广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编10 圆

广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编10圆一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（）A．20° B．40° C．50° D．80° 第1题图 第2题图2．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB=60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm3．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（） A．3 B．23 C．1 D．24．以下说法正确的是（）A．平行四边形的对边相等 B．圆周角等于圆心角的一半C．分式方程1x−2=x−1x−2−2的解为x=25．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm6．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到A．12 B．22 C．3二、填空题8．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC=20°，则∠BAD=°． 第8题图 第9题图9．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则∠E=。11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为． 第11题图 第12题图12．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为m．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．三、综合题14．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：BD为⊙O的切线；（2）求AE的长度．15．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC//BE．（1）求证：∠A=∠E；（2）若BC=3，BE=5，求CE的长．16．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．17．如图，⊙O为等边ΔABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A,B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．18．如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE19．如图1，在ΔABC中，AB=AC，⊙O是ΔABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是ΔACD的内心，BC⋅BE=25，求BG的长.20．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，ΔABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的EF与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F.（1）求ΔABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及FE所围成的阴影部分的面积.21．综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接（1）求证：AA′⊥CA′；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．22．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B(-3，0），C(-3，8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交圆E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是圆E的切线；（2）点F为x轴上任意一点，连接CF交□E于点G，连接BG：当tan∠FCA=17求所有F点的坐标（直接写出）；

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=90°-∠ABC，90°-50°=40°，

∵AC⏜=AC⏜，

∴∠D=∠B=40°.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵AC与BC是圆的切线，∴OA⊥AC，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，∵∠C=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OB=24cm，∴lAB=120×π×24故答案为：B．【分析】先求出∠OAC=∠OBC=90°，再求出∠AOB=120°，最后利用弧长公式计算求解即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：作DE⊥AB于点E

∵AB是⊙O的直径

∴AC⊥BC，∠ACB=90°

∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，CD=1

∴DE=CD=1

∵AC=3

∴AD=AC-CD=2

在Rt△ADE中，AD=2，DE=1，

∴AE=3，sin∠CAB=12

∴∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°

∴△ABD为等腰三角形

又∵DE⊥AB

∴E点为AB中点，即E点与O点重合，AO=AE=3

∴AB=2AO=23

所以⊙O的直径为【分析】本题考查圆周角定理、锐角三角函数值、勾股定理、角平分线的性质的结合运用，先作DE垂直AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，确定出点D到AB的距离DE，再在△ADE中通过边的关系计算出∠CAB的度数，从而确定△ABD为等腰三角形，E点与O点重合，计算出AE的长度的2倍即为直径AB的长度。4．【答案】A【解析】【解答】B.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故B选项不符合题意；C.x=2为增根，原分式方程无解，故C选项不符合题意；D.没有指明两个内角为不想邻的内角，故D选项不符合题意．故答案为A．【分析】根据平行四边形的性质、圆周角定理、解分式方程以及三角形外角的性质逐项分析即可．5．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：AD=1∵⊙O的直径为52cm，∴OA=OE=26cm，在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE−OD=26−10=16cm，∴油的最大深度为16cm，故答案为：C．【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为52cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度DE的长．6．【答案】C【解析】【解答】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，所以，过点P可作⊙O的切线有2条；故答案为：C.

【分析】根据过一个点可作出两条圆的切线，可求解。7．【答案】A【解析】【解答】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，故答案为：A．【分析】本题属于隐形圆，先证出点C在以点E为圆心，OD长为半径的圆上，再结合图象可知，当点H和点E重合时，CH最大，也就是半径。8．【答案】35【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，

∴∠ADC=∠ABC=20°，

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=90°-∠B=70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=12∠BAC=35°.

故答案为：35.

9．【答案】50°【解析】【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为：50°．【分析】根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半即可得出答案。10．【答案】30°【解析】【解答】解：

连接OC

∵CE为圆O的切线

∴OC⊥CE

∵∠A=30°

∴∠BOC=2∠A=60°

∴∠E=90°-∠BOC=30°

【分析】根据题意，由切线的性质以及三角形外角的性质，求出∠BOC的度数，继而在直角三角形OCE中，结合三角形的内角和定理，求出∠E的度数。11．【答案】4−π【解析】【解答】

解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4

∴∠B=∠C=45°，BE=CE=2，AB=AC=2∴S阴影=12．【答案】1【解析】【解答】连接OA，OB，则∠BAO=12∠BAC=1又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴BOC的长为：120·π·AB180设圆锥底面圆的半径为r2πr=r=故答案为13【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出BOC的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．13．【答案】43π﹣【解析】【解答】连接OE，作OH⊥BE于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝180°﹣∠C＝30°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴OH＝12由勾股定理得，BH＝OB2−O∴阴影部分的面积＝120π×22360﹣12×23×1＝故答案为：43π﹣3

【分析】连接OE，阴影部分的面积=S扇BOE-S△OBE，根据扇形面积公式列出关系式即可。14．【答案】（1）证明：如图，

∵AC是圆O的切线，

∴AC⊥OA，

在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，

在△AOC与△DOB中，

∵OC=OB=5，∠COA=∠BOD，OA=OD，

∴△AOC≌△DOB（SAS），

∴∠ODB=∠OAC=90°，

∴BD是圆O的切线；（2）解：∵△AOC≌△DOB，

∴AC=BD=4，

∵∠B=∠B，∠EAB=∠BDO，

∴△AEB∽△DOB，

∴ABBD=AEOD，

即24【解析】【分析】（1）由切线的性质得AC⊥OA，在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=5，从而由SAS判断出△AOC≌△DOB，根据全等三角形的对应角相等得∠ODB=∠OAC=90°，从而根据切线的判定定理（垂直于半径外端点的直线是圆的切线），可得结论；

（2）根据全等三角形的对应边相等可得AC=BD=4，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AEB∽△DOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE的长.15．【答案】（1）证明：∵AC//BE∴∠ACD=∠E

∵D，C为ACB的三等分点

∴AD⌢=CB⌢

∴（2）解：∵∠A=∠D

由（1）得∠A=∠E

∴∠D=∠E

∴BD=BE=5

∵D，C为ACB的三等分点

∴BC⌢=CD⌢，

∴CD=BC=3，∠CBD=∠D

∴△CDB∽△BDE

∴DE=253，

【解析】【分析】(1)根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系；

（2）根据圆周角定理求出各个角之间的关系、各边之间的关系，再利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，列出方程求解。16．【答案】（1）证明：连接OC∵CD与⊙O相切于C点∴OC⊥CD又∵CD⊥AE∴OC//AE∴∠OCB＝∠E∵OC=OB∴∠ABE＝∠OCB∴∠ABE＝∠E∴AE=AB（2）连接AC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴AC=∵AB=AE，AC⊥BE∴EC=BC=6∵∠DEC＝∠CEA,∠EDC＝∠ECA∴△EDC∽△ECA∴DC∴CD=EC【解析】【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．17．【答案】（1）∵△ABC为等边三角形,BC=AC，∴AC=BC,都为∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分线．（2）是．如图，延长DA至点E，使得AE=DB．连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等边三角形，∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为3∴S=S（3）依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=32同理D2H=3∴t=D1D2=3DC=∴x取最大值时,t取最大值．即D与O、C共线时t取最大值,x=4．所有t值中的最大值为43【解析】【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=3x18．【答案】（1）如图，过点O作OE⊥CD于点E∵AD//BC，∠DAB=90°∴∠OBC=90°，即OB⊥CB又∵CO平分∠BCD，OE⊥CD∴OE=OB即OE是⊙O的半径∴直线CD与⊙O相切；（2）如图，连接BE，延长AE交BC延长线于点F由圆周角定理得：∠APE=∠ABE，∠AEB=90°∵AB是⊙O的直径，AB⊥AD，AB⊥BC∴AD、BC都是⊙O的切线由切线长定理得：CE=BC=2,DE=AD=1∵AD//BC∴∠DAE=∠CFE在△ADE和△FCE中，∠AED=∠FEC∴△ADE∼△FCE∴AE设AE=a(a>0)，则EF=2a∵∠BAE+∠ABE=∠FBE+∠ABE=90°∴∠BAE=∠FBE在△ABE和△BFE中，∠BAE=∠FBE∴△ABE∼△BFE∴BEEF解得BE=在Rt△ABE中，tan则tan∠APE=【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得出OB⊥CB，再根据角平分线的性质可得OE=OB，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见答案），先根据圆周角定理可得∠APE=∠ABE，∠AEB=90°，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得CE=BC=2,DE=AD=1，然后根据相似三角形的判定与性质可得AEEF=DECE=12，设AE=a19．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴∠BCD=∠ADC，∴ED=EC（2）证明：连接OA，∵AB=AC，∴AB=∴OA⊥BC，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，∵∠ACB=∠BCD，∴∠ACD=2∠ACB，∴∠CAF=∠ACB，∴AF//BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线（3）解：∵∠ABE=∠CBA，∠BAD=∠BCD=∠ACB，∴ΔABE∼ΔCBA，∴ABBC∴AB∵BC⋅BE=25，∴AB=5，连接AG，∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG=∠GAC，又∵∠BAD=∠BCD=∠ACB，∴∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB，∴∠BAG=∠BGA，∴BG=AB=5.【解析】【分析】（1）利用角度相等，可得到等腰三角形，判断ED=EC。

（2）根据切线的定义，可判断出AF为圆的切线。

（3）根据三角形的内心的性质，可换算角的度数，得到线段的关系。20．【答案】（1）解：AB=2AC=6BC=（2）解：由(1)得AB2+BC2=(210)2+(210)2=80=(45)2=BC2，∴∠BAC=90°，连接AD，则AD=2∴S=1=1=20−5π.【解析】【分析】（1）利用勾股定理，算出三条边的长度。

（2）根据观察，可得到阴影面积为三角形面积与扇形面积的差，可得出结果。21．【答案】（1）∵点A关于BD的对称点为A′，∴点E是AA′的中点，∠AEO=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，∴OE是△ACA∴OE∥∴∠AA′C=∠AEO=90°，∴AA′⊥CA′（2）①过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，则∠OFA=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AO=BO=CO=DO，∴∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°．∵∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°，AO=CO，∴△OCG≌△OAF(AAS)，∴OG=OF．∵⊙O与CD相切，OE为半径，∠OGC=90°，∴OG=OE，∴OE=OF又∵∠AEO=90°即OE⊥AE，OF⊥AB，∴AO是∠EAF的角平分线，即∠OAE=∠OAF，设∠OAE=∠OAF=x，则∠OCG=∠OAF=x，又∵CO=DO∴∠OCG=∠ODG=x∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x又∵∠AEO=90°，即△AEO是直角三角形，∴∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°解得：x=30°，∴∠OAE=30°，即∠A在Rt△A′AC中，∠∴AC=2CA∴AA′=A②过点O作OH⊥A∵⊙O与CA′相切，∴OE=OH，∠∵∠AA′C=∠AEO=∠∴四边形A′又∵OE=OH，∴四边形A′∴OE=OH=A又∵OE是△ACA∴OE=∴A∴OH=CH又∵∠A∴∠OCH=45°又∵OE∥A∴∠AOE=45°又∵∠AEO=90°，∴△AEO是等腰直角三角形，AE=OE，设AE=OE=r，则AO=DO=∴DE=DO−OE=在Rt△ADE中，AE2即r∴r∴⊙O的面积为：S=π【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质可得到点E是AA′的中点，∠AEO=90°，利用矩形的性质可证得O是AC的中点，由此可证得OE是△ACA′的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE∥A′C，利用平行线的性质可证得结论.（2）①过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，可得到∠OFA=90°，利用矩形的性质可证得AB∥CD，AO=BO=CO=DO，利用AAS证明△OCG≌△OAF，利用全等三角形的性质可证得OF=OG，利用切线的性质，可推出OE=OF；再利用角平分线的判定定理可证得AO平分∠EAF，可得到∠OAE=∠OAF；设∠OAE=∠OAF=x，可表示出∠OCG，利用等边对等角可表示出∠ODG，∠AOE的度数，利用直角三角形的两锐角互余，可求出x的值，即可得到∠A′AC的度数，再利用直角三角形的性质和勾股定理求出AA′的长；②过点O作OH⊥A′C于点H，利用切线的性质去证明四边形A′EOH是矩形，利用一组邻边相等的矩形是正方形可得到四边形A′EOH是正方形，利用正方形的性质可得到OE=OH=A′H；再利用三角形的中位线定理OH=CH，可推出△AEO是等腰直角三角形，可得到AE=OE，设AE=r，利用勾股定理可表示出DO的长，根据DE=DO-OE，可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r2，然后利用圆的面积公式可求出圆O的面积.22．【答案】（1）证明：法一：连接BD、ED∵BC为直径∴∠BDC=90°∴∠BDA=90°∵O为AB中点；E为BC中点∴OD=OA，CE=DE∴∠OAD=∠ODA，∠C=∠CDE∵∠C+∠OAD=90°∴∠EDO=180°-∠EDC-∠0DA=90°∴OD为圆E的切线法二：连接BD、ED、OE∵BC为直径