第四章 指数函数、对数函数与幂函数（知识梳理热考题型）（解析版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习【知识梳理】一、n次方根与根式(1)a的n次方根的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根.(2)根式的概念当eq\r(n,a)有意义的时候，eq\r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.(3)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n>1且n∈N*).②当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|.二、分数指数幂与有理数指数幂的运算法则(1)分数指数幂①规定正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(eq\r(n,a)有意义).②规定负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,（\r(n,a)）m)＝eq\f(1,\r(n,am))(eq\r(n,a)有意义且a≠0).(2)有理数指数幂的运算法则asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.三、实数指数幂(1)实数指数幂的运算法则①asat＝as＋t；②(as)t＝ast；③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.(2)拓展：eq\f(as,at)＝as－t，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(s)＝eq\f(as,bs)，其中a>0，b>0，s，t∈R.四、指数函数的概念一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.五、指数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域定义域为R值域值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0过定点过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图像关于y轴对称六、指数型函数的定义域和值域指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R,值域为(0，＋∞).七、指数型复合函数y＝af(x)的性质函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上单调性的关系：由复合函数单调性的一般规律：“同增异减”.当a＞1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性相同，当a＜1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性相反.八、对数的概念在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.九、对数的基本性质及对数恒等式(1)对数的有关结论①零和负数没有对数；②1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；③底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；④对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；⑤对数恒等式：logaab＝b(a>0且a≠1).(2)常用对数与自然对数①以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数，为了简便起见，把log10N简写为lgN.②以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN.十、对数运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMα＝αlogaM；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.十一、换底公式对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).十二、对数函数的概念一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.十三、对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边值域值域为R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性增函数减函数对称性y＝logax与y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的图像关于x轴对称十四、对数函数的图像变换常见的函数图像的变换技巧①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边的图像),\s\do5(并作关于y轴对称的图像))y＝f(|x|).②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方的图像),\s\do5(将x轴下方的图像翻折上去))y＝|f(x)|.③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x).④y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)十五、对数型函数y＝logaf(x)的性质对数型函数y＝logaf(x)性质的研究(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中先确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.十六、指数函数与对数函数的关系(1)反函数的概念①定义：一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.②记法：一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).(2)互为反函数的图像与性质①图像间的关系y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称.②互为反函数的有关性质(ⅰ)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同.(ⅱ)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在.此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.十七、幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数.十八、幂函数的图像与性质(1)幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1的图像如图.(2)五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数公共点(1，1)(3)幂函数y＝xα随着α的不同，定义域，值域，奇偶性，单调性也不尽相同，要根据α的值判断.十九、增长速度的比较函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).它的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加1个单位，函数值将增加eq\f(Δf,Δx)快慢.【热考题型】【考点1】指数与指数函数一、单选题1．（2023上·北京大兴·高一校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式和指数幂的运算求解,【详解】解：，故选：A2．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再由及当时函数值的特征判断即可.【详解】函数的定义域为且，故为偶函数，函数图象关于轴对称，因为，故排除C、D；当时，故排除A.故选：B3．（2023·湖北·高二统考学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断.【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数，当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数，所以，大于，，大于且小于，由图知：，即，，即，所以.故选：B4．（2023上·山东·高一校联考期中）函数的图象必经过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点．【详解】因为当时，无论取何值，，所以函数且的图象必经过定点，故选：A.5．（2023上·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得且.故答案为：D6．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可.【详解】依题意，函数的定义域为R，令，则，即为奇函数，由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值，由奇函数的性质知，所以.故选：B二、多选题7．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知，，，则（

）A．的最小值为9 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】CD【分析】A应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件；B由，应用二次函数性质求最值；C、D利用基本不等式及指数运算性质求最值，注意取值条件.【详解】A：因为，，，所以，当且仅当时取等号，取得最小值，错；B：，二次函数的性质知，当，时取得最小值，错；C：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，对；D：，当且仅当，即，时取等号，对.故选：CD8．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【分析】求出的值域，根据“同象函数”的定义逐项判断可得答案.【详解】函数的值域为，对于A，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故A正确；对于B，函数，，所以函数，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故B错误；对于C，函数，，所以，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故C错误；对于D，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故D正确.故选：AD.三、填空题9．（2023上·上海·高一上海市第二中学校考期中）化简：.【答案】【分析】根据根式的定义求解．【详解】.故答案为：.10．（2023上·重庆·高一重庆一中校考期中）已知定义域为R的函数满足，当时，.若，使成立，则的最小值为．【答案】4【分析】设，根据单调性的定义法证明在上单调递增，进而得出在上单调递增.根据已知范围，结合不等式的性质得出，结合已知，将不等式转化为.根据已知推得，即可根据函数的单调性，得出不等式.换元根据的单调性，即可得出答案.【详解】设，，且，则.因为，，所以，，，所以，，，所以，在上单调递增.因为，所以，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.又，当且仅当，即时，等号成立.所以，.又，所以.所以，当时，.因为，所以，，所以，，所以，.由已知，可得，所以，.所以由可得，.又，所以，，所以，.因为，所以.又，根据函数的单调性可知，，所以，.令，则，所以.设，因为函数与在均为增函数，所以，在也是增函数，所以，.所以，，所以的最小值为4.故答案为：4.【点睛】方法点睛：求解抽象函数不等式时，一般需要考虑函数的奇偶性（或对称性）以及单调性.根据函数的奇偶性（或对称性），将不等式转化为的形式（或），即可根据函数的单调性，得出不等式.11．（2023·上海金山·统考一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.【详解】由已知可得，且.又时，，即，所以有，即，解得或.故答案为：或.四、解答题12．（2023上·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）（1）计算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）1；（2）①，②.【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；（2）①：由求解；②：由，结合隐含的条件即可求解.【详解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由题意知，所以.13．（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）对于函数．(1)判断函数的单调性，并用定义证明；(2)是否存在实数使函数为奇函数？证明你的结论．【答案】(1)函数在定义域内单调递减，证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）利用指数函数的图象与性质、函数单调性的定义分析运算即可得解得证.（2）利用指数函数的图象与性质、函数奇偶性的定义分析运算即可得解得证.【详解】（1）解：由题意，函数，，函数在定义域内单调递减，证明：设，则，由指数函数的图象与性质知，，则，∴，即，∴函数在定义域内单调递减.（2）解：当时函数为奇函数.∵函数为奇函数，∴由奇偶性的定义知，，解得：.证明：当时，，，∵，∴函数为奇函数，∴当时，函数为奇函数.14．（2023上·重庆荣昌·高一重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)函数在上为增函数，证明见解析；(3)【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，从而利用基本不等式即可得解.【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函数在上为增函数．证明：任取，，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在上为增函数．（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，则等价于，即，令，则在上有解，因为，当且仅当，即，时，等号成立，所以，即.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性与奇偶性，将问题转化为在上有解的问题，从而得解.【考点2】对数与对数函数一、单选题1．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】因为函数为奇函数，所以从而求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.2．（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】由题设求的解析式，再利用偶函数的性质求即可.【详解】由题设，可得且，又是偶函数，∴.故选：C.4．（2023上·重庆·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】定义域满足，解得且.故选：D.5．（2023·广东韶关·统考一模）函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【详解】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A.6．（2023上·江西南昌·高一统考期末）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.【详解】当时,，∴，当时,，∴，∴函数的值域为.故选:B.二、多选题7．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）下列运算中正确的是（

）A．当时， B．C．若，则 D．【答案】AD【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解.【详解】对于A，当时，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由于，所以，所以，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD8．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．的值域为【答案】ABC【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，举反例依次判断各选项即可.【详解】因为，对于A，由，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，即为奇函数，故B正确；对于C，，而在上单调递减，在其定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，故C正确；对于D，因为，所以的值域不可能为，故D错误.故选：ABC．9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数的取值范围是C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为【答案】AC【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，即可判断A；若函数的值域为等价于的值域有子集，即可求出实数的值，从而判断B；函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，从而判断C；若，，即可解出不等式；即可判断D.【详解】对于A：因为的定义域为，所以恒成立，当时，显然不恒成立，故，所以，解得，即实数的取值范围是，故A正确；对于B：因为的值域为，所以函数的值域有子集，当时，此时的定义域为，值域为，符合题意；当时，解得，综上可得实数的取值范围是，故B错误；对于C，因为函数在区间上为增函数，当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意；当时，，解得；综上可得，故C正确；对于D，当时，，由，即，可得，解得，即不等式的解集为，故D错误.故选：AC.10．（2023下·山西·高一校联考阶段练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证.【详解】画出函数图象，如图，因为，且，.所以.且即.对A，因为，所以，故A正确；对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；

对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，,因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确；对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则.因为函数在上单调递减，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题11．（2022·上海闵行·统考二模）不等式的解集为；【答案】【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.【详解】即，解得：故答案为：12．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，则．【答案】【分析】根据所过定点求得正确答案.【详解】由题意，函数恒过定点，可得，解得，，所以．故答案为：13．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）若函数，则.【答案】8【分析】直接代入即可得到答案.【详解】.故答案为：8.四、解答题14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）（1）求值；（2）已知为正实数，，求的值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可直接计算出答案.（2）根据指数式和对数式的互化及换底公式得出x,y,z，然后代入已知条件即可求出答案.【详解】（1）.（2）为正实数，，.故的值为1.15．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数且.(1)若的值域为，求的取值范围.(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.当时，的值域为，符合题意.当时，由，解得.综上，的取值范围为.（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.当时，，不符合题意.下面只讨论的情况.若，则在上单调递增，由，解得，此时，得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.若，则在上单调递减，由，解得，此时，得，则当，即时，存在，符合题意.综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.16．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）设函数且．(1)解关于的不等式；(2)若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据分析函数单调性，结合定义域写出不等式组，由此求解出解集；（2）根据已知条件分析函数单调性，然后结合单调性将问题转化为，借助对勾函数性质求解出结果.【详解】（1）的定义域为，当时，在上单调递增，因为，所以，解得；当时，在上单调递减，因为，所以，解得；所以不等式解集为；（2）设存在实数满足条件，因为，当且仅当即时取等号，又恒成立，所以在上单调递增，又因为时，恒有，所以时，恒有，即恒成立，所以，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以，所以，综上所述，存在实数满足条件.【考点3】指数函数与对数函数的关系一、单选题1．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】因为函数为奇函数，所以从而求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.2．（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】由题设求的解析式，再利用偶函数的性质求即可.【详解】由题设，可得且，又是偶函数，∴.故选：C.4．（2023上·重庆·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】定义域满足，解得且.故选：D.5．（2023·广东韶关·统考一模）函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【详解】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A.6．（2023上·江西南昌·高一统考期末）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.【详解】当时,，∴，当时,，∴，∴函数的值域为.故选:B.二、多选题7．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）下列运算中正确的是（

）A．当时， B．C．若，则 D．【答案】AD【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解.【详解】对于A，当时，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由于，所以，所以，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD8．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．的值域为【答案】ABC【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，举反例依次判断各选项即可.【详解】因为，对于A，由，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，即为奇函数，故B正确；对于C，，而在上单调递减，在其定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，故C正确；对于D，因为，所以的值域不可能为，故D错误.故选：ABC．9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数的取值范围是C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为【答案】AC【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，即可判断A；若函数的值域为等价于的值域有子集，即可求出实数的值，从而判断B；函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，从而判断C；若，，即可解出不等式；即可判断D.【详解】对于A：因为的定义域为，所以恒成立，当时，显然不恒成立，故，所以，解得，即实数的取值范围是，故A正确；对于B：因为的值域为，所以函数的值域有子集，当时，此时的定义域为，值域为，符合题意；当时，解得，综上可得实数的取值范围是，故B错误；对于C，因为函数在区间上为增函数，当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意；当时，，解得；综上可得，故C正确；对于D，当时，，由，即，可得，解得，即不等式的解集为，故D错误.故选：AC.10．（2023下·山西·高一校联考阶段练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证.【详解】画出函数图象，如图，因为，且，.所以.且即.对A，因为，所以，故A正确；对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；

对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，,因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确；对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则.因为函数在上单调递减，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题11．（2022·上海闵行·统考二模）不等式的解集为；【答案】【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.【详解】即，解得：故答案为：12．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，则．【答案】【分析】根据所过定点求得正确答案.【详解】由题意，函数恒过定点，可得，解得，，所以．故答案为：13．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）若函数，则.【答案】8【分析】直接代入即可得到答案.【详解】.故答案为：8.四、解答题14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）（1）求值；（2）已知为正实数，，求的值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可直接计算出答案.（2）根据指数式和对数式的互化及换底公式得出x,y,z，然后代入已知条件即可求出答案.【详解】（1）.（2）为正实数，，.故的值为1.15．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数且.(1)若的值域为，求的取值范围.(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.当时，的值域为，符合题意.当时，由，解得.综上，的取值范围为.（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.当时，，不符合题意.下面只讨论的情况.若，则在上单调递增，由，解得，此时，得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.若，则在上单调递减，由，解得，此时，得，则当，即时，存在，符合题意.综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.16．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）设函数且．(1)解关于的不等式；(2)若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据分析函数单调性，结合定义域写出不等式组，由此求解出解集；（2）根据已知条件分析函数单调性，然后结合单调性将问题转化为，借助对勾函数性质求解出结果.【详解】（1）的定义域为，当时，在上单调递增，因为，所以，解得；当时，在上单调递减，因为，所以，解得；所以不等式解集为；（2）设存在实数满足条件，因为，当且仅当即时取等号，又恒成立，所以在上单调递增，又因为时，恒有，所以时，恒有，即恒成立，所以，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以，所以，综上所述，存在实数满足条件.【考点4】幂函数一、单选题1．（2023下·湖北·高一校联考阶段练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由幂函数的定义可判断各选项.【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，对A，，故A正确；B，C，D均不符合.故选：A．2．（2023上·重庆·高一重庆市实验中学校联考期中）已知幂函数，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可.【详解】因为，且，即，解得，所以，则.故选：A3．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）若，幂函数在上单调递减，则实数的值为（

）A． B．3 C．或3 D．【答案】C【分析】由幂函数定义结合幂函数单调性知识可得答案.【详解】由为幂函数有，即或，又由在上单调递减得，经验证或均成立.故选：.4．（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案.【详解】设幂函数为，则，故，，则的定义域为，故满足，解得.故选：A5．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，讨论的范围，明确方程，解出即可.【详解】当时，，解得，当时，，得，所以的值是2或．故选：二、多选题7．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．所有幂函数的图象均过点B．若幂函数的图象经过点，则解析式为C．幂函数一定具有奇偶性D．任何幂函数的图象都不经过第四象限【答案】BD【分析】根据幂函数特例可对A项判断；根据幂函数过点，可求出解析式对B项判断；根据幂函数的特例可对C项判断；根据幂函数的特性可知图像不过第四象限，从而对D项判断.【详解】对于A项：比如，图象不过点，故A错误；对于B项：设幂函数为，幂函数的图象经过点，则函数的解析式为，解得，整理得，故B正确；对于C项：对于，无奇偶性，故C错误；对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确；故选：BD.8．（2023下·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．的值域为 D．的值域为【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D.【详解】由题意,为偶函数，选项A正确．当时，为单调递减函数，选项B正确．当时，为单调递减函数，则，因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确．故选：ABD．三、填空题9．（2023上·广东茂名·高一统考期中）实数x，y满足，则.【答案】2【分析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数，确定函数为单调递增函数，即可求得结论．【详解】方程组可化为设，由于均为单调递增函数，所以函数为单调递增函数,故答案为：210．（2023上·四川成都·高一校考期中）有四个幂函数：①，②；③；④．某同学研究了这几个函数，并给出函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则满足条件的函数是（填序号）．【答案】④【分析】分别讨论这四个幂函数的奇偶性、值域和单调性，对照性质判断结论.【详解】幂函数，是奇函数，值域为，在上是减函数，三个性质都错误，不符合条件；幂函数，是偶函数，值域为，在上是减函数，三个性质有一个正确，两个错误，不符合条件；幂函数，没有奇偶性，值域为，在上是增函数，三个性质有一个正确，两个错误，不符合条件；幂函数，是奇函数，值域为，在上是增函数，三个性质有两个正确，一个错误，符合条件.故答案为：④11．（2021上·山东济南·高一山东省实验中学校考期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是．【答案】1【分析】构造奇函数，利用奇函数性质求解出对应最大值.【详解】设，定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数，记为在上的最小值，为在上的最大值，又在上的最小值为，在上的最大值为，所以，所以，故答案为：.四、解答题12．（2023上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期中）已知幂函数，且在上是增函数．(1)求的解析式；(2)若，求实数a的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可；（2）利用幂函数的单调性去掉，结合函数定义域列不等式求解即可.【详解】（1）由已知得，解得或，当时，，此时在上是减函数，不满足题意；当时，，此时在上是增函数，满足题意；所以；（2）易知的定义域为，且在上为增函数，所以由，得，解得，所以的取值范围为.13．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.(1)求实数的值；(2)若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；（2）根据的定义域以及单调性分析求解.【详解】（1）因为函数是幂函数，则，即，解得或1，又因为函数关于轴对称，当时，则为偶函数，满足题意；当时，则为奇函数，不满足题意；综上所述：实数的值为.（2）函数，则函数在定义域内单调递减，由可得:，解得，所以实数的取值范围为.14．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）己知幂函数在定义域上不单调.(1)求m的值．(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根；（2）先判断为奇函数，利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.【详解】（1）由题意，解得或，当时，，函数在上单调递增，不合题意；当时，，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递减，但，所以函数在定义域上不单调，符合题意，所以.（2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，因为，可得，即，而在上递减且恒负，在上递减且恒正，所以或或，解得或．【考点5】函数的应用与增长速度一、单选题1．（2023上·上海·高三校考期中）了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果.【详解】根据题意，对于①，，即函数的定义域为,值域为，A、B、C、D均符合；对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合.故选：A.2．（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 C．倍 【答案】A【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值.【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.3．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）若函数为偶函数，则（

）A．1 B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可.【详解】因为为偶函数，，则有，解得，经验证时，符合条件，故选：B.4．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是（

）①若，则的图象关于直线对称；②若是奇函数，则的图象关于点对称；③若函数满足，则；④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】根据函数的对称性与周期性即可判断①；根据奇函数的图象即可判断②；根据分析即可判断③；关于的方程有解，即函数的图象有交点，作出函数的图象，即可判断④.【详解】对于①，若，则，所以函数是以为周期的周期函数，无法得出其对称轴，故①错误；对于②，若是奇函数，则函数关于原点对称，而函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，是以的图象关于点对称，故②正确；对于③，若函数满足，令，则，所以，即，故③正确；对于④，关于的方程有解，即函数的图象有交点，如图，作出函数的图象，由图可知，，故④错误.故选：D.5．（2010·浙江·高考真题）已知是函数的一个零点，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当时，在下方，即；当时，在上方，即，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想6．（2023上·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确；对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确；对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确；对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误，故选：D.二、多选题7．（2023·上海·高一专题练习）（多选）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于B．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于C．当时，的增长速度一直快于D．当时，的增长速度有时快于【答案】BD【分析】在同一坐标系中画出三个函数的图像，观察即可判断.【详解】解：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示．对于、B，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于，故A错误，B正确对于C，当时，的增长速度不是一直快于的，故C错误对于D，当时，的增长速度有时快于，故D正确．故选:BD．8．（2023上·河南郑州·高一统考期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】变换，计算二次函数值域得到答案.【详解】，则，函数在上单调递增，当，，BC满足.故选：BC三、填空题