湖北省武汉市重点中学4G联合体2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（含答案）

2022-2023学年度上学期武汉市重点中学联合体期末考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列中的首项，且满足，则此数列的第三项是（）A．1 B． C． D．2．已知三棱锥O-ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且﹐﹐，则（）．A． B． C． D．3．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，满足，若的面积为9，则（）A．1 B．2 C． D．34．意大利数学家斐波那契在1202年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前2022项中，奇数的个数为（）A．672 B．674 C．1348 D．20225．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）A． B． C． D．6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为（）A． B． C． D．7．在等差数列中，是的前n项和，满足，，则有限项数列，，…，，中，最大项和最小项分别为（）A．， B．， C．， D．，8．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A，B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》A．该试验样本空间共有4个样本点 B．C．A与B为互斥事件 D．A与B为相互独立事件10．等差数列，的前n项和分别为，，，，则下列说法正确的有（）A．数列是递增数列 B．C． D．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C（圆心为C），则下列说法正确的是（）A．圆C的方程是B．以AB为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为D．过直线上的一点M向圆引切线ME、MF，则四边形MECF的面积的最小值为12．抛物线的光学性质为：从焦点F发出的光线经过抛物线上的点P反射后，反射光线平行抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点P处的切线．已知抛物线上任意一点处的切线为，直线l交抛物线于，，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．下列说法正确的是（）A．直线l方程为B．设弦AB的中点为M，则QM平行于x轴或与x轴重合C．切线QA与y轴的交点恰在以FQ为直径的圆上D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线于的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则________．14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为________．15．在直三棱柱中，，，，M是，的中点，以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，若，则异面直线CM与夹角的余弦值为________．16．已知椭圆C：的离心率为，右焦点为，点M在圆上，且M在第一象限，过M作圆的切线交椭圆于P，Q两点．若；的周长为4，则椭圆C的方程为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求和；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c．18．（本小题满分12分）已知两直线：，：．（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线：与，不能构成三角形，求实数a的值．19．（本小题满分12分）如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点F是的重心，M为BC的中点．（1）求抛物线的方程和点F的坐标；（2）求点M的坐标及BC所在的直线方程．20．（本小题满分12分）如图，在四棱椎中，底面ABCD为平行四边形，平面ABCD，点M，N分别BC为，PA的中点．（1）取PB的中点H，连接AH，若平面平面PAB，求证：；（2）已知，﹐若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知点，，圆C：，直线l过点N．（1）若直线l与圆C相切，求l的方程：（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线A，B的斜率分别为，，证明：为定值．22．（本小题满分12分）已知点O为坐标原点，的两个顶点分别为，，M为边AB上一点，满足CM平分且．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）设直线CM与曲线E的一个交点为D（异于点C），求面积的最大值．2022-2023学年度第一学期重点中学联合体期末考试高二数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ADDCDACBABDABADBCD二、填空题：13． 14． 15． 16．三、解答题：17．（10分）（1）因为数列为等差数列，所以，又，所以，是方程的两实根，又公差，所以，所以，，，所以，，所以，所以，．（2）由（1）知，所以，所以，，，因为数列是等差数列，所以，即，所以，解得或（舍），所以．经检验，当时，是等差数列．所以．18．（12分）（1）联立直线方程解得，交点坐标，当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，当直线不过原点时，设其方程为，过得，，所以直线方程综上：满足题意的直线方程为，或（2）直线：与，不能构成三角形当与平行时：，，当与平行时：，当三条直线交于一点，即过点，则，综上所述，，或，或19．（12分）（1）由点在抛物线上，有，解得．所以抛物线方程为，焦点F的坐标为．（2）由于F是的重心，M是线段BC的中点，所以，设点M的坐标为，则，，∴，解得，，所以点M的坐标为，由得，因为为BC的中点，故，所以﹐因此BC所在直线的方程为，即．20．（12分）（1）平面平面PAB，且交线为AH，过B点作AH的垂线，垂足记为K，由于平面PAB，所以平面HAC，由于平面HAC，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由于BK，PA是平面PAB内的相交直线，所以平面PAB，由于平面PAB，所以，即（2）由于，，所以，所以，由于平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，即AB，AC，AP两两垂直．以A为原点，AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴、z轴﹐建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，故，，设平面PBC的一个法向量为，则，即，今，则，，故，易得平面ABCD的一个法向量为，又，设直线AC与平面PBC所成角为，则，解得，设平面PBC与平面ABCD的夹角为β．则，所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值为．21．（12分）（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为，此时直线l与圆C相切，故符合条件．若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为，即．由直线l与圆C相切，圆心到l的距离为1，即，解得．所以直线l的方程为，即，综上，直线l的方程为，或．（2）由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，此时设l的方程为，联立，消去y可得，则．解得．设，，则，，（*）所以，将（*）代入上式整理得，故为定值．22．（12分）（1）解：因为CM平分，所以