专题15.2 解分式方程（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

专题15.2解分式方程【典例1】已知，关于x的分式方程a2x+3（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；（2）当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3（3）若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3-b-x【思路点拨】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【解题过程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，得：2(x-5)-(1-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，解得：x=-1检验：把x=-15代入∴原分式方程的解为：x=-1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，得：(x-5)-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，去括号，得：x-5+2x移项、合并同类项，得：(11-2b)x=3b-10，①当11-2b=0时，即b=11②当11-2b≠0时，得x=3b-10Ⅰ.x=-3即3b-1011-2b此时b不存在；Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即3b-1011-2b此时b=5；综上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，得：3b(x-5)+(x-b)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，整理得：(10+b)x=18b-15解得：x=18b-15∵b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程xx-1-1=mx2-1的解为A．y=-3 B．y=-37 C．y=13【思路点拨】将x=2代入关于x的方程中，求出m=3，再将m=3，代入关于y的方程中，求出y=3，再进行检验即可得出答案．【解题过程】解：∵关于x的方程xx-1-1=m∴xx+12×3-4-1∴m=3，当m=3时，关于y的方程是：3y∴3+2y（∴3+2y∴y=3，经检验：y=3是关于y的方程my故选：D．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程1x-3+m+1x+3=m+2xA．10个 B．11个 C．12个 D．13个【思路点拨】根据题意将分式方程解出来，再根据其解满足-4<x<72，可得【解题过程】解：1x+3+x+3+m+2x=4m+2当m+2≠0即m≠-2时，x=4m+2∵-4<x<7∴-4<4m+2m+2<72，且x=当m>-2时，m+2>0，-4m+2解得-5此时，满足条件的整数m共有-1、0、1、2、3、5、6、7、8、9，共10个；当m<-2时，m+2<0，72此等式无解，综上所述，满足条件的整数m有10个，故选A．3．（2023·全国·九年级专题练习）方程1y-2+【思路点拨】此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.【解题过程】解：移项，得：1y-2方程两边通分，得：(y-4)-(y-2)(y-2)(y-4)即-2(y-2)(y-4)方程的两边同乘以(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)，即y解得：y=5，经检验，y=5是原方程的根.∴原方程的解为：y=5.4．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程12x+3-a-xx-5=1【思路点拨】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数a的值．【解题过程】解：12x+3去分母得x-5-∴11-2ax=3a-10∵关于x的分式方程12x+3∴①当11-2a=0时，即a=112，此时②当11-2a≠0时，即a≠112，解11-2ax=3a-10此时分式方程无解，必须有x=-32或x=5，则x=3a-10i当x=3a-10ii当x=3a-1011-2a=5综上所述，a的值为5或112故答案为：5或1125．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）解下列方程：（1）3-1（2）x+14【思路点拨】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【解题过程】（1）解：左右两边都乘以x-2，得3x-2去括号，得3x-6+1=3-x，移项，得3x+x=6-1+3，合并同类项，得4x=8，系数化为1，得x=2，将x=2代入x-2中，x-2=2-2=0所以x=2是增根，原方程无解．（2）左右两边都乘以2x-12x+1，得x+1=3去括号，得x+1=6x-3-4x-2，移项，得x-6x+4x=-3-2-1，合并同类项，得-x=-6，系数化为1，得x=6，经检验，x=6是原方程的解，所以原方程的解是x=6．6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）解分式方程（1）3（2）5x-4【思路点拨】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【解题过程】（1）解：方程两边同乘6x-2，得：33x-1去括号，得：9x-3-2=5，移项，合并，得：9x=10，系数化1，得：x=10检验，当x=109时，∴x=10（2）解：方程两边同乘3x-6，得：35x-4去括号，得：15x-12=4x+10-3x+6，移项，合并，得：14x=28，系数化1，得：x=2；检验，当x=2时，3x-6=0，∴x=2是原方程的增根，舍去；∴原方程无解．7．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程：（1）1-xx-2（2）2xx【思路点拨】（1）先去分母，然后求解检验即可；（2）将分式方程去分母，然后求解检验即可．【解题过程】解：（1）方程两边同时乘x-2，得1-x-x-2化简，得2x-5=0解得：x=5经检验，x=5所以x=5（2）解：去分母得2xx+3整理得，2x移项、合并同类项得，24x=36，解得x=3检验：当x=32时，∴x=3所以x=38．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程：x+5【思路点拨】先将原方程变形1+1x+4【解题过程】解：原方程可变形为，1+1化简得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=-5检验，把x=-52代入(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)∴原方程的解为x=-59．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：x+2005x+2004【思路点拨】原方程变形为1x+2004+【解题过程】解：原方程可化为1x+2004即1x+2006x+2007-1x+2006x+2006x+2007x26x=-12030，x=-2005.经检验，x=-2005是原方程的根.∴原方程的解是x=-2005.10．（2023·全国·九年级专题练习）解方程（1）16x-134x-3+（2）1(x+1)(x+2)+【思路点拨】（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通过化简，观察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法来解．（2）此方程不能直接去分母，由1(x+1)(x+2)【解题过程】（1）解：方程化简，得：4-14x-328x-92(8x-9+8x-7)(8x-9)(8x-7)4(8x-8)(8x-9)(8x-7)当x=1时，等式成立；当x≠1时，转化为整式方程为：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7），整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立．经检验，x=1是方程的解．（2）方程化简，得：1x+1-1x+12001(x+1)(x+2002)（x+1）（x+2002）=3x+6006，x2+2003x+2002=3x+6006，解得：x=-2002或x=2，经检验，x=-2002是增根，x=2是原方程的根．11．（2022秋·上海·七年级专题练习）当m为何值时，分式方程xx+3-【思路点拨】先给方程两边乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程转化为整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出关于m的不等式，通过解不等式来求m的取值范围．【解题过程】解：由原方程得：xx-2整理得：-7x=3-2m，解得：x=2m-3∵分式方程xx+3-x+1x-2=x-2mx∴2m-37解得：m≥5，且m≠1712．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于x的分式方程x-a（1）若分式方程的根是x=5，求a的值（2）若分式方程有增根，求a的值（3）若分式方程有无解，求a的值【思路点拨】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，则xx-2=0，得到x=0（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0两种情况分别求解即可【解题过程】（1）解：把x=5代入x-ax-25-a5-2解得a=-1；（2）x-ax-2两边都乘以xx-2xx-a整理得，a+3x=10由分式有增根，则xx-2∴x=0或x=2，把x=0代入a+3x=10，a把x=2代入2a+3=10，解得综上可知，a=2；（3）由（2）可知，a+3x=10当a+3=0时，方程无解，即a=-3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a=2，综上可知，a=-3或a=2．13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）观察下列各式：12=11×2=1-12，16（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．（2）请利用上述规律计算：12+1（3）请利用上述规律，解方程：1x-2【思路点拨】（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可；（2）利用找出的一般规律进行计算即可；（3）根据找出的规律将方程变形为1x-2【解题过程】（1）解：∵1216112120130…，∴1n故答案为：1n（2）解：1=1-===n（3）解：分式方程整理得：1x-2即1x-2方程两边同时乘x-2x-1，得x+1=2解得：x=5，检验：把x=5代入x-2x-1得：x-2∴x=5是原分式方程的解，∴原方程的解为：x=5．14．（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2（1）求15×6（2）证明：11×2（3）解方程：13x【思路点拨】（1）根据“裂项”的方法，计算即可；（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．【解题过程】（1）解：1===3（2）证明：1=1-=1-=n∵n<n+1，∴nn+1∴11×2（3）解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4检验：x=4∴原方程的解为x=415．（2023春·八年级课时练习）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13的解为方程x+1x=4+14…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=6+（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+（3）由（2）可知，在解方程y+y+2y+1=（4）利用（2）的结论解方程：2x-1x+2【思路点拨】（1）根据已知材料即可得出答案；（2）根据已知材料即可得出答案；（3）把方程转化成y+1+1y+1=3+1（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．【解题过程】（1）解：关于x的方程x+1x=6+16故答案为：x1=6，（2）关于x的方程x+1x=a+1a故答案为：x1=a，（3）y+y+2y+y+1+1y+1+即y+1=3，y+1=1解得：y1=2，（4）令2x-1x+2=m，则方程2x-1x+2由（2）规律可得，m1=4，即2x-1x+2=4或解得x1=-916．（2023春·八年级课时练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x-1解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘以y得：都是方程y-4∴当y=2时，x-1x=2，解得x=-1；当y=-2时，x-1x经检验：x=-1或x=1∴原分式方程的解为x=-1或x=1上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程中x-1x+xx-1=52，设=y（2）模仿上述换元法解方程：x-1x+2【思路点拨】（1）根据换元法，可得答案；（2）根据分式的加减，可得x-1x+2【解题过程】（1）设x-1x=y，则原方程化为：方程两边同时乘以2y得：2y2-5y+2=0，解得：y=经检验：y=12和2都是方程当y=12时，x-1x当y=2时，x-1x=2，解得：经检验：x=2和x=-1是原分式方程的解，故答案为：x-1x，y+1y=5（2）原方程化为：x-1x+2设y=x-1x+2，则原方程化为：方程两边同时乘以y得：y2-1=0，解得：经检验：y=±1都是方程y-1当y=1时，x-1x+2当y=-1时，x-1x+2=-1，解得：经检验x=-1∴原分式方程的解为x=-117．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）对x,y定义一种新运算T，规定T(x,y)=ax2+by2x+y（其中a,b是非零常数，且x+y≠0（1）填空：T(4,-1)=（用含a,b的代数式表示）；（2）若T(-2,0)=-2，且T(5,-1)=6．①求a与b的值；②若T(3m-10,-3m)=T(-3m,3m-10)，求m的值．【思路点拨】（1）利用新运算的规定解答即可；（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将a,b的值代入求解即可．【解题过程】（1）解：T(4,-1)=a×故答案为：16a+b3（2）①∵T(-2