5.3诱导公式（共2课时）教案2022-2023学年高一上学期数学人教A版

2022—2023学年上学期高一数学教案（1）5.3诱导公式（一）一、教学目标1．理解诱导公式的推导方法，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；2．能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；3．通过对诱导公式的运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问题、解决问题的能力．二、教学重、难点1．利用圆的对称性探究诱导公式二、三、四的推导；2．运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．三、教学过程（一）创设情境任意角的三角函数的定义是借助单位圆得出的，三角函数的性质是圆的几何性质的代数化．前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．对称性是圆的重要性质，用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系．因此，可以利用单位圆关于原点、坐标轴、直线的对称性，研究三角函数的对称性．（二）新知探究1．诱导公式二：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点．作关于原点的对称点，以为终边的角记为．思考1：（1）角与角有什么关系？（2）角的三角函数值之间有什么关系？通过图演示，可以得到：以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．设，则，根据三角函数的定义，得；．从而得诱导公式二：说明：①公式二中的指任意角，但正切要使等式两边同时有意义；②若是角度度制，即有，，；③公式特点：的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号（函数名不变，符号看象限）．2．诱导公式三：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点．作关于轴的对称点，以为终边的角记为．思考2：（1）角与角有什么关系？（2）角的三角函数值之间有什么关系？对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，诱导公式三：说明：①公式三中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）．3．诱导公式四：对照诱导公式二、三的推导过程，由学生自己完成诱导公式四的推导，诱导公式四：4．把任意角的三角函数值转化为锐角三角函数的步骤：第一步：利用诱导公式一：可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）角的三角函数值．第二步：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：的三角函数值转化为锐角的同名三角函数值，再求值．（三）新知应用例1利用公式求下列三角函数值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）.总结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．例2化简．解：原式．（四）课内练习1．（教材第191页练习1）将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．（教材第191页练习3）化简：（1）；（2）．答案：（1）；（2）．3．（教材第191页练习4）填表：答案：（五）课堂小结（1）诱导公式二到四的推导和记忆：函数名不变，符号看象限；（2）用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数：负化正，大化小，化到锐角为终了．（六）课时作业1．求下列各三角函数值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．化简：（1）；（2）；（3）．答案：（1）；（2）；（3）．3．填空：（1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，且为第三象限角，则．答案：（1）；（2）；（3）．2022—2023学年上学期高一数学教案（2）5.3诱导公式（二）一、教学目标1．理解诱导公式五、六的推导方法，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；2．在理解、记忆六组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明．二、教学重、难点1．利用圆的对称性探究诱导公式五、六的推导；2．六组诱导公式的记忆、理解、运用．三、教学过程（一）复习1．复习诱导公式一、二、三，四；2．对“函数名不变，符号看象限”的理解．（二）新知探究xyOPxyOP5P1如图，在直角坐标系内，作关于直线的对称点，以为终边的角记为．思考1：（1）角与角有什么关系？（2）角与角的三角函数值之间有什么关系？通过图演示，可以得到：以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．设，，由于是点关于直线的对称点，可以证明．根据三角函数的定义，得．从而得诱导公式五：2．诱导公式六：思考2：作关于轴的对称点，又能得到什么结论？类似地，可得诱导公式六：说明：①在角度制和弧度制下，公式都成立；②公式特点：函数名改变，符号看象限；③利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．（三）新知应用例1证明：（1）；（2）．证明：（1）；（2）．例2化简．解：原式．例3已知，且，求的值．解：设，，那么，从而．于是．因为，所以．由，得，所以，所以．（四）课内练习1．（教材第194页练习2）证明：（1）；（2）；（3）；（4）．2．（教材第194页练习3）化简：（1）；（2）；（3）．答案：（1）；（2）；（3）．3．（教材第194页习题第4题）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，分别求角的正弦、余弦值．答案：；；．（五）课时作业1．（教材第194页习题第5题）已知，那么（B）（A）（B）（C）（D）2．（教材第195页习题第6题）已知，计算：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）；（2）（3）；（4）3．（教材第195页习题第7题）在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）不成