河北鸡泽县第一中学2024届高三下期中考数学试题

河北鸡泽县第一中学2024届高三下期中考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知i是虚数单位，则1+iiA．-12+32i3．已知实数x，y满足，则的最小值等于（）A． B． C． D．4．若为纯虚数，则z＝（）A． B．6i C． D．205．若直线与圆相交所得弦长为，则（）A．1 B．2 C． D．36．已知若（1-ai）(3+2i)为纯虚数，则a的值为（）A． B． C． D．7．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．8．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）A． B．4 C． D．169．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．6410．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种11．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B． C．2 D．12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.14．已知全集，集合则_____．15．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.16．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．（1）求证：平面ACD；（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．19．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.20．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．21．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例70%10%15%5%如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．22．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【题目详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.2、D【解题分析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果【题目详解】1+i故选D【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。3、D【解题分析】

设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【题目详解】因为实数，满足，设，，，恒成立，，故则的最小值等于.故选：．【题目点拨】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4、C【解题分析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【题目详解】∵为纯虚数，∴且得，此时故选：C.【题目点拨】本题考查复数的概念与运算，属基础题.5、A【解题分析】

将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【题目详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【题目点拨】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.6、A【解题分析】

根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.【题目详解】由题可知原式为，该复数为纯虚数，所以.故选：A【题目点拨】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.7、D【解题分析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【题目详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，最小值为.故选:D.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.8、D【解题分析】

根据复数乘方公式：，直接求解即可.【题目详解】，.故选：D【题目点拨】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.9、B【解题分析】

设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【题目详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B【题目点拨】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。10、B【解题分析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【题目详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B【题目点拨】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.11、B【解题分析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【题目详解】可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.故选:B.【题目点拨】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.12、A【解题分析】

根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.【题目详解】如下图所示，平面，从而平面，易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∴结合四个选项可知，只有正确.故选：A.【题目点拨】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【题目详解】抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有，化简整理得：或.若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案为：或【题目点拨】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.14、【解题分析】

根据补集的定义求解即可.【题目详解】解：．故答案为．【题目点拨】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.15、【解题分析】

由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.【题目详解】因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.16、【解题分析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】

（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.【题目详解】（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，因为，整理得，又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；（2）由（1）可知，，，即.【题目点拨】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.18、（1）见解析（2），最大值．【解题分析】

（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.【题目详解】（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圆O的直径，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，当且仅当，即时取等号，∴当时，体积有最大值．【题目点拨】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【解题分析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.【题目详解】解：（1）函数的定义域为由已知得，则，解得.（2）由题意得，则.当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，所以，单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值.（3）要证成立，只需证成立.令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的极大值为，即由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.所以，.【题目点拨】知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.20、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.【解题分析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，则，．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）的发分布列为：X2060140