三次函数的图象与性质（教师版）

三次函数知识点总结知识点一：三次函数概念定义：形如fxf'x=3ax2+2bx+c当Δ>0时，令f'x知识点二：三次函数的图像及单调性注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！图像图像性质增区间减区间xfx极大值，极小值f'fx在Rfx增区间x减区间fx极大值fx2f'fx在Rfx知识点三：三次函数的韦达定理设fx=axx1+x2+x3=−ba[证明]设f即f故−知识点四：三次函数的零点个数若三次函数fx性质三次函数图像说明零点个数三个bf两个极值符号相异图像与x轴有三个交点两个bf有一个极值为0图像与x轴有两个交点一个bf不存在极值时，函数单调，与x轴有一个交点知识点五：三次函数的对称性结论1：三次函数fx=ax3+b[证明]设y=fx的图象关于m，n对称，则fxf即f故所以三次函数fx=ax结论2：已知三次函数fx=ax3+bx2[证明]f故fx1−fx2x结论3：若y=fx图像关于点m，n对称，则y=f'x图结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数知识点六：三次函数的零点性质定理定理一：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象与x轴交点分别为P1，P2，P3，点P是三次函数固象上异于P1[证明]设Px0，fx代入点P得，k又k同理k2=ax定理二：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+d结论：f[证明]设P1x则k所以f'm定理三：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像与x轴交点分别为P1[证明]由题f故f故1所以1k1+定理四：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0在其中心对称点Px0，fx0[证明]由题f故f所以k即k1化简得k1又由韦达定理待x1+x2+x所以k1+k2定理五：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像与x轴的交点分别为P1x1，0，P2x2，0，P3x3，0，过P1的法线为[证明]由题f故f故f'x1=ax1−x2x1所以yM+yN=0，即知识点七：三次函数的割线性质定理定理一：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da[证明]设Mx1，fx1，Nx2，fx2两式相减得a即a化简得a此时x1，x由韦达定理得x1+x2=−ax所以T点的横坐标平分M，N的横坐标，证毕.推论一已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像上任取点P，过点P[证明]由定理一知：2xT=xM推论二：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠[证明]证法同定理一定理二：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da>0的中心对称点为点Px0，fx0，极大值为m，且即x2−x[证明]由三次函数对称性知，M与N关于点P对称，所以x又由推论一知：x0+x2=2x3，故x知识点八：三次函数的切线条数判断定理类型一：过三次函数图像上任一点的切线①设点P为三次函数fx=ax3+bx②若点P为三次函数图像的中心对称点，则过点P有且只有一条切线；③若点P不是三次函数图像的对称中心，则过点P有两条不同的切线.[证明]设Px1，y1，f'x(2)若P不是切点，则过P点作y=fx图像的切线，切于另一点k又即当k1=当x1=−b3a时，两切重合，所以过点P在且只有一条切线，当x1其切线方程：y−y1类型二：过三次函数图像外一点的切线区域分布切线条数判定定理：过三次函数fx=ax3+bx2①当x0=−b3a，则P为中心对称点，过点②当x0≠−b3a，且gx③当x0≠−b3a，且gx④当x0≠−b3a，且gx[证明]设过点P作直线与y=fx图像相切于点Qx1，y1，则切线方程为设gg令g'x=0，则x=x0，x=−b3a，当gx=0恰有一个实根的充要条件是曲线y=gx与x轴只有一个交点，即y=gx在R上为单调函数或两极值同号，所以x0=−b3a或x0≠−b3a，且gx0g所以x0≠−b3a且类型三：由三次函数切线斜率值判断切线条数斜率值切线条数判定定理：已知三次函数fx=ax3+k与系数的关系aak一条一条k两条两条k零条两条[证明]fx=ax当x=−b3a时，f'xmin此时切线有且只有一条：其方程为y−f当k>3ac−b23a时，方和3a此时存在两个不同的切点x1所以斜率为kk<3ac−b23a时，方程同理可证，a<0时结论成立题型一：三次函数的零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.题型二：三次函数的最值、极值问题例2．已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，而的最大值为，∴，解得：.（2），∴，由得：，，则在，上单调递减，在上单调递增，又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，，得，此时，的零点为；当，即时，，得（舍）.综上的零点为.题型三：三次函数的单调性问题例3．已知函数，，m是实数.（1）若在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下,函数有三个零点，求m的取值范围.【解析】(1)，因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以,即恒成立,由,得.所以的取值范围是.(2)，所以,令,解得或,时,,在上是增函数,不合题意,时,令,解得或,令,解得,所以在递增,在递减,所以极大值为,极小值为,要使有3个零点,需，解得.所以的取值范围是.题型四：三次函数的切线问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求曲线在点，处的切线方程；(2)设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．【解析】（1）函数，．切线方程为，即．（2）由已知关于的方程，即有三个不等实根．令，则．可知在递减，在递增，在递减，的极小值为：，极大值为．所以.变式c．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值．(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．【解析】（1）证明：由，得：，由题意可得，所以，．此时，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数在处取得极大值．设切点为，则切线方程为，即，即为，将点的坐标代入方程可得，即，所以，即点为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．所以切线方程为.（2）因为切线方程为，把点的坐标代入切线方程可得，因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．设，，令，可得和．当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，函数在处取得极大值，且，函数在处取得极小值，且，因为方程有三个根，则，解得，因为，，由零点存在定理可知，函数有三个零点，综上所述，．（3）证明：假设，则，则，因为，所以．由（2）可得，两式相减可得．因为，故．把代入上式可得，，所以，，所以．又由，这与矛盾．所以假设不成立，即证得．题型五：三次函数的对称问题例5．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数，则（

）A． B． C． D．【解析】由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，就恒有的定值为，则的值为______.【解析】因为为定点，为定值，所以两点关于点对称，由可得，设，令，解得，所以根据三次函数的对称中心的二阶导数为0可得是三次函数的对称中心，所以，即.故答案为：2变式2：（多选题）已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．，B．函数有三个零点C．过可以作两条直线与图像相切D．若函数在区间上有最大值，则E．的值是199.F．过可以作三条直线与图像相切【解析】对于A中，由，可得，则，因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，且，解得，所以A正确；对于B中，由，可知，则，令，可得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，则函数图象如图所示，由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误；对于C中，因为，所以点恰好在的图象上，画出函数的切线，如图所示，由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确；对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正确.故选：ACD.E、因为函数的对称中心为，所以有，设，所以有，得，，所以即的值是199.故B正确；F、设切点为，则切线方程为，又切线过，则，化简得，即，解得或，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.题型六：三次函数的综合问题例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（

）A．5B．6C．1D．8【解析】由得，因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，此时的另外一个根，所以，因为方程有3个实数根，它们分别是，，2，所以，所以且，所以则所以，因为，所以，所以的最小值是5.故选：A．变式．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是__．【解析】求导函数可得，当时，；当，或时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值为，的极小值为，函数没有最值，要使有三个解、、，那么结合函数草图可知：，所以，且，所以，，，，故①②错误；③④⑤正确.故答案为：③④⑤．题型七：三次函数恒成立问题例7．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.(2)对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.变式1．已知三次函数．（1）若函数在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．【解析】（1）由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线方程是，可得，解得，，所以．（2）由（1）知，令，即，解得，当时，；当时，；当时，；所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，，，，所以在区间上，，所以对于区间上任意两个自变量，，都有，所以，即实数的取值范围是．变式2c．已知函数，为函数的导函数(1)若为函数的极值点，求实数的值；(2)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数的取值范围；(3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值.【解析】（1）因为，所以，因为为函数的极值点，所以，解得或；当时，，则，所以，当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意；当时，，则，所以，当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意；综上，或．（2），因为的单调增区间内有且只有两个整数，所以，有且只有两个整数满足不等式，即有且只有两个整数满足不等式，显然，当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；综上可得（3）因为，令，则，令，则或，因为，所以，，所以当，和，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的极小值为，又，令，在上成立，所以，当时，函数单调递增，故，所以，即当，时，，又其对应函数图像的对称轴为，所以时，，所以，故有，所以，，，因为，，所以，所以，即实数的最大值为.课后练习（多选题）1．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，即，则，即，所以A错误；因为三次函数有三个不同的零点，所以，所以，同理，所以，故C正确，D错误；由的图象与直线的交点可知，B正确．故选：BC．

2．设三次函数，则以下说法正确的是（

）A．函数的“拐点”为B．过函数的“拐点”有三条切线C．当时，函数有两个极值点，且两个极值点之和为D．若，则【详解】对于A，，，令得，由题意得函数的“拐点”为，故A正确；对于B，对于函数，，，显然的“拐点”为，设过“拐点”的切线的切点为，，则切线方程为，代入，得，解得，所以过“拐点”的切线只有一条，故B错误；对于C，，，若函数有两个极值点，则有两个不等的实根，故，即，且两个极值点为的两根，由根与系数之间的关系得两个极值点之和为，故C正确；对于D，若，则，由A项分析及题意知，函数的对称中心为，即若，则，设，又，两式相加得，故，故D正确.故选：ACD3．已知三次函数，下列结论正确的是（

）A．当时，单调递减区间为B．当时，单调递增区间为C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则D．当时，恒成立，则a的取值范围为【详解】，则，当时，在区间上，所以在上单调递减区间，A正确，B错误；要使函数恰有两个不同的零点，则有一个极值为0，由上分析知：或，而时，不满足题意；所以，有，化简可得，C正确；当时恒成立，即恒成立，令，则，故，在上，单