初中代数推理教学设计

一、基本情况（一）教材分析本节课内容是苏科版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册5.5用二次函数解决问题，是基于九年级学习的二次函数的图像与性质和七八年级学习一次函数、反比例函数等内容学习的。本节课的内容主要是二次函数代数层面上的应用，所以属于代数推理的范畴，它是后续学习二次函数数形结合的综合应用的重要基础。这一节课的教学可以培养学生提出问题、观察问题、分析并解决问题的能力，体会建模的数学思想。另外，通过范导式教学方式，在“范”“导”的过程中，发展和提升学生的核心素养。（二）教学目标（1）能根据实际问题中变量之间的关系，确定二次函数的表达式；（2）熟练运用二次函数的知识求实际问题中的最值；（3）经历用二次函数表述数量变化及其关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。（三）教学重点应用二次函数求实际问题中的最值。（四）教学难点找准等量关系，确定二次函数表达式。（五）教学方法小组讨论、范导式学习法。二、教学过程（一）生活情境，引发思考师：同学们，自李克强总理提出“大众创业，万众创新”后，常州积极响应，在新北区黄河路上建立了名为“嘉壹度”的众创空间，成为众多创业项目的孵化器。那么想入驻，要带着有发展潜力的项目，请同学们与徐老师一起考察以下项目。问题1.某种粮大户去年种植优质水稻360亩，设今年计划多承租亩稻田。预计原亩稻田今年每亩可获利润x元，新增亩稻田今年每亩的利润为（440-2x）元。该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能获利158400元？师：同学们，这个实际问题中，有几个未知量？生：1个。师：可以用我们学习的什么数学模型来解决呢？生：一元二次方程。师：同学们，还记得用方程模型解决问题的步骤吗？生：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答。师：请同学们按照步骤尝试解决一下。师：（巡视发现一部分学生找不到等量关系）对这样量比较多的问题，有什么好的工具吗？生：可以列表格（表1）。表1等量关系师：（展示学生解答过程）如果你是老板，你会选择多承租多少亩稻田呢？生：既然不多承租稻田和多承租220亩稻田所获利润相同，那我会选择不多承租稻田。师：这就是最优化方案，但是做生意总是要寻求利润的最大化。如果你是老板，怎样能获得最多的利润呢？利润也变成一个未知量，现在这个问题中有几个未知量？生：两个。师：如果设总利润为y，那么我们把一元二次方程中158400替换成y，一元二次方程就变成了y＝360×440+（440-2x）x。请同学们通过化简，揭开它的神秘面纱。生：化简得y＝-2x2+440x+158400，是一个二次函数的解析式。师：那今天我们一起来研究用二次函数解决销售类最优化问题。设计说明：从有趣真实的创业情境导入课堂，调动学生学习的积极性。这样符合范导式教学的实施策略之一——创设真实性情境的要求。以一元二次方程的应用类比学习二次函数的应用，这里前者就是范导式教学中的“范”。这样范导式的教学方式首先消除了学生对二次函数应用的畏惧心理，其次也帮助学生理清了研究的思路，为后续研究奠定了基础。（二）知识准备，回顾复习师：磨刀不误砍柴工，请同学们回忆二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的相关性质。设计说明：引导学生复习二次函数的图像与性质，为接下来运用图像与性质解决问题做好准备。（三）建立模型，解决问题问题2.某种粮大户去年种植优质水稻360亩，设今年计划多承租x（100≤x≤150）亩稻田。预计原360亩稻田今年每亩可获利润440元，新增亩稻田今年每亩的利润（440-2x）为元。（1）设今年总利润为元，请你写出y与x的函数关系式；（2）该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总利润最大？最大利润是多少？（3）若今年计划多承租x（120≤x≤150）亩呢？师：第一小问我们刚刚已经解决了，y与x的函数关系式为y＝-2x2+440x+158400。第二问求最值相信也难不倒你们，试试看！生：法1：顶点公式；法2：配方法。师：同学们真棒，可以用两种方法求最值。那么同学们这里运用了二次函数的哪一条性质呢？生：在顶点处取最值。师：学生已经完整地利用二次函数解决了一个销售类最优化问题，你能总结一下经验吗？生：（1）步骤。①审题→②设未知数→③找等量关系→④列二次函数表达式→⑤求最值（顶点公式或配方法）→⑥检验→⑦作答。（2）可借助表格分析数量之间的关系。（3）常用等量关系。总利润＝单位利润数量。（4）注意自变量的取值范围（最值不在取值范围内时，利用函数的增减性来解决）。（5）求函数值时一般代入化简前的解析式计算更简单。师：同学们，正所谓学以致用，用你们积累的宝贵经验尝试继续考察一下种地的项目吧。（四）关键训练，突破难点师：从上述考察的过程中，同学们觉得哪一个步骤，你觉得比较难？生：找等量关系，列二次函数解析式。师：好的，那就围绕同学们的痛点，我们进行关键点的训练。今年由于新冠疫情的蔓延，市场行情有波动。问题3：新承租的稻田每增加2亩，其每亩利润比去年少5元。其余条件不变，求总利润（元）与新增稻田面积（亩）的函数关系式。师：（展示学生解答过程）看来同学们学习能力很强啊！那接下来，就请同学们作为市场行情的调控者，给你的同桌出题，检查对方是否已经掌握。师：同学们，我们知道目前国际矛盾多发，这也在一定程度上影响了我们粮食的市场行情。（五）课堂小结，总结提升1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识和技能？2.感悟了哪些数学思想？3.你能类比今天研究过程预习下一节课的内容吗？设计说明：课堂小结本节课学习的知识与技能，了解渗透的数学思想是基础。但范导式教学还提出了更高的要求——能创造性地应用。所以本环节精心设计了类比学习的任务，引导学生不仅要思考知识、技能层面的收获，更要回顾知识、技能获得的过程。在“范”的引领下，能“导”出更多的成果。三、回顾与反思（一）教学设计的立意根据教学目标，笔者认为本节课的主要目的是克服对二次函数应用的畏惧心理，然后按步骤利用二次函数的性质解决销售类最优化问题。虽然八年级学习过一次函数、反比例函数，但是大多数学生对函数还是存在畏惧心理，要想学生真正掌握，首先要帮助学生摆脱心理上的障碍。所以本节课把重点放在前，难点放在后。通过设计发展性的任务突破重点；通过多元性的意义协商翻转课堂；通过类比的方式总结步骤；通过关键点的训练消化难点；引导学生自主探究、自主解决，配合教师的示范与适时点拨，清晰学生研究思路，增强学生学习函数的信心。（二）教学反思范导式教学的范导性与建构性受康德哲学的启迪，但又有自身独特的内涵与要求。如果康德把世界、自由和灵魂作为范导性概念而统领理想的探索、形成知识过程中指示的“目的与方向”的话。那么，在教学实践领域，真实性情景、发展性任务、多元化意义协商和创造性应用则是引领教学改革方向，提升学生核心素养的范导性概念。1.真实性情境呈现，激发学习兴趣范导式教学提倡情境的创设要有利于学生感受学科知识来源于生活的道理。本节课要利用二次函数这个数学模型解决销售类最优化问题，但是实际问题中，往往并不是一个二次函数的数学模型就能解决的，所以这里要引导学生认识到本节课研究的是特定背景下实际问题。在课堂伊始，笔者通过李克强总理提出的“大众创业，万众创新”吸引学生注意力，激发学生学习兴趣。紧接着通过常州“嘉壹度”众创空间的真实案例导入本节课内容的学习。一方面有利于学生感受数学来源于生活，另一方面普及支持创新创业的常州行动，增强学生的自豪感，实现学科育人。在课堂后续教学环节中，众创空间的真实情境一直在延续，并伴随着新冠疫情、国际外交局势等时事热点。这些情境是真实的、贴近生活实际的，同时也是比较复杂的，市场行情受到这样多种因素的影响，而这样的影响，数学化表达之后就是不同的条件。在这样的真实情境下思考、分析，能加深学生对生活和数学之间联系的理解。2.发展性任务驱动，铺设探究台阶发展性任务，是指教师根据课程标准的要求，从培育学科核心素养的视角出发，在深度解读教材的基础上，把课堂教学中要达成的目标分解为若干梯度合理、结构鲜明、富有启发性和生成导向的学习任务。本节课学习的内容在考察时通常是以解答题的形式出现，对学生综合能力要求还是比较高的。在新课教学过程中，不能操之过急，在学生的最近发展区上设置有梯度的发展性任务，为学生铺设探究的台阶。教师在突破重点时，可以设置在顶点处取最值和不在顶点处取最值两个发展性的任务，引导学生通过自主探究，总结出要注意自变量的取值范围的经验。在突破重点时，通过一系列的变式，逐渐增加难度，进行关键点的训练，在发展性任务的驱动下，帮助学生攻破难点。在这样发展性任务的驱动下，学生探究的积极性和信心得到了增强，充分发挥出学生的主体性。3.多元化意义协商，产生真实学习多元化意义协商，是指为了达成发展性任务而采取的灵活多样的教学策略、学习途径。本节课笔者在设置问题时，避免了枯燥的“是不是”“对不对”的问题，而更多地设置了留白的问题，譬如“请同学们通过化简揭开它的神秘面纱”“请同学们用你积累的经验尝试解决一下”等。在突破难点时，巧妙地设计了同桌互相出题的活动，由答题者转变为出题者，学生更加积极地参与到课堂教学中来。这样师生、生生之间的“意义协商”，转变了传统的教师教、学生学的模式，助力真