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文档简介
四川省眉山市仁寿县铧强中学2024届高三全真模拟考试(一)数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合则()A. B. C. D.2.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.23.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.4.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.46.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().A.1 B.1 C.3 D.47.若复数满足,则()A. B. C. D.8.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}9.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=﹣x﹣2,则()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)10.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;(2)存在某个位置,使得;(3)设二面角的平面角为,则;(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.其中,正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.411.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得12.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.14.函数的值域为_________.15.展开式中的系数为_________.(用数字做答)16.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数(单位:名)使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.(1)求频数分布表中,的值;(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.18.(12分)已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2),,求实数的取值范围.19.(12分)已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值.20.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.(1)求证:.(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】
直接求交集得到答案.【题目详解】集合,则.故选:.【题目点拨】本题考查了交集运算,属于简单题.2、D【解题分析】
分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【题目详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【题目点拨】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.3、B【解题分析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【题目详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【题目点拨】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.4、B【解题分析】
转化,为,利用复数的除法化简,即得解【题目详解】复数满足:所以故选:B【题目点拨】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.5、C【解题分析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.6、C【解题分析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【题目详解】画出图形:若为的外心,则,平面,可得,即,①正确;若为等边三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②错误;若,设与平面所成角为可得,设到平面的距离为由可得即有,当且仅当取等号.可得的最大值为,即的范围为,③正确;取中点,的中点,连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上,而,可得④正确;所以正确的是:①③④故选:C【题目点拨】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,处理这类问题,可以用已知的定理或性质来证明,也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.7、C【解题分析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.【题目详解】,故,故,.故选:.【题目点拨】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.8、B【解题分析】
按补集、交集定义,即可求解.【题目详解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故选:B.【题目点拨】本题考查集合间的运算,属于基础题.9、B【解题分析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函数f(x)在定义域上的图象,由此结合选项判断即可.【题目详解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函数且周期为2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]时的图象,然后根据周期为2依次平移,并结合f(x)是偶函数作出f(x)在R上的图象如下,选项A,,所以,选项A错误;选项B,因为,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),选项B正确;选项C,,所以,即,选项C错误;选项D,,选项D错误.故选:B.【题目点拨】本题考查函数性质的综合运用,考查函数值的大小比较,考查数形结合思想,属于中档题.10、C【解题分析】
解:对于(1),当CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方时,E到平面BCD的距离最大,当CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方时,E到平面BCD的距离最小,∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值,故(1)正确;对于(2),连接DE,若存在某个位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,则AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,进一步可得AE=DE,此时E﹣ABD为正三棱锥,故(2)正确;对于(3),取AB中点O,连接DO,EO,则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角,为θ,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正确;对于(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,P到BC的距离为:dP﹣BC,因为<1,所以点P的轨迹为椭圆.(4)正确.故选:C.点睛:该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征,以几何体为载体,考查相关的空间关系,在解题的过程中,需要认真分析,得到结果,注意对知识点的灵活运用.11、A【解题分析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【题目详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.【题目点拨】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、B【解题分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【题目详解】,所以,.故选:B.【题目点拨】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
根据双曲线上的点的坐标关系得,交圆于点,所以,建立等式,两式作商即可得解.【题目详解】设,交圆于点,所以易知:即.故答案为:【题目点拨】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论,若能熟记常见二级结论,此题可以简化计算.14、【解题分析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【题目详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.15、210【解题分析】
转化,只有中含有,即得解.【题目详解】只有中含有,其中的系数为故答案为:210【题目点拨】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16、0.18【解题分析】
根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【题目详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18【题目点拨】本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)680元.【解题分析】
(1)根据题意,列方程,然后求解即可(2)根据题意,计算出10000元使用“余额宝”的利息为(元)和10000元使用“财富通”的利息为(元),得到所有可能的取值为560(元),700(元),840(元),然后根据所有可能的取值,计算出相应的概率,并列出的分布列表,然后求解数学期望即可【题目详解】(1)据题意,得,所以.(2)据,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人,使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为(元).10000元使用“财富通”的利息为(元).所有可能的取值为560(元),700(元),840(元).,,.的分布列为560700840所以(元).【题目点拨】本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题,属于基础题18、(1);(2).【解题分析】
(1)将代入函数的解析式,将函数的及解析式变形为分段函数,利用二次函数的基本性质可求得函数的值域;(2)由参变量分离法得出在区间内有解,分和讨论,求得函数的最大值,即可得出实数的取值范围.【题目详解】(1)当时,.当时,;当时,.函数的值域为;(2)不等式等价于,即在区间内有解当时,,此时,,则;当时,,函数在区间上单调递增,当时,,则.综上,实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题,利用绝对值的应用将函数转化为二次函数,结合二次函数的性质是解决本题的关键,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.19、【解题分析】
由不存在逆矩阵,可得,再利用特征多项式求出特征值3,0,,利用矩阵乘法运算即可.【题目详解】因为不存在逆矩阵,,所以.矩阵的特征多项式为,令,则或,所以,即,所以,所以【题目点拨】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题.20、(1)见解析(2)【解题分析】
(1)由已知可证明平面,从而得证面面垂直,再由,得线面垂直,从而得,由直角三角形得结论;(2)以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法示二面角.【题目详解】(1)证明:连接,,.,,平面.平面,平面平面.,为的中点,.平面平面,平面.平面,.为斜边的中点,,(2),由(1)可知,为等腰直角三角形,则.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,记平面的法向量为由得到,取,可得,则.易知平面的法向量为.记二面角的平面角为,且由图可知为锐角,则,所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直,从而得线线垂直,考查用空间向量法求二面角.在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时,可以建立空间直角坐标系,用空间向量法求解空间角,可避免空间角的作证过程,通过计算求解.21、(1)见解析;(2)【解题分析】
(1)由折叠过程知与平面垂直,得,再取中点,可证与平面垂直,得,从而可得线面垂直,再得线线垂直;(2)由已知得为中
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