2003年高考.全国文科数学

PAGE密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.球体的体积公式：，其中R表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线对称的直线方程为（）（A）（B）（C）（D）2．已知，，则（）（A）（B）（C）（D）3．抛物线的准线方程是的值为（）（A）（B）（C）（D）4．等差数列中，已知为（）（A）48（B）49（C）50（D）515．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）6．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）7．已知（）（A）（B）（C）（D）8．函数（）（A）0（B）（C）（D）9．已知（）（A）（B）（C）（D）10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）（A）（B）（C）（D）11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）若重合，则tg=（）（A）（B）（C）（D）1ED1B1AED1B1A1C1BDCAFM（Ⅱ）求点的距离18．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求.19．（本小题满分12分）已知数列满足（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明yyOOOx20．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象21．（本小题满分12分）O北东Oy线岸O北东Oy线岸OxOr(t)P海22．（本小题满分14分）已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由OOPAGDFECBxy2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．C9．C10．B11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．14．15．16．72三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有V由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S△DCD·EF.∵AA1=2·AB=1.故点D1到平面BDE的距离为.18．解：设z= 由题设 即（舍去） 即|z|=19．（I）解∵（II）证明：由已知= 所以20．解（I） 所以函数的最小正周期为π，最大值为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知111故函数在区间上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是，其中t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即，解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：，①