面积S=；

②如图4,当AB_Lx轴时，它的测度面积S=；

(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD,则此图形的测度面积S的最大值为

(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.

12.如图，点A为丁轴正半轴上一点，A8两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛

2

物线y=于2，。两点

(1)求证：ZABP=^ABQ；

(2)若点A的坐标为(0，1)，且NPBQ=6O。，试求所有满足条件的直线PQ的函数

解析式.

4,92

13.如图1,已知直线y=kx与抛物线>=一毛•*-+丁交于点A(3,6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O

不重合)，交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：

线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明

理由；

(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点0、A不

重合)，点D(m,0)是x轴正半轴上的动点，且满足NBAE=/BED=NAOD.继续探

究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

14.如图，抛物线〉=加+加（"0）与》轴交于点0（0,0）和点A（8,0）,对称轴分

别交抛物线和x轴于点8和点C,以。4为底边向上作等腰Rt^OAD.

（1）CD=；b=（用含。的代数式表示）；

3S

（2）如图1,当。=一右时，连接AB，求皆空的值；

10、4CDA

（3）点P是抛物线QB段上任意一点，连接OP和OP,延长OP交对称轴于点E，

如图2,若A，D,P三点在一条直线上,当SAODP=3S&PDE时，求。的值.

1,(11、

15.如图1,抛物线y=—f+bx+c过点A(4,-l),B\0,--，点C为直线AB下

\3)

方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线A8交于点N.

图1备用图

（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；

（2）在直线AB上是否存在点O,使得C，D,M，N为顶点的四边形是平行四边

6

形，若存在，请求出。点坐标；

(3)在y轴上是否存在点。，使乙4QM=45。？若存在，求点。的坐标；若不存在，

请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点4(-2,0),点8(0,2),点。为。4

中点，点c与点。关于y轴对称.

(1)点。的坐标为；

(2)连结BC,求NC8D的正切值；

257953

(3)抛物线y=-京f+历c+J的对称轴为直线尤=三，在抛物线上是否存在点£

(E、A不重合)，使AEBD与AABD全等?若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，点A，8，C的坐标分别为(一8,0),(-5,0),(0,-8).点

P和点E分别从点A和点8同时出发沿x轴正方向运动，同时点D从点C出发沿V轴

正方向运动，以PO,PE为邻边构造DEPDF，已知点P,。的运动速度均为2cm/s,

点E的运动速度为1cm/s,运动时间为r(s).过点P的抛物线y=ax2+fer+c交x轴

9

于另一点“(点”在点P的右侧)，PH=6,且该二次函数的最大值不变，均为二.

(1)①当0＜，＜3时;求PE的长；(用含f的代数式表示)；②当/=6时，求点尸的

坐标；

(2)当「=2时，试判断点尸是否恰好落在抛物线y=ax2+/zx+c上,并说明理由；

(3)若点P关于直线环的对称点。恰好落在抛物线y="2+0x+c上,请求出所有

满足条件的r的值.

18.如图，己知抛物线丁=3X2+如+〃（〃声0）与直线y=x交于A、8两点，与y轴

交于点C,OA=OB,BC〃x轴.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设。、E是线段AB上异于A、3的两个动点（点E在点。的上方），DE=O，

过。、E两点分别作>轴的平行线，交抛物线于尸、G,若设。点的横坐标为8,四

边形。EGF的面积为V,求x与丁之间的关系式，写出自变量》的取值范围，并回答x

为何值时，有最大值.

19.如图，已知二次函数y=f+6x+c的图象经过A,B两点，8C_Lx轴于点C,且点A

（-1,0）,C（4,0）,AC=BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段A8上一动点（不与A,B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于

点凡当线段E尸的长度最大时，求点E的坐标及治相尸；

（3）点尸是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使AABP成为直角三

角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁二公？+区-3（“工0）交y轴于点A,交x

轴于点仇—3,0）和点C（l,0）.

8

(1)求此抛物线的表达式.

(2)若点P是直线A5下方的抛物线上一动点，当AABP的面积最大时，求出此时点

P的坐标和人钻尸的最大面积.

(3)设抛物线顶点为D,在(2)的条件下直线AB上确定一点H,使ADHP为等腰

三角形，请直接写出此时点H的坐标.

21.已知抛物线与x轴交于点A(-2,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，

求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标.

(3)如图2,将抛物线向右平移g个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线

为V,若抛物线了与原抛物线对称轴交于点Q.点E是新抛物线y，对称轴上一动点，

在(2)的条件下，当APQE是等腰三角形时，求点E的坐标.

压轴1：已知，二次函数y=ar2+bx+c(a声0)的图象与x轴相交于点A,B(点A在

点B的左侧)，与y轴相交于点C.

⑴若a=T,如图1,已知A,C两点的坐标为A(-1,0),C(0,3).

①求抛物线的解析式，并求出B的坐标.

②点P是抛物线上第一象限内一个动点.y轴上有一点。(0,1),连接。P交3c于点H,

若H恰好平分OP，求点P的坐标.

(2)若。=1,b=k-l,c=—k,k>0,如图2,抛物线与一次函数丁=丘+1的图

象交于E,F两点，点E在点F的左侧.在直线族上是否存在唯一一点Q,使得

NAQO=90°?若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.

23.如图，抛物线与x轴交于点41,0),5(3,0)，与y轴交于点C(0,3),过点C作CE//x

轴交抛物线于点E,且顶点为。，连AC,AE,AO,DE.已知尸是抛物线上一动点，且

点P的横坐标大于0小于4.

10

T

(1)求该抛物线的解析式.

(2)直线AP交直线EO于点。.ZAQD^ZCAE.求点P的横坐标.

(3)过C,E,P三点作O”,过点尸作PEJ_CE,垂足为G,交OM于点尸.在

点P的运动过程中，线段GF的长是否变化，若有变化，求出GF的取值范围：若不变，

求GF的长.

24.如图。。中直径48=2,点E是48的中点，点C是AE上的一个动点，将C8沿

线段8c折叠交AB于点D.

⑴如图1,当NABC=20。时,求此时AC的长•

(2)如图2,连结AC,当点。与点0重合时，求此时AC的长.

(3)设AC=x,DO=y,请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

图2备用图

25.抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A.B两点(点A在B的左侧)，与y轴相交于点

C,顶点为D.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴;

(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作

PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m：

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边

形;

②设ABCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

26.如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x?+bx+c

经过A,B两点，点P在线段0A上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，

点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以72个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，

设运动时间为t秒.

(2)当t为何值时，AAPQ为直角三角形；

(3)过点P作PE〃y轴，交AB于点E,过点Q作QF〃y轴，交抛物线于点F,连接

EF,当EF〃PQ时，求点F的坐标.

27.如图，已知抛物线y=d+4x+3交x轴于A.B两点，交y轴于点C,抛物线的

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；

(2)连结CA与抛物线的对称轴交于点D.

①在对称轴上找一点P,使AAPC为直角三角形，求点P的坐标.

②在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形OEOC分成面积相等的两部分？

若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由.

28.如图1,二次函数^=一3/+云+2的图象与*轴交于点A、B,与y轴交于点C,

12

点A的坐标为(-4,0)

(1)b=,点B的坐标是；

(2)连接AC、BC,判断/CAB和NCBA的数量关系，并说明理由

(3)如图2,点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点D作DMLAC于点M,是

否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于NBAC的2倍？若存在，写出点D的横

坐标；若不存在，请说明理由

29.如图1,平面直角坐标系中，△OA8的边在x轴的正半轴上，点B在第二象限，

且N4O8=135。，04=2,08=20,抛物线产-工/+法+。经过点8,并与y轴交于点

4

C(0,5),点尸在抛物线的对称轴上.

(1)求仇c的值，及抛物线的对称轴.

(2)求证：以点“(2,5)为圆心，半径为2石的圆与边相切.

(3)若满足条件/AO8+/POD=180。与08：OD=OA：。尸的点。恰好在抛物线上，

。4=2,08=4,直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点。,

连接A£＞，BD，BC,CD.

9

（2）若点。在x轴的下方，当△BCD的面积是一时，求△A3。的面积；

2

（3）在（2）的条件下，点河是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,

使得以点3,D，M，N为顶点，以3。为一边的四边形是平行四边形，若存在，

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

31.如图，。。为等边A4BC的外接圆，半径为2,点。在劣弧AB上运动（不与点A6

重合），连接D4,DB，DC.

（1）求证：。。是NAO8的平分线；

（2）四边形AO8C的面积S是线段。。的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式;

如果不是，请说明理由；

（3）若点分别在线段C4,C8上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动

到每一个确定的位置，ADMN的周长有最小值f,随着点。的运动，，的值会发生变

化，求所有f值中的最大值.

32.平面直角坐标系X。〉中，点P的坐标为（。*），点P的变换点P'的坐标定义如下：

当时，点P的坐标为（-4,。）：当时，点P的坐标为（-0,a）.

14

片

人

>A5-

4

5一

3

4一

32-

21-

J__I_,_LZ_J_i_I_I___>1司r

i345x

-4-3-2-If-12345x2

3二

4二

5

备用图1

（1）点A（3,l）的变换点A'的坐标是；点8（-4,2）的变换点为"，连接03,

0B,则々05，=.

（2）已知抛物线y=—（x+2y+m与x轴交于点C,。（点C在点。的左侧），顶点

为E.点尸在抛物线>=一（％+2）2+加上，点/3的变换点为尸'.若点P恰好在抛物

线的对称轴上，且四边形ECP。是菱形，求，"的值；

（3）若点尸是函数y=-2x-6（T<x<-2）图象上的一点，点F的变换点为广，连

接"'，求W的最大值和最小值.

1,

33.如图，直线y=-x+4与抛物线>=一5炉+板+。交于点A,B,点A在丁轴上,

点B在％轴上.

（1）求该抛物线的解析式.

（2）点P是直线AB上方的抛物线上的一动点，若SAAOB：SAPAB=8：3,求此时点P

的坐标.

（3）点E是抛物线对称轴上的动点，点F是抛物线上的点，判断有几个位置能够使得

点E,F,B,0为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点F的坐标.

34.已知△ABC是边长为4的等边三角形，点。是射线BC上的动点，将绕点A逆

时针方向旋转60°得到AE,连接。巴CE.

E

(1)求证：AABD丝ZiACE

(2)当点D在线段BC上运动时，求ADCE面积的最大值；

(3)如图2,当点D在BC延长线上运动时，记AD与CE交点为点F,若△ACF的面

积等于4DCF的面积的两倍，求ADCF的面积.

35.如图，已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F：y=x2-2mx+m2

-2与直线x=-2相交，点P为抛物线上任意一点.

(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

(2)在(1)条件下，当点P到直线x=-2距离不超过2时，求点P纵坐标y的范围.

36.如图，在矩形0ABe中，点。为原点，点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,

4

0).抛物线产-gf+fex+c经过点A、C,与4?交于点。.点尸为线段BC上一个动点

(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ

的面积为S.

16

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)求S关于根的函数表达式.

4

(3)当S最大时，①求点。的坐标.②若点尸在抛物线尸-法+c的对称轴上，

且△OFQ的外心在。。上，求点尸的坐标.

37.如图，点P是直线/：y=2x—2上的一点，过点尸作直线〃?，使直线，"与抛物线

y=d有两个交点，设这两个交点为A、B,

(1)如果直线机的解析式为y=x+2,直接写出A、B的坐标；

(2)如果已知尸点的坐标为(2,2),点A、8满足PA=AB,试求直线机的解析式;

(3)设直线/与)，轴的交点为C,如果已知NA08=90°且N8PC=N0CP,求点

P的坐标.

38.定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关

于第三个内角的“差倍角三角形例如，在AA3C中，ZA=1(X)°,ZB=60°,

NC=20。，满足NA—N5=2NC,所以A48C是关于NC的“差倍角三角形”.

(1)若等腰AA6C是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角NA的度数；

(2)如图1,中，AB=3,AC=8,3c=9,小明发现这个是关于NC

的“差倍角三角形

他的证明方法如下：

证明：在BC上取点。，使得80=1，连结AO,(请你完成接下去的证明)

(3)如图2,五边形43cDE内接于圆，连结AC,AO与跖相交于点F，G,

AB=BC=DE，AABE是关于NAE3的“差倍角三角形”.

①求证：四边形CDE户是平行四边形；

②若BF=l，设AB=x,y=曲詈匹L,求y关于x的函数关系式.

39.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ox2+fer+c(a<0,c>0)的顶点为

D,与y轴的交点为C,点4是抛物线对称轴左侧上一点，连结AC,A£>,以AC,AD

为边构造平行四边形ACBD.

18

(1)如图1,当AC//x轴时，

①已知a=-1,点4的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式；

②若AO=AC，求b的值；

BE3

(2)如图2,若。=一1,连结交y轴于点E,且——=-,是否存在这样的匕值，

AE5

使四边形ACBD是菱形?若存在，求出6的值；若不存在，请说明理由.

40.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为Q,4),直线x=2与x轴相交于

点、B,连结04,抛物线=Y沿射线0A方向平移得到抛物线C',抛物线。与直

线x=2交于点尸，设抛物线C'的顶点M的横坐标为

(1)求抛物线C的解析式(用含，”的式子表示)；

Q

(2)连结OP,当tan(NQ4B—乙4。尸)=天时，求点尸的坐标；

(3)点。为V轴上的动点，以P为直角顶点的AMQP与AQ43相似，求机的值.

41.如图，直线＞=一%+〃与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点8,抛物线

y=-x?+Z?x+c经过A,B.

(1)求抛物线解析式；

(2)E(in,0)是x轴上一动点，过点E作EDJ_x轴于点E,交直线AB于点£),交

抛物线于点P,连接P8.

①点E在线段OA上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标；

②点E在x轴的正半轴上运动，若NPBD+NCBO=45°,请直接写出机的值.

42.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知RQA8C的直角顶点C(0,12),斜边AB

在x轴上，且点4的坐标为(-9,0),点。是AC的中点，点E是8C边上的一个动

①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线》=机与x轴，DE,8C分别交于点尸，H,G,若以点。，H,F

为顶点的三角形与△GHE相似，求点m的值.

(2)以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰△匹/,且/点落在x轴上.若在

x轴上满足条件的/点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标.

43.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△。钻的斜边08在x轴上，08=8.抛物

线过点0,A,B.

20

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P(m,O)是线段0B上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y=；x于点E,

交抛物线于点F,以EF为一边,在EF的右侧作矩形EFG”.

①若FG=2,求矩形EFG”面积的最大值；

②若尸G=二，矩形EFGH与等腰RUOAB重叠部分为轴对称图形,求m的取值范围.

2

1

44.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a(x—加)--/m+4图象的顶点为

C,其中m>0,与x轴交于点A、3(点A在点8的左侧)，与y轴交于点。.点M坐

标为(0,4).

21

(1)当:〃=2时，抛物线y=a(x-m)~-5m+4(m>0)经过原点，求”的值.

(2)当。=一1时，

①若点M、点。、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点。坐标.

41

②设反比例函数丁=——(x>0)与2抛物线y=-5m+4(加>0)相交于点

E(p,q),当2<〃<4时，求机的取值范围.

45.已知二次函数图象的顶点坐标为C(-l，0),直线>=一%+加与该二次函数

y=尔+bx+c的图象交于4、B两点,其中A点的坐标为(-3,4),B点在y轴上，P

为直线48上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的

图象交于点E,D为直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点.

(1)求，"的值及这个二次函数的解析式；

(2)在线段AB上是否存在一点P,使得四边形OCEP是平行四边形？若存在，请求

出此时P点的坐标；不存在，请说明理由.

(3)抛物线上是否存在点E,使18=3,若存在，请直接写出此时E点的坐标：若

46.如图，二次函数y=ax2+2x+3(a<0)的图象与x轴交于点A,B(点A位于对

称轴的左侧)，