北师大版本八年级数学下册

(全面版)北师大版本数学八年级下册

第一章三角形的证明

§1等腰三角形

1.全等三角形的性质及判定

性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等.对应的角平分线、高线(也叫垂线)和中线.周长、面积…都相等.

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

2.等腰三角形的性质、及推论判定

性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”).A

判定定理：，1)两边都相等的三角形是等边三角形；

<(2)两个角都相等的三角形是等边三角形；

卜3)三角形一角的平分线、对边上的中线、对边上的高两线互相重合.

“两线合一”逆推出“三线合一”，并且推出该三角形就是等腰三角形.

3.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;

等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.

判定定理：«1)三边都相等的三角形是等边三角形；

I(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

|(3)两个角是60。的三角形是等边三角形；

[4)有-个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论：直角三角形30。所对的直角边等于斜边的一半.

4.反证法：先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成

立，这种证明方法叫做反证法.

§2直角三角形

1.直角三角形性质，定理及结论

(1)直角三角形两锐角互余；

(2)勾股定理：直角三角形两直角边a、

(3)直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)；

(4)直角三角形中：斜边上的中线等于斜边的一半，30。的角所对的直角边等于斜边的一半；

c

2.HL：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.

a=

3.常用关系式:一般三角形4ABC中,SVABC=~~=~~-~~9K=4=也・

222a

,ah

---------h——

特殊:在RtaABC由三角形面积公式等面积法:可得ab=c//=Ja2+b2〃(cD=〃)等积式推出：c

2,2/2-2、，21_a2+b2b2a2_I1

ab=(。+b)ho————~~~—=--—―H-—————H——,

h.a~b~a~b~a-b~a'b"

4.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题,

其中一个命题称为另一个命题的互逆命题.

5.如果一个定理的逆命题经过证明是成立的，那么它也是定理，就是这个命题的逆定理.

6.直角三角形的判定方法8个

(1)有一个角是直角的三角形叫直角三角形；

(2)两锐角互余的三角形是直角三角形；

(3)两边互相垂直的三角形是直角三角形；

(4)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。力，C有关系/+〃=，，那么这个三角形是直角三角形；

(5)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

(6)如果三角形30。所对的边等于另一边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

(7)如果三角形60。所邻的两边之比是立或,，那么这个三角形是直角三角形；

22

(8)若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直.那么这个三角形为直角三角形.

正三角形边长为4,面积等腰直角三角形斜边长为a,面积S=L/.

44

__________________a+b+c

海伦公式:S=，p(p-")(p—S(p-c)(P=-2一周长的一半，可不是周长)

这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表

秦九韶公式：S=*_产+；.2y02c2_y+：1)2

§3线段垂直平分线

线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

§4角平分线

角平分线定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

0EA

角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质.

而角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出

三角形内角平分线长与各线段间的定量关系.

1.三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.

已知：如图1所示，AD是△ABC中/BAC的角平分线.则组=皿（生=生）

证明：法1：用平行线分线段成比例定理证明:过点C作CE||AD交班的延长线与点E,则”=丝=典

法2：用面积法证明.SVACD‘AC•八ACLcD・hCD

2-2

2.三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比.

已知：如图2所示，AD是△ABC中NBAC的外角/CAF的平分线.则空=些（生=生）

ACCD右右

DC

3.直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时.，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

（2）相切：直线和圆有唯一公共点（切点）时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

00的半径为r,圆心0到直线/的距离为d,那么：

相离Od>r相切Od=r相交Od〈r

4.切线的性质定理：圆的切线垂直过切点的半径.

切线的判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.

5.三角形的五心：三角形的内心、外心、重心、垂心、及旁心（3个），统称为三角形的五心.

可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：正三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一叫做中心（除了

旁心外），正〃边形才有中心.

对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维

习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力.

注意：五心和不同三角形的位置关系.内心，重心在三角形内部，主要是外心，垂心和三角形的位置关系.

Q)内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心(内切圆圆心/)；

11S

内切圆半径r的计算：设三角形面积为S,并记〃=—(a+8+c),则S=—(a+8+c)r=pr=r=—.

22p

zcj—幺一_c1,,、1,abab(a+b-c)

特别的，在直角二角形中，有S=-(a+b+c)r=-ab=>r=-------=-------------------=

22a+b+c(a+b+c)(a+b-c)

(2)外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心(外接圆圆心。)；

与三角形的位置关系：

锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外.

(3)重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重

心G,上述定理为重心定理.GA?+GB2+GC2=巴tS最小

AGBGCG2___l_xA+xH+xc+yB+ycA+B+C

GDGEGF13333

(4)垂心定理：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心”.

与三角形的位置关系：

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.

15)旁心定理：三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心(旁切圆圆心

P).三角形有三个旁心4,P2,月.三角形的内心、旁心到三边距离相等；

如图所示：圆外一点P到。O最大距离PB,最小距离PA.

方法总结:

1.辅助线常见的作法：截长补短法，倍长中线法，引垂线法，引平行线法.

2.方法总结:有时候要把三角形旋转60°,对于正方形中的三角形一般旋转90。，目的是把分散的线段转化在一个三角

形中，构造全等三角形和特殊的等边三角形,直角三角形.

关于角度的计算，证明，常常需要思考三角形内角和定理，外角和定理，外角定理，直角三角形中含30。的性质及其

逆定理，还有就是不要忽视等腰直角三角形中两锐角都是45°.

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

§1不等关系

1.不等关系定义一般地，用符号（或"W”），“>”（或“2”）连接的式子叫做不等式.

准确“翻译”不等式，正确理解"非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数。大于等于0（20）O0和正数O不小于0.

非正数O小于等于0（40）O0和负数O不大于0.

§2不等式的基本性质

1.不等式的基本性质（掌握不等式的基本性质，并会灵活运用）

（①不等式的两边加上（或减去）同一个整式,不等号的方向不变；

即:如果。>。，那么。+c>Z?+c,a-c>b-c；合起来写：a+c>b+c

②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；

\cib

即如果”>仇并且c>（）,那么ac>6c,->-；

CC

③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；

ah

（即:如果a>。，并且c<0,那么ac<be,—<—

cc

2.比较大小:作差法（a、b分别表示两个实数或整式）

<a<b<=>a-b<0

<a=ba-h=0

.a>b<=>a-h>0（由此可见，要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.）

§3不等式的解集：

1.一元一次不等式基本情形为ar之力（或axvZ?）.

‘①当a>0时，解为

a

②当a=0时，「且b40,则x取一切实数；

I且〃〉（），则无解.

③当。<0时，解为尤<2.

、a

§4一元一次不等式

§5一元一次不等式与一次函数

§6一元一次不等式组

1.元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不

等式组无解.几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.

2.解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数,且。<〃）

口诀：同大取大；同小取小；一大一小取中间；大大小小无解（是空集）

一元一次不式解集图示叙述语言表达

x>a

■x>h同大取大

x>b-----------1------->

x<a

x<a1同小取小

x<b------ab1/>

x>a-------1--------J>

<a<x<h一大一小取中间

x<ba-b/

大大小小无解

x<a-------J-------J>

V无解a-b/

x>b（是空集）

延伸补充

"绝对值不等式：当4>0时，有国<。OY</O-。<X<。.（两根之内（间））

Y

J|x|>a<=>x2>a2<=>x<—>a（两根之外）

、一元二次不等式：——2）<0=l<x<2（两根之内（间））

（x—l）（x—2）>0ox<l或x>2（两根之外）

第三章图形的平移与旋转

§1图形的平移

1.定义:在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.

性质：平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等（或者在同一直线上），对应线段平行且相等（或者在同

一直线上），对应角相等.

2.一个图形依次沿x轴、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

§2图形的旋转

旋转定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋

转中心，转动的角叫做旋转角.旋转中心，方向.旋转角是三要素.

性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等.

今天就给大家分享一下在中考数学里分值越来越重的“图形旋转”，希望对大家有所帮助.

中考旋转中常见的几种模型.

旋转类型题目举例

1.正三角类型

在正AABC中，P为aABC内一点，将4ABP绕A点按逆时针方向旋转60°,使得AB与AC重合.

经过这样旋转变化，将图（1）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2）中的一个AP，CP中，

此时AP'AP也为正三角形.

解：把AAPC绕点A逆时针旋转60°,得到AAP'B（或在aABC的外侧，作/BAP=NCAP,）

且AP'=AP=3,连结P'B则ABAPZCAP.易证4APP'为正三角形.aPBP'为直角三角形

NAPB=/APP'+/P'PB=60°+90°=150°.

2.正方形类型

在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将aABP绕B点按顺时针方向旋转90°,使得BA与BC重

合，经过旋转变化，将图（1）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2）中的4CPP中，此时△BPP，为等腰

直角三角形.

例2:如图（1）,P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3,

求正方形ABCD面积.

解：把4BAP绕点B顺时针旋转90°,得到4BP'C（或作4AED使NDAE=NBAP,AE=AP）

连结EP,则4ADE丝Z\ABP.同样方法，作aDFC且有ADFC丝△BPC。

易证aEAP为等腰直角三角形，又•••AP=1,PE=0同理，PF=35/2

♦；NEDA=NPBA,NFDC=NPBC又•.,/PBA+NPBC=90°AZEDF=ZEDA+ZFDC+ZADC=90°+90°=180°

...点E、D、F在一条直线上.EF=ED+DF=2+2=4,在AEPF中，EF=4,EP=J^,FP=3夜

由勾股定理的逆定理，可知AEPF为直角三角形.

,]9

,•5正方形ABCD=SRIVEPF+StUVEPA+^RlVPFC=^+—+—=8.

3.等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形aABC中，ZC=90°,P为AABC内一点，将AAPC绕C点按逆时针方向旋转90°,

使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（1）中的一个AP'CP为等腰直角三角形.图（2）

例3:如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=AC,P为AABC内一点，且PA=3,PB=1,PC=2。求NBPC的度数

解：把4CAP绕点C逆时针旋转60°,得到ACP'B.（或在RtZ\ABC的外侧,作NBCP=NACP）,

且CP'=CP=2,连结P'P.则ABCP'丝AACP.易证Rtz^CPP'为等腰直角三角形，

在4PBP'中，BP'=3,BP=1,P'P=2近,

由勾股定理的逆定理可知，4P'PB为直角三角形，ZP'PB=90°

/.ZBPC=ZCPP'+ZPzPB=45°+90°=135°

例4:如图，锐角三角形ABC,在三角形所在的平面内求作一点0,使得0A+0B+0C的值最小.（0叫作费马点）

思路分析：形如下图，假设存在一点0,使得0A+0B+0C的值最小.

解：将三角形A0C绕点A逆时针旋转60°至三角形AO'C',连接00',

所以△△（）€四△AO'C',易得△AOO'是等边三角形，

则0A=00',所以OA+QB+OC=BO+OO'+0'C,

易得，当B,0,O',C'四点在同一直线上时，B0+00'+0'C'最小，即此时OA+OB+OC最小.

因此,ZA0B=ZA0,C'=120°,所以NA0C=NB0C=120°.

§3中心对称

中心对称图形

（D定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图

形，这个点叫做它的对称中心.

(2)性质

①关于中心对称的两个图形是全等形；

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.

(3)判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

§4简单的图案设计

第四章因式分解

§1因式分解.(也叫分解因式)

1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系：

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

§2提公因式法：提出公因式

§3公式法

口诀：一提二套三分组：先提公因子和负号，再套用公式法，最后进行彻底的分解.

因式分解10种方法(分解彻底)例：/-y4=(x2+y2)(x2—y2)就没有分解到底=(%2+y2)(x+y)(x_y)

’(1)提公因式法：ma+mb-mc=m(a+b-c)

⑵运用公式法:主要公式①平方差公式：a2-b2=(a+hXa-h)

②完全平方公式:/+2出?+〃=(。+〃)2]

a2-2ah+b2=(a-b)2Ja2±2ah-]-b2=(a±b)2

2222222

推广：«+b+c+2ab+2bc+2ca^(a+b+c)例：^+b)-4(a+b-\)=(a+b)-4(a+b)+4=(a+b-2)

a-+1)-+—2ab—2bc+2ca—(a—h+c)?

杨辉三角：“3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3

③立方和：a3+b^=(a+bXa2-ab+b2)±勿=(。土力(〃mM+")

立方差：a3-b3=(〃-/?)(/+出?+"2)J

以立方和为例进行证明

证明:配凑齐次式。〃或4%

a3+〃'=(〃3_曲2)+(匕3+/)

=a(a+b)(a・b)+b~(〃+/?)

(3)分组分解法：am+an+hm+bn=a(in+n)+h{m+n)=(a+b)(m+n)

(4)配方法(也叫配凑法)

拆项法•利41+zn2"2+l=(m4A24+2nfrr+1)—An2n2=(m2n2+1)2—An2n2=(77?2n24-l+mn)(An2n2+1-nm)

添项法.。4+。2+1R4+Q2+2。2_勿2+[=(。2+])2-。2=(。2+。+1)(储_々+1)

a”’

1

⑸十字相乘法(特例“pq”型)ax+bx+c=(alx+cl)(a2x+c2)如

“pq”型：X2+(p+(j)x+pcp{淤加*

双十字相乘法

分解形如分2+—，+02+办+纱+/•的二次六项式在草稿纸上，将。分解成小〃乘积作为一列，C分解成

P4乘积作为第二列，于分解成八乘积作为第三列，如果叫+印=l>,pk+qj=e,mk+nj=d,

即第1,2歹ij、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则原式=(/nx+〃y+j)(nx+qy+k).

也叫长十字相乘法。

6x2-5xy-6y2+2x+23y-20最后得出(2x—3y+4)(3%+2y-5),不懂的看下面示意图:

双十字相■去

ax*1+by2+cxy+dx+ey+f6x2-5xy-6y2+2x+23y-20

=(qx+心++与3'+fi)

其中q%=64瓦=b,fxf2=f

。向+%4=c->a\fiazf\=d+b2A=e2x*(-5)+3x*4=2x

-3y*(-5)+2y*4=23y

（6）换元法（7）主元法（8）待定系数法（9）应用因式定理（10）求根法

常用求和结论：

⑴①S〃=Sjj：=Z%=1+2+3+—+〃="("+1)

k=l2

2

②=5奇=Z(2攵-1)=1+3+5+...+(2n—1)="(2"_Ltll=n

k=\2

③S〃=S偶=Z(2女)=2+4+6+...+2〃=*2"挈)=〃(〃+1)=〃？+〃=S奇+〃

%=i2

(2)S“=%2=『+22+32+...+“2=〃5+l)(2"+l)

M6

l(3)5,,==r+23+33+…+“3=(I+2+3+…+〃)2=产"+1)[2=〃一伽+1)-

k=\24

延伸补充：

(1)欧拉公式:-3abe=(a+h)7,-3ah(a+b)+c3-3ahc=[(«+Z?)?+c3]-3ab(a+h+c).

=[(a+b)+c][(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)Ca2+b2+c2-ab-be-cd)

(3)a"+bn=(a+b)Can-l-an-2Z>+...-abn-2+-)(n为正奇数)

nn2n2

(4)a-b"=(a-b^a"-'+a-b+...+ab-+"i)(n为正整数)

特殊完全平方式，用配方求最小值

(l)/(x,^)=x2+/-6x+8y+7=(x2-6x+32)-32+(y2+8y+42)-42+7=(x-3)2+(^+4)2-18>-18

(2)f(x,y)=2x2+8y2-4肛-2x+12y+14=(f-2x+l)+(x2-4xy+4y2)+(4y2+12y+9)+4

=(x-l)2+(x-2y)2+(2y+3)2+4>4

变式:f(x,y)=—4母+5y2+6x—12y+13最小值是.

f(x,y)-2x2-4xy+5y2+6x-12y+13=(x2+6x+32)—32+(f-4xy+4>,2)+(y2—12^+62)—62+13

=(X+3)2+(x-2y)2+(y-6)2—322-32

十字相乘法因式分解练习题

a2Kxe2

十字相乘法

+bx+c=(aix+cl)(a2x+c2)

(特例"pq”型)“pq”型：d+(〃+°x+p年人后)K*

(1)x~+3x+2=(x+l)(x+2)(2)%2—7x+6=(x—1)(x—6)

(3)x2-4x-21=(x-7)(x+3)(4)x"+2x—15—(x+5)(%—3)

(5)x4+6x2+8=(x2+2)(x2+4)(6)(4+/?)2—4(a+Z?)+3=(。4-b-1)(。+Z?-3)

⑺x1-3xy+2y2=Q_y)(x_2y)(8)x4-3x3-2&v2=X2(X-7)(X+4)

(9)x~+4x+3=(x+l)(x+3)(10)a?+7。+10=(Q+2)(Q+5)

(11)y2_7y+]2=(y-3)(y-4)(12)/_6g+8=(q-2)(q-4)

(13)x~+x—20=(x+5)(x—4)(14)m2+7m-18=(zn+9)(m-2)

(15)p2-5P—36=(p-9)(p+4)(16)t~—2/—8=(t—4)(/+2)

(17)X4-X2-20=(X2-5)(X2+4)(18)6f2%2+7QX—8=(ar+8)(ox-l)

(19)a2-9ab+\4b2=(a-2b)(a-lb)(20)Y+1氏)+18y2=(%+2y)(x+9y)

(21)x2y2-5x2y-6x2=x2(y-6)(y+l)(22)_Q3_4Q~+1—Q(Q+6)(Q―2)

(23)3x〜■+-1lx+10=(x+2)(3x+5)(24)2x2-7x4-3=(x-3)(2%-1)

(25)6x“—7x—5=(2x+l)(3x—5)(26)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)

(27)2x~+15x+7=(%+7)(2尤+1)(28)3Q——8Q+4=(Q-2)(3〃-2)

(29)5厂+7x—6=(x+2)(5%—3)(30)5a2b2+23czb-10=(ab+5)(5o力-2)

(31)3«2/?2-\labxy+\Qx2y2=(3ab-2xy)(ab-5xy)

(32)4x4y2-5x2y2-9y2=y2(x2+l)(2x+3)(2x-3)

(33)4n2+4〃-15=(2m—3n)(2m+5n)(34)+/-35=(2/+5)(3/-7)

(35)1Ox2—2try+2y2=(36)8m2—22m〃+15〃2=

(37)+5x+3)(x-+5x—2)—6—(38)(x-1)(x4-2)(x-3)(x4-4)4-24=

(39)x2-(k+2)x+2k=(x-k)(x—2)(40)X2+OX+6Z-1=[x+(t7-l)](x+l)

(41)X2-2OX+2a—l=[x—(2a—l)](x—1)(42)£.(k+3)x+2k.+2=炉-(k+3)x+2(左+D=[x—(k+l)](x—2)

第五章分式与分式方程

§1认识分式

A

1.(1)分式的定义(概念)：一般地，用A、B表示两个整式，A+B就可以表示成一的形式，如果B中含有字母，

B

A

式子一就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.

B

分式和整式通称为有理式.

分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

(2)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

§2分式的乘除法：

(2)7+;=7*—=厂；(3)()“=”(〃为整施；

babababebebb

§3分式的加减法：

,«、a、ba+ba,cad+bc

(1)-+-=---；(2)-±-=-------

cccbdbd

§4分式方程：定义分母里含有未知数的方程叫做分式方程.(注意检验是不是增根)

整式方程：方程两边都是关于未知数的整式.

第六章平行四边形

§1平行四边形的性质

1.四边形的相关概念：四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

四边形具有不稳定性.

2.平行四边形(边，角，对角线三方面理解记忆性质和判断定理)

(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

'①边：平行四边形的对边平行且相等；

J②角：平行四边形对角相等，邻角互补，四边形的内角和等于360°；

I③对角线：平行四边形的对角线互相平分；

④平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

常用点：

(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直

线二等分此平行四边形的面积.

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

Z7ABCD中，对角线的和坐标相等.

xA+xcX"+租

xo八A।八0"-A"n•人力

22

+Vc,y«+y

l)，%+Vc=y>+yo

22r

§2平行四边形的判定

1.平行四边形的判定5个

'「1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

边+2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

13)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

角(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

I对角线(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

2.两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离.

平行线间的距离处处相等.

3.平行四边形的面积:

5-IABCD=底*高

等积变形

(1)等底等高的两个三角形面积相等；

(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S：邑

；

(3)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SAACD=S&BCD

反之，如果则可知直线A8平行于CO.

(4)等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)：

(5)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

(6)两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

题型典例

如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角/A,ZB,ZC,ND处均有一棵大核桃树。

田村准备挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问

田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(要保留画图痕迹，不写画法)

中考几何平分面积问题方法总结

1.三角形的面积平分

(1)三角形的中线将三角形面积平分

(2)构造以下模型，通过等面积转换，作出面积平分线

如图，在梯形ABCD中，易证AOAB和AOCD面积相等，我们不妨称之为“蝴蝶模型”.

构造蝴蝶模型的关键点：平行线

构造蝴蝶模型的目的：等面积转换

梯形的面积

⑴如图，S梯形八BCZ)=5(〃+")'

⑵梯形中有关图形的面积：

①^ABC=SDBC；

②SBAD=^CAD；

口.

③S(JAB=S0c

例1:如图，过aABC的底边BC上一定点P,求作一直线1,使其平分aABC的面积.

简答：取BC中点M,连接AM,则aABM和aACM的面积相等，连接AP,过M作AP的平行线MN,构造

“蝴蝶模型”如图，,•,△OAN和A